Curso Matemática Financeira, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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M A T E M Á T I C A F I N A N C E I R A

T E O R I A G E R A L

© George J. Boggiss

MATEMÁTICA FINANCEIRA

ÍNDICE

• TEORIA GERAL - CAPA PÁGINA
• ÍNDICE
• INTRODUÇÃO
• JUROS SIMPLES
• JUROS SIMPLES - SOLUÇÃO EXERCÍCIOS
• JUROS COMPOSTOS
• JUROS COMPOSTOS - SOLUÇÃO EXERCÍCIOS
• TAXAS
• DESCONTOS
• ANUIDADES
• TAXAS, DESCONTOS E ANUIDADES - SOLUÇÃO EXERCÍCIOS
• TAXA “OVER” - TOV
• TAXA “OVER” - TOV - SOLUÇÃO EXERCÍCIOS
• ANEXOS
• ANEXO - OPERANDO A HP-12C
• ANEXO - PROVA DO CONCURSO PARA AFTN
• ANEXO - SOLUÇÃO QUESTÕES PROVA AFTN
• ANEXO - COMO CALCULAR A TAXA DE JUROS DE UMFINANCIAMENTO (SEM CALCULADORA ELETRÔNICA)
• ANEXO - TABELAS COM OS FATORES PARA CALCULAR ATAXA DE JUROS DE UM FINANCIAMENTO
• BIBLIOGRAFIA

INTRODUÇÃO

Ao iniciar a elaboração do Curso de Matemática Financeira e do

Curso de Análise de Investimentos ( Engenharia Econômica ),

através a linguagem Word 6.0, do Windows 3.1, tive como

propósito atingir toda uma geração de usuários de computador

que, apesar de sofisticadíssimos “softwares”, não contam com

ferramentas simples na área da informática, para consultar e

estudar matérias extra-curriculares, tais como a Matemática

Financeira e a Engenharia Econômica, ambas ensinadas, no

mercado, como Cursos de Extensão Universitária.

Assim sendo, procurei utilizar uma linguagem fácil, objetiva, como

se eu estivesse dando minhas aulas, incluindo, inclusive, alguns

“macetes” de um “macaco velho” no assunto, já que passei grande

parte de minha vida profissional lidando com Finanças, avaliando

e elaborando projetos de investimentos. A vida vai nos dando uma

experiência preciosa que não encontramos nos bancos escolares,

assim como nos livros didáticos sobre o assunto. É verdade que

a maioria do que aqui escrevi baseou-se na bibliografia que anexo

à presente, assim como em minha apostila, que utilizei

regularmente, de 1973 a 1980 e, depois, em cursos esporádicos,

com atualizações.

Passaram por mim, no Rio de Janeiro, nas salas de aula do

CADEMP - Fundação Getúlio Vargas, onde fui professor titular

naquele período, assim como no Instituto de Administração e

Gerência - IAG, da PUC - RJ e também no antigo IBMEC - Instituto

Brasileiro de Mercado de Capitais, centenas de alunos, muitas

vezes profissionais com quem tivemos o prazer de trabalhar

juntos.

A experiência que obtive, em boa parte deveu-se também aos meus

alunos que, através de perguntas inteligentes, só fizeram com que

eu estudasse, cada vez mais, a Matemática Financeira e suas

aplicações, para que não pagasse “mico” em sala de aula. Muito

obrigado. Espero estar podendo retribuir a todos vocês, seus

filhos, parentes e amigos, com um curso que possa contribuir com

uma melhor formação pessoal e profissional de nossa sociedade.

M A T E M Á T I C A F I N A N C E I R A

JUROS SIMPLES

© George J. Boggiss

JUROS SIMPLES

MONTANTE ( S ) = É COMPOSTO PELO SOMATÓRIO DO CAPITAL (

C ) COM OS JUROS ( J ) OBTIDOS NO PERÍODO.

S = C + J ( 1 )

NO EXEMPLO ANTERIOR, O MONTANTE NO FINAL DOS TRÊS ANOS SERIA

DE $ 124,00, ONDE C = $ 100,00 E J = $ 24,00.

CASO FAÇAMOS A SUBSTITUIÇÃO DE J NA EQUAÇÃO ( 1 ), TEREMOS:

S = C + C i t S = C ( 1 + i t )

ATENÇÃO :

NO REGIME DE JUROS SIMPLES, OS JUROS SÃO SEMPRE CALCULADOS

SOBRE O CAPITAL INICIAL ( C ) , FAZENDO COM QUE OS MONTANTES, AO

FINAL DE CADA PERÍODO DE CONTAGEM DE JUROS, APRESENTEM-SE

COMO UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA ( P.A. ) DE RAZÃO IGUAL AO VALOR

DOS JUROS ( J ).

EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES

1. A QUE TAXA DE JUROS SIMPLES DEVERÁ SER COLOCADO CERTO

CAPITAL PARA QUE O MESMO DUPLIQUE AO FIM DE 20 ANOS?

2. CERTO CAPITAL, COLOCADO À TAXA DE 4% A.A. GEROU, AO FIM DE

5 ANOS, O MONTANTE DE $ 3.600,00. QUAL O VALOR DOS JUROS

PRODUZIDOS?

3. QUAL O VALOR DO CAPITAL QUE, COLOCADO À TAXA DE 6 1/2 % A.A.

PRODUZ $ 2.085,00 DE MONTANTE EM 6 ANOS?

4. CERTO CAPITAL FICOU DEPOSITADO DURANTE 2 ANOS A 4% A.A..

FINDO ESTE PRAZO, A SOMA DE CAPITAL E JUROS FOI COLOCADA A 6 %

A.A., DURANTE 18 MESES. CALCULAR O CAPITAL INICIAL, SABENDO-SE

QUE O MONTANTE FINAL FOI DE $ 17.658,00.

5. A QUE TAXA ANUAL UM CAPITAL DE $ 1.200,00 GERA UM MONTANTE

DE $ 3.600,00 , NO FIM DE 7.200 DIAS ( CONSIDERAR O MÊS COMERCIAL,

DE 30 DIAS ).

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES

1. S = C ( 1 + i t ) S = 2C t = 20 anos 2C = C ( 1 + 20 i ) F 05 C 2 = 1 + 20 i F 05 C 1 = 20 i F 05 C i = 1 ÷ 20 = 0,05 i = 5% a.a.

---

2. S = 3.600 i = 4% a.a. t = 5 anos J =? S = C ( 1 + i t ) F 05 C 3.600 = C ( 1 + 0,04 x 5 ) F 05 C 3.600 = C ( 1 + 0,20 ) C = 3.600 ÷ 1,20 = 3.000 LOGO, J = 3.600 - 3.000 J = $ 600,

---

3. C =? i = 6 1/2 % a.a. = 0,065 S = 2.085 t = 6 anos S = C ( 1 + i t ) 2.085 = C ( 1 + 0,065 x 6 ) C = 2.085 ÷ ( 1 + 0,39 ) = 1.500 C = $ 1.500,

---

4. C =? t¹ = 2 anos i¹ = 4% a.a. S ¹ = C ( 1 + i ¹ t ¹ ) (A)

S ² = 17.658 t² = 18 meses i² = 6% a.a. S² = S¹ ( 1 + i ² t ² )

17.658 = S ¹ ( 1 + 0,06 x 18 ÷ 12 ) F 05 C 17.658 = S ¹ ( 1 + 0,09 )

S ¹ = 17.658 ÷ 1,09 = 16.

Substituindo S¹ em ( A ), teremos:

16.200 = C ( 1 + 0,04 x 2 ) F 05 C 16.200 = C ( 1 + 0,08 ) C = 16.200 ÷ 1,08 = 15.000 C = $ 15.000,

---

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - JUROS SIMPLES

5. C = 1.200 S = 3.600 t = 7200 dias (meses comerciais)

i =?

1a. solução: S = C + J J = S - C = 3.600 - 1.200 = 2. J = C i t 2.400 = 1.200 x i x ( 7.200 ÷ 360 ) i = 2.400 ÷ ( 1.200 x 20 ) = 2.400 ÷ 24.000 = 0,10 i = 10% a.a.

2a. solução: S = C ( 1 + i t ) 3.600 = 1.200 { 1 + i ( 7.200 ÷ 360 ) } F 05 C 3.600 ÷ 1.200 = 1 + 20 i F 05 C 3 = 1 + 20 i F 05 C 20 i = 3 - 1 i = 2 ÷ 20 = 0,10 i = 10% a.a.

---

JUROS COMPOSTOS

NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS, APÓS CADA PERÍODO DE

CAPITALIZAÇÃO, OS JUROS SÃO INCORPORADOS AO CAPITAL E PASSAM,

POR SUA VEZ, A RENDER NOVOS JUROS. PODEMOS, ENTÃO, DIZER QUE

OS JUROS SERÃO SEMPRE CALCULADOS TOMANDO-SE POR BASE O

MONTANTE ( S ) DO PERÍODO ANTERIOR, DIFERENTEMENTE DO QUE

OCORRE NO REGIME DE JUROS SIMPLES, ONDE OS JUROS SÃO SEMPRE

FIXOS, CALCULADOS SOBRE O CAPITAL INICIAL ( C ).

NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS TAMBÉM É INTRODUZIDA UMA NOVA

VARIÁVEL, A FREQUÊNCIA DE CAPITALIZAÇÃO. ELA COMANDA A MANEIRA

PELA QUAL OS JUROS SERÃO CALCULADOS, INDEPENDENTEMENTE DA

TAXA DE JUROS FORNECIDA E DO TEMPO CONSIDERADO.

ALIÁS, COMO A FREQUÊNCIA DE CAPITALIZAÇÃO É UNITÁRIA, OU SEJA,

OCORRE DE MANEIRA UNIFORME, O t ( TEMPO ) SEMPRE SERÁ IGUAL A

1 ( UM ), ENQUANTO O QUE NÓS IREMOS UTILIZAR, DE FATO, SERÁ O

NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO ( n ).

OS MONTANTES, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS, APRESENTAR-SE-ÃO

COMO UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ( P.G. ) DE RAZÃO IGUAL A ( 1 + i )

( VER DEMONSTRAÇÃO A SEGUIR ).

JUROS COMPOSTOS

FÓRMULA DO MONTANTE :

SABENDO-SE QUE t = 1 , TEREMOS :

S 1 = C + C i = C ( 1 + i )

S 2 = S 1 + S 1 i = C ( 1 + i ) + C (1 + i ) i = C ( 1 + i ) ( 1 + i ) = C ( 1 + i ) ²

S 2 = S 2 + S 2 i = C ( 1 + i ) ²+ C ( 1 + i ) ² i = C (1 + i ) ² ( 1 + i ) = C ( 1 + i ) ³

. (^) n S n = S n - 1 + S n - 1 i = ................................................................... = C ( 1 + i )

n

S n = C ( 1 + i )

onde : S = montante ao final de n períodos de capitalização C = capital inicial i = taxa de juros ( dentro da frequência de capitalização) n = número de períodos de capitalização

CÁLCULOS DE JUROS COMPOSTOS NA HP-12C

COMO PODEMOS NOTAR, OS CÁLCULOS DE JUROS COMPOSTOS, ASSIM

COMO TODOS OS CÁLCULOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA, PODERÃO SER

REALIZADOS, COM A HP-12C , DE DUAS MANEIRAS DIFERENTES:

- A PRIMEIRA, REALIZADA ATRAVÉS AS FUNÇÕES MATEMÁTICAS,

COM O EMPREGO DAS FÓRMULAS QUE AQUI VIMOS;

- A SEGUNDA, ATRAVÉS DOS REGISTRADORES FINANCEIROS, OU

SEJA, DAS TECLAS n , i , PV e FV. A UTILIZAÇÃO DOS

REGISTRADORES FINANCEIROS, FAZ COM QUE A APLICAÇÃO DAS

FÓRMULAS APRESENTADAS SEJA IMEDIATA, PERMITINDO QUE OS

CÁLCULOS SEJAM EXECUTADOS DE FORMA RÁPIDA E SEGURA. ASSIM,

TEMOS QUE A ROTINA, NESTE CASO, SERÁ:

1. APAGAR O CONTEÚDO DOS REGISTRADORES FINANCEIROS,

TECLANDO “ f FIN ” OU APAGAR TUDO, TECLANDO “ f REG ”;

2. INTRODUZIR AS VARIÁVEIS CONHECIDAS ( NO MÍNIMO TRÊS ), TECLANDO “ CHS ” QUANDO A VARIÁVEL REPRESENTAR UMA SAÍDA DE CAIXA.

VARIÁVEL SÍMBOLO TECLA OBSERVAÇÃO

PRAZO n n compatível com i / freq. capitalização

TAXA i i usar em percentagem (%) /

compatível com n / freq. capitalização

CAPITAL C PV usar CHS se necessário

MONTANTE S FV usar CHS se necessário

PRESTAÇÃO R PMT usar CHS se necessário

EXERCÍCIOS - JUROS COMPOSTOS

1. QUAL É O MONTANTE CORRESPONDENTE A UM CAPITAL DE

$ 2.000,00, APLICADO A JUROS COMPOSTOS, À TAXA DE 12% a.a., DURANTE 3 ANOS, COM FREQUÊNCIA DE CAPITALIZAÇÃO ANUAL?

2. UM INVESTIMENTO DE $ 1.000,00 , COM JUROS CAPITALIZADOS MENSALMENTE, PRODUZIU O MONTANTE DE $ 3.281,00 AO FIM DE 5 ANOS. QUAL É A TAXA NOMINAL ANUAL?
3. POR QUANTO TEMPO DEVE SER COLOCADO O CAPITAL DE $ 4.000, À TAXA DE 8% a.a., A FIM DE PRODUZIR O MONTANTE DE $ 9.328,00, SENDO A CAPITALIZAÇÃO ANUAL?
4. QUE QUANTIA DEVE SER INVESTIDA HOJE, A FIM DE ACUMULAR $ 10.000,00 EM 10 ANOS, COM CAPITALIZAÇÃO SEMESTRAL, À TAXA DE 10% a.a.?
5. QUAL O VALOR DOS JUROS PRODUZIDOS PELO CAPITAL DE $ 50.000,00, À TAXA DE 12% a.a., COM CAPITALIZAÇÃO TRIMESTRAL, DURANTE 5 ANOS E MEIO?

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - JUROS COMPOSTOS

( A ) UTILIZANDO AS TABELAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA :

S = ?C = 2.000 i = 12% a.a. = 0,12 n = 3 anos = 3

3 SC S = 2.000 ( 1 + 0,12 ) = 2000 x F ( i = 12%, n = 3 ) S = 2.000 x 1,405 = 2.810 S = $ 2.810,

( B ) UTILIZANDO A HP-12C :

S = FV =? C = PV = 2.000 i = 12%a.a. = 12 n = 3 anos = 3

b1. Insere-se o valor 2.000 CHS PV ( Capital, com valor negativo ); b2. Insere-se o valor 12 i; b3. Insere-se o valor 3 n; b4. Aperta-se a tecla FV, tendo como resultado, no visor: 2.809, b5. Logo, o valor aproximado do montante S ( FV ) é de $ 2.810,.

SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS - JUROS COMPOSTOS

( A ) UTILIZANDO AS TABELAS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA :

S = 3.281 C = 1.000 n = 5 anos x 12 = 60 meses i =? 60 60 SC 3.281 = 1.000 ( 1 + i ) 3,281 = ( 1 + i ) 3,281 = F (i =?, n= 60)

PROCURANDO, PÁGINA POR PÁGINA, NA LINHA n = 60, ENCONTRA-SE O FATOR 3,281 NA PÁGINA CORRESPONDENTE À TAXA DE 2%. ESTA SERÁ A TAXA MENSAL, TENDO EM VISTA QUE A FREQUÊNCIA DE CAPITALIZAÇÃO E, CONSEQUENTEMENTE, O NÚMERO DE PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO FORAM EXPRESSOS EM MESES. ENTÃO, A TAXA NOMINAL ANUAL SERÁ :

2% x 12 = 24% a.a.

( B ) UTILIZANDO A HP-12C : FV = 3.281 PV = 1.000 n = 60 i =?

1.000 CHS PV ; 3.281 FV ; 60 n ; i NO VISOR, TEREMOS : 1,999984 QUE, MULTIPLICADA POR 12, DARÁ A MESMA RESPOSTA QUE OBTIVEMOS EM ( A ), OU SEJA, 24% a.a..