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Demanda
• Estudaremos neste capítulo como as quantidades
demandadas respondem a variações na renda m e nos
preços p 1 e p 2.
• Em outras palavras, estudaremos algumas
propriedades das funções de demanda x 1 ( p 1 , p 2 , m ) e
x 2 ( p 1 , p 2 , m ).
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Bens Normais e Bens Inferiores
- Inicialmente, vamos considerar o impacto de variações na renda sobre as quantidades ótimas. Manteremos p 1 e p 2 fixos.
- Um bem é normal quando um aumento na renda leva a um aumento na quantidade demandada desse bem. Ver figura 6.1 na página 103.
- Um bem é inferior quando um aumento na renda leva a um decréscimo na quantidade demandada desse bem. Ver figura 6.2 na página 105.
- Importante: essas propriedades são conceitos “locais”.
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Curva de Renda-Consumo
• Vimos que um aumento da renda implica
deslocamento da reta orçamentária para a direita.
• A linha que conecta as cestas ótimas associadas aos
distintos níveis de renda é chamada de curva de
renda-consumo.
Ver figura 6.3 na página 105. A curva de renda-consumo também é conhecida como caminho de expansão da renda.
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Curva de Engel
• O gráfico da relação entre a quantidade demandada
de um bem e o nível de renda, mantidos constantes os
preços, é chamada de Curva de Engel.
A curva de Engel para o bem i é representada no espaço m × xi. Ver figura 6.3.B na página 105.
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Funções Homogêneas
• Fato: se uma função f é homogênea de grau k , então
as suas derivadas parciais são homogêneas de grau
( k − 1).
1
1 1 1 1
x
f X t x
f tX x
f X t t x
f tX f tX tkf X k k ∂
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Preferências Homotéticas
• Uma relação de preferências que admite uma
representação por uma função de utilidade u
homogênea de grau k > 0 é dita ser homotética.
Não há nenhuma perda de generalidade em se assumir que u é homogênea de grau um.
• Fato: se as preferências são homotéticas, então
X Y tX tY
para todo t > 0.
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Preferências Homotéticas
• Suponha que o consumidor somente escolhe entre
dois bens. Se as suas preferências são homotéticas,
então a sua TMS depende somente da razão x 1 / x 2.
Como u pode ser homogênea de grau um, as utilidades marginais são homogêneas de grau zero.
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Preferências Homotéticas
• Quando as preferências são homotéticas, as curva de
renda-consumo são linhas retas que passam pela
origem.
Seja X * a cesta ótima ao nível de renda m. Suponha que a renda dobre ( m ´ = 2 m ). Claramente, a cesta 2 X * exatamente esgota a renda 2 m. Como a razão entre os preços não se alterou e TMS( X *) = TMS(2 X *), então 2 X * é uma escolha ótima ao nível de renda 2 m.
• Logo, quando as preferências são homotéticas todos
os bens são normais.
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Exemplos
• Esboçaremos as curvas de preço-consumo e de
demanda para alguns tipos de preferências.
• Substitutos perfeitos: u ( x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2.
Ver figura 6.12 na página 114.
• Complementares perfeitos: u ( x 1 , x 2 ) = min{ x 1 , x 2 }.
Ver figura 6.13 na página 114.
• Cobb-Douglas: u ( x 1 , x 2 ) =.
α β
x 1 x 2
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Substitutos e Complementares Brutos
• Já utilizamos neste curso as expressões “substitutos
perfeitos” e “complementares perfeitos”.
Exemplo de complementares perfeitos: sapatos para o pé direito e para o pé esquerdo.
• Tal terminologia sugere que existam substitutos e
complementares que não são “perfeitos”.
Possível exemplo de “complementares não perfeitos”: sapatos e meias.
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Substitutos e Complementares Brutos
• O bem 1 será um substituto bruto do bem 2 se
∆ x 1 /∆ p 2 > 0.
• O bem 1 será um complementar bruto do bem 2 se
∆ x 1 /∆ p 2 < 0.
• Atenção: pode ocorrer uma falta de simetria!
Exemplo: u ( x 1 , x 2 ) = x 1 + log x 2. Para m > p 2 , as quantidades demandadas são dadas por x 1 = p 2 / p 1 e x 2 = ( m − p 2 ) / p 2.
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Demandas - Algumas Propriedades
• Se t é um número positivo, então as restrições
p 1 x 1 + p 2 x 2 ≤ m e ( tp 1 ) x 1 + ( tp 2 ) x 2 ≤ ( tm ) são idênticas.
• Logo, xi ( p 1 , p 2 , m ) = xi ( tp 1 , tp 2 , tm ).
• As funções de demanda são homogêneas de grau
zero. Em outras palavras, as quantidades demandadas
não se alteram quanto todos os preços e a renda são
multiplicados por um mesmo fator.
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Demandas - Algumas Propriedades
- Defina.
- As elasticidades da demanda satisfazem as seguintes propriedades: s 1 ( p 1 , p 2 , m ) ε 1 m ( p 1 , p 2 , m ) + s 2 ( p 1 , p 2 , m ) ε 2 m ( p 1 , p 2 , m ) = 1 s 1 ( p 1 , p 2 , m ) ε 11 ( p 1 , p 2 , m ) + s 2 ( p 1 , p 2 , m ) ε 21 ( p 1 , p 2 , m ) = − s 1 ( p 1 , p 2 , m ) s 1 ( p 1 , p 2 , m ) ε 12 ( p 1 , p 2 , m ) + s 2 ( p 1 , p 2 , m ) ε 22 ( p 1 , p 2 , m ) = − s 2 ( p 1 , p 2 , m ) ε 11 ( p 1 , p 2 , m ) + ε 12 ( p 1 , p 2 , m ) + ε 1 m ( p 1 , p 2 , m ) = 0 ε 21 ( p 1 , p 2 , m ) + ε 22 ( p 1 , p 2 , m ) + ε 2 m ( p 1 , p 2 , m ) = 0
m
px p p m s (^) i p p m i i ( , , ) ( 1 , 2 , )=^12
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Função de Demanda Inversa
• Conforme evidenciado pelo nome, a função de
demanda inversa é tão somente a inversa da função de
demanda.
Demanda: x 1 = f ( p 1 ). Demanda inversa: p 1 = f −^1 ( x 1 ). Obviamente, p 2 e m são mantidos fixos.
• Observe que as quantidades demandadas satisfazem
p 1 = p 2 TMS
• Ou seja, o preço do bem 1 é um múltiplo da TMS.
TMS
p
p
2
1
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Função de Demanda Inversa
- Por exemplo, suponha que o preço do bem 2 seja 1. No nível ótimo de demanda, o preço do bem 1 mede o quanto o consumidor está disposto a abrir mão do bem 2 de forma a ter uma quantidade adicional do bem 1. Neste caso, a função de demanda inversa mede simplesmente o valor da taxa marginal de substituição.
- Se o bem 2 for quantidade de recursos alocado para todos os outros bens: A TMS pode ser considerada a quantidade de moeda que o consumidor está disposto a abrir mão para ter uma unidade adicional do bem 1, isto é, sua disposição marginal a pagar pelo bem 1. A inclinação usualmente negativa da curva de demanda pode ser interpretada da seguinte forma: o Para adquirir uma quantidade relativamente pequena do bem 1 o consumidor está disposto a gastar uma quantia relativamente alta por unidade. Para adquirir uma quantidade relativamente grande, ele está propenso a pagar relativamente pouco por cada unidade. Portanto, a disposição marginal a pagar pelo bem 1 é decrescente na quantidade consumida do bem 1.
