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CAPÍTULO 2 DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS 1 Derivadas 2 Técnicas de Diferenciação 3 Taxas de Variação e Análise Marginal 4 Regra da Cadeia 5 Máximos e Mínimos Relativos 6 Máximos e Mínimos Absolutos Resumo e Teste 1 DERIVADAS Diferenciação é uma técnica matemática de muito poder e versatilidade. Em Cálculo, existem dois" conceitos importantes; a diferenciação é um deles. Este conceito possui uma variedade de apli- cações, entre elas o traçado de curvas, à otimização de funções e a análise de taxas de variação. Problema Prático de Otimização Um problema típico no qual o Cálculo pode ser aplicado é o problema de maximização do lucro visto no Ex. 5.1 do Cap. 1. Lembre-se de que, naquele problema, o lucro mensal do fabricante era de P(x) = 400(15 — x)(x — 2) cruzeiros, quando cada objeto era vendido por x cruzeiros. O gráfico desta função-lucro, que é reproduzido na Fig. 1.1, indica que existe um preço Ótimo de ven- da x com o qual o fabricante terá o lucro maior. Em termos geométricos, o preço ótimo é a coorde- nada x do pico do gráfico. Pay Coeficiente Angular = Zero iente Angular Negativo - Preço Ótimo Fig 1.1 Funçãoducro P(x) = 400(15 — xXx — 2). Coeficiente Angular da Tangente DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 51 Neste exemplo relativamente simples, o pico pode ser caracterizado em termos de retas tan- gentes ao gráfico. O pico é o único ponto do gráfico no qual a tangente é horizontal, isto é, no qual o coeficiente angular da tangente é zero. À esquerda do pico, o coeficiente angular da tangente é positivo e à direita, é negativo. Dessas observações, conclui.se que se pode resolver o problema de otimização se existir uma técnica para calcular o coeficiente angular de cada tangente. Tal técnica será desenvolvida agora. Durante o desenvolvimento, você precisa aceitar intuitivamente a idéia de que a tangente à curva num ponto é a reta que indica a direção da curva neste ponto. , a o) O objetivo é resolver o seguinte problema: dado um ponto (x, f (x)) do gráfico da função f, calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico neste ponto. A situação está ilustrada na Fig 1.2. No Cap. 1, Seg. 3, você aprendeu que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (24,31) (72,2) é calculado pela fórmula a dv yr — Coeficiente angular = —— 2 a dx N fe) Tangente A cs Fig 1.2 Tangente à curva y = f(x). ATE os Fig 1.3 Secantes aproximando-se da tangente. Na situação presente, você conhece apenas um ponto na reta tangente, isto é, o ponto de tan- gência (x, f(x). Logo, é impossível calcular diretamente o coeficiente angular, tomando-se neces- sário adotar uma maneira indireta para o cálculo. A estratégia é aproximar a tangente por outras retas cujos coeficientes angulares possam ser calculados diretamente. Particularmente, considere as retas que ligam o ponto dado (x, f(x)) aos pontos do gráfico de f vizinhos a este. Estas retas, mostradas na Fig. 1.3, são chamadas de secantes e estão razoavelmente próximas à tangente. Ch, Pode-se obter o coeficiente angular da secante tão próximo quanto se queira do coeficiente an- gular da tangente, escolhendo-se pontos vizinhos suficientemente próximos ao ponto dado (x, f(2)). Logo, pode-se determinar o coeficiente angular da tangente calculando-se o coeficiente angular de secantes próximas à tangente, e, depois, estudando-se estes coeficientes à medida que os pontos vizinhos se aproximam cada vez mais do ponto dado. Para calcular o coeficiente angular da secante, coloque as coordenadas dos pontos vizinhos co- mo na Fig. 1.4. Seja Ax a variação da coordenada x entre o ponto (x, f (x) e um ponto vizinho. A abscissa do ponto vizinho é x + 4x e, como o ponto pertence ao gráfico de f, a ordenada será flx+ax) Fig 14 Secante à curva y = f(x) Como a variação da ordenada é 4y = f(x + Ax) — f(x), segue-se que Coeficiente angular da secante = Av fix + Ad fo) dx Ax Lembre-se de que este quociente não é o coeficiente angular da tangente, mas uma aproximação deste valor. Quando Ax é pequeno, entretanto, o ponto (x + Ax, f(x + Ax)) está muito próximo ao ponto dado (x, f(x). Logo, o coeficiente angular da tangente será o valor para o qual o quociente tende, quando x tende a zero. Um cálculo baseado nessas observações é visto no exemplo seguinte. EXEMPLO 1.1 Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) =x? no ponto (2, 4). SOLUÇÃO Na Fig. 1.5, pode-se observar o gráfico de f com o ponto dado (2, 4) e uma secante que passa por este ponto. Como a abscissa do ponto dado é 2, a abscissa de um ponto vizinho a este será 2 + Ax, e a orde- nada (2 + 4x)”. Logo, E Coeficiente angular da secante = 2racá O objetivo é calcular o número para o qual este quociente tende, quando 4x tende a zero. Antes disso, é necessário colocar o quociente numa forma mais simples. (Você consegue observar o que acontece ao numerador e ao denominador quando Ax tende a zero, tendo-se o quociente não simplificado?) Para simplificar o quociente, expanda o termo (2 + Ax)?, reescreva o numerador, e depois divida o numerador e o denominador por 4x da seguinte maneira: DIFERENCIA ÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 53 tea tam) Fig 1.5 Cura y =x? e secante passando por (2, 4). Q+AP-4 Ax 2X + 4Bx + (At 4 = 4x — 48x + (A? dx =4+ dx. Coeficiente angular da secante = Faça agora Ax tender a zero. Como 4 + Ax tende a 4, quando 4x tende a zero, pode-se con- cluir que o coeficiente angular da tangente no ponto dado é 4. Derivadas No exemplo anterior, você calculou o coeficiente angular da tangente à curva y = x? num ponto dado (2, 4). No próximo exemplo, você fará os mesmos cálculos, mas o ponto dado será re- presentado algebricamente como (x, x?). O resultado será a fórmula que você usará para calcular o coeficiente angular da tangente à curva no ponto (x, x?), sendo x um valor qualquer. EXEMPLO 1.2 Deduza uma fórmula, expressando o coeficiente angular da tangente à curva y = x? como função da coordenada x do ponto de tangência. SOLUÇÃO Represente o ponto de tangência como sendo (x, x?) e o ponto vizinho a ele como (x + Ax, (x + 4x)), conforme a Fig, 1.6. (+ artx rar) Fig. 1.6 Curva y =x? e secante passando pelo ponto (x, x), 56 ! CALCULO Fig 1.7 Curva y =— étangente à curva, quando x Algumas vezes, combinam-se as duas notações: Se fx) = 22, então, Ea =. Pode-se condensar esta sentença, omitindo-se a referência a y e f, escrevendo-se E)=2 para indicar que a derivada de x? é 2x. Maximização do Lucro No próximo exemplo, você verá como usar derivadas para maximizar a função-lucro discutida no início desta seção. EXEMPLO 1.4 É 0 tucro de um fabricante com a venda de certos objetos é de P(x) = 400(15 —x)* (x —2), onde x é o preço de venda por unidade. Calcule o preço ótimo de venda. SOLUÇÃO Você deverá usar o gráfico dá Fig. 1.8 como referência. O objetivo é calcular o preço de venda x com o qual o lucro P(x) é maior. Este será o valor de x para o qual o coeficiente angular da tangente PG) PQ)=0 Preço Stimo Fig 1.8 Funçãotucro: P(x) = 400(15 — x) «(x — 2). DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 57 é zero. Como o coeficiente angular é dado pela derivada, comece calculando P' (x). Neste-caso, fica mais fácil trabalhar com a forma não fatorada da funçãolucro Plx) = —400x! + 6 800x — 12 000. Escreva primeiro a razão incremental e simplifique-a algebricamente da maneira como se segue: Pla + 4x) — Pl) dáx — 400lr + ax) + 6 B00(x + 4x) — 12 000 — (— 400x? + 6 800x — 12 000). = Ax - 400(Ax)? — 800x Ax + 6 800 Ax Ax = —- 400 Ax — 800x + 6 800 Faça, agora, Ax tender a zero; como —400 Ax — 800x + 6 800 —» —800x + 6800 quando 4x» segue-se que a derivada é Px) = —800x + 6800 Para calcular o valor de x que toma o coeficiente angular da tangente nulo, basta igualar o valor da derivada a zero e resolver a equação resultante: P()=0 — 800x + 6800 = 0 800x = 6 800 x=8,5 Segue-se que x = 8,5, valor da abscissa do pico do gráfico, e que o preço ótimo de venda é de Cr$ 8,50 por unidade. Limites Como já foi visto, a derivada é o valor para o qual tende a razão incremental, quando a variável 4x tende a zero. De modo geral, denomina-se limite o valor para o qual a função tende, quando sua variável tende a um número específico. A noção de limite é importante em Matemática e forma a base para o desenvolvimento rigoroso do Cálculo. Este conceito importante é discutido com maiores detalhes na Seç. B do Apêndice. Diferenciação e Continuidade Nem sempre as funções possuem derivadas para qualquer valor de x. A Fig. 1.9 mostra três funções que não possuem derivada quando x = 0. No ponto (0, 0) da Fig. 1.9a, a reta tangente não pode ser unicamente determinada. Resulta, então, que a derivada, sendo o coeficiente angular da tangente, não pode ser definida para x = 0. A função f (x) =x?" da Fig. 1.9b possui tangente vertical, quando x = 0. Como o coeficiente angular 1 dé == reta vertical é indefinido, es piEgina 58 o ftr)=— da Fig. 1.9€ não possui derivada, q A função é diferenciável diferenciáveis devem ser curvas e 1.9b. As funções encontradé quase todos os pontos. Pode-se ver, por exemy anções racionais não possuem derivadas somente lores A função cujo gráfico ni formal pode ser vista no apênd continua é diferencial (veja a Fi a estevalor de x ficos de funções »s das Figs. 1.94 4 definição mais jem toda função Fig. 1.9 Três funções não diferenciáveis em x = 0, , Problemas Nos Probis. de 1 a 7, calcule a derivada da função dada e o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x dado: Lfw=5"-3x=2 3. y = 5. fo) 7.y=Vãx Nos Probis. de 8 a 11, calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função dada no ponto x dado: : n Bfy)=x+r+Ix=2 9. fw)=a-xx=-2 10.» Mv=2VkKx=4. 4 12. Suponha que f(x) =x*. . (a) Calcule o coeficiente angular da secante que liga os pontos do gráfico de f cujas abscissas sdox=2ex=-19. (b) Use Cálculo para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráficoemx = — 2, e compare este valor com a resposta do item anterior. 13. Suponha que f(x) =x'º. (a) Calcule o coeficiente angular da secante que liga os pontos do gráfico de f cujas abscissas siox=lex=1. (b) Use Cálculo para determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráficoemx = 1,e compare este valor com à resposta do item anterior 14. 1. Lolculea derivada da função linear y = 3x — 2. (4) Escreva a equação da tangente ao gráfico desta função no ponto (— 1, - 5). tc) E plique como as respostas dos itens anteriores poderiam ser obtidas apenas geometrica- Cons: «a o gráfico da função y =x? — 3x e use Cálculo para determinar o ponto mínimo da curva. Construa o gráfico da função y = 1 — x? e use Cálculo para determinar o ponto máximo da curva. oo 7. Construa o gráfico da função y = x? — x?. Determine os valores de x para os quais a derivada é zero. Que acontece ao gráfico em relação a estes valores? Maximização do Lucro 18. Um fabricante produz objetos por Cr$ 200,00 cada. Estima-se que, se cada objeto for vendido por x cruzeiros, os consumidores comprarão mensalmente 120 — x objetos. Use Cálculo para determinar o preço com o qual o fabricante obterá o maior lucro. 19. Sabendo-se que a derivada de uma função é sempre positiva paraa < x < b, que você conclui a respeito do gráfico desta função compreendido entre x =a e x =? 20. Construa o gráfico da função f cuja derivada possui as seguintes propriedades: (a) 1'(x) >0, quando x< 1e x >5. (b)F'(x)< O, quando 1< x<'5. ()f(1D)=0ef'(5)=0. 21. (a) Calcule as derivadas das funções y =x? e y =x? — 3 € discuta geometricamente a analogia entre elas. (b) Sem outros cálculos, determine a derivada da função p =x? +5. 22. (a) Calcule a derivada da função y =x? + 3x. (b) Calcule separadamente as derivadas das funções =x? e y = 3x. (c) Como estão relacionadas as respostas dos itens anteriores? (d) De maneira geral, se f(x) = g(%) + A(x), que você poderia afirmar em relação à derivada de fe às derivadas de g e h? 23. (a) Calcule as derivadas das funções y =? ep =x" (b) Que você pode concluir examinando a resposta do item anterior? Qual será a derivada de y=x?? Ea derivada de py =x?"? 2 TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO Na Seç. 1, foi visto como se calcula derivada de uma função, fazendo-se Ax tender a zero na expressão do coeficiente angular da secante. Porém, mesmo se as funções forem simples, este processo é cansativo e consome tempo. Agora você aprenderá como simplificar este processo, primeiro de uma forma prática com exemplos, e depois, no final da seção, haverá a justificativa do que foi feito. EXEMPLO 23 Derive a função p = x? +3x5. SOLUÇÃO Você sabe que de x e + (3x%) = 15xº. De acordo com a regra da soma, simples- mente. some estes valores para encontrar a derivada da soma x? + 3x$, Ou seja, Combinando-se as regras da soma, potência e constante multiplicada, obtém-se a derivada do polinômio. Eis um exemplo EXEMPLO 2.4 Calcule a derivada do polinômio y = 5x? -4x2 + 12x — 8. SOLUÇÃO Derive parcela por parcela: dy. d d nua d de da + (8) + GD) + (8) = 158 By +12 Derivada do Produto Suponha que você deseje derivar o produto y = x?(3x + 1). Você talvez resolva derivar cada fator x? e 3x + 1 separadamente, e depois multiplicar os resultados. Como + (3)=2xe a ; dr (3x + 1) = 3, você concluiria que a = 6x. Este resultado, porém, está errado. Para perceber isto, reescreva a função como sendo y = 3x? + x? e observe que a derivada é 9x? + 2x e, não, 6x A derivada de um produto não é o produto de cada derivada. Eis a fórmula correta da derivada do produto. Regra do Produto d de af Lug sg de Dq a? | Assim, a derivada do produto é o produto do primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo mais o segundo fator multiplicado pela derivada do primeiro. | Observe o uso desta regra no próximo exemplo, EXEMPLO 2.5 Caleule a derivada da função y =x? (3x +1). SOLUÇÃO De acordo com a regra do produto, d d x bx + D)= vÊo +D+OGx+ Dat = 23) + (3x + 1X2x) = 9x + 2x. Derivada do Quociente A derivada do quociente não é o quociente de cada derivada. Eis a regra correta. Regra do Quociente dr de d () dela dr lg : A regra da derivada do quociente é a fórmula mais complicada vista até agora por você. Eis uma maneira de lembrá-la, O numerador se assemelha à regra do produto, exceto o sinal menos, que mos- tsa a importância da ordem dos termos. Primeiro, eleve ao quadrado o denominador (pois isto é fácil de fazer) e depois, pensando ainda no denominador original, escreva o mesmo no numerador. Assim fazendo, você pode escrever o resto pensando na regra do produto. Não se esqueça do sinal menos, sem o qual a regra não pareceria ser tão difícil no início! Usando à regra do quociente, você pode, agora, calcular a derivada de qualquer função racional. Eis um exemplo EXEMPLO 2.6 , 2+2x-21 Calcule a derivada da função raciona) py = ED <2 2.20 SOLUÇÃO De acordo com a regra do quociente, d e - v£a +2x =21) = (8 + 2x 20 (x 3) dx W—3F 32x + 2) 2x 21X) (x —3P eee Sa MN Se get Du te pevie poem x xt 3x Fig 2.1 Secante através da curva y = / (x) +g (x) (Sugestão: Como a regra do quociente é um pouco difícil de ser aplicada, não à use para der: 1 quocientes como y = , que podem ser reescritos como y = x”? . Nesse caso, você pode usar a re- gra da potência.) Justificação da Regra da Soma Considere a secante ao gráfico da função f + g, como mostra a Fig. 2.1. Comece escrevendo a expressão do coeficiente angular da secante e reescreva-a como soma de dois quocientes, um envolvendo f e outro envolvendo g, como se segue. Coeficiente angular da secante = LG + AM) + elx + AD] - IfG) + gl)] Ax fx ad fo | gr + Am) a) E Ax dx . Para calcular a derivada de + g, faça Ax tender a zero nesta expressão. Como fo + 4 fe, df quando Ax— 0 de” ú e gx + 4x) 40) de quando Ax> 0, dx dx segue-se que af, de Er Éa += ta ea regra da soma está demonstrada. Justificação da Regra do Produto Para demonstrar que 4. (49) = (E + g ED comece com a razão incremental e reescreva-a x somando e subtraindo / (x + Ax)g(x) ao numerador, como se segue. Coeficiente angular da secante = fe + avg + Am) — feto) ax - fix + Avg + AU) — fix + AVDEG) o = E fx + AVE) — fg) 4 (e + Adeto àx o EE + As 8) | gt + 4) ft) fix + dx Ax Faça, agora, Ax tender a zero. Como f(x + 4x) tende a f(x), dg Tetá)-f0) dx * Ax Fera) 80 qngea ax tende a Ea , quando Ax tende a zero, segue-se que Ix df = A (go) = (End ea zegra do produto está demonstrada. Problemas Nos Probis. de 1 a 25, calcule a derivada de cada função dada, fazendo cálculos mentais, sempre que possível: Ly=H+2x+3 3 fw=a- St +x+ 2 2.9=3x 42 49x — 4 f)=d8— dt -x+2 6.y=72-8+5 8. fo) =2vx + 2 LEE 9y= 16x t font titã. Duna A E 4 5 lv= "tr tog”a 11. fG) = (2x + 18x — 2). (Use a regra do produto.) (2.40) = (6 — SI — 20). — (Use a regra do produto.) 13. y = 10(3x + 11 — 5x). — (Use a regra do produto.) 14. y = 400(15 — ae — 2). (Use a regra do produto.) 15. FG) = 408 — 2º + 1). Of) = —35x — 2x + 5). —. +1 3, E MTo= Tr 18 y=5era4 1 19. ft) = 2 20. f) = 55º 88 / CALCULO - Como a velocidade do carro varia durante o imtervalo de tempo e t + 3a velocidade média . Não será igual à velocidade instantânea (a velocidade mostrada no velocimetro) no tempo 1. Entre- . tanto, quando Ar é pequeno, é pequena a possibilidade de variações drásticas de velocidade, Então, s a velocidade instantânea será uma boa aproximação da velocidade média Pode-se calcular a velocidade instantânea no tempo 1 fazendo «3 tender à Zero na expressão da velocidade média. ps Dt + =” Note que a expressão da velocidade média DU AUDI (mente a razão incre. EV - mental encontrada na definição de derivada. Quando Ax tende à zero, este quociente tende ao valor da derivada de D. Segue-se que a velocidade instantânea no tempo r é justamente a derivada D'(t) da função-distância. Velocidade Instantânea A velocidade instantânea de um objeto móvel é a derivada (+) de sua função distância, isto é, . Velocidade = derivada da distância. Taxa de Variação Média e Instantânea Estas idéias podem ser usadas em situações mais gerais. Imagine y sendo uma função de x ou seja, y = f(x). Para uma variação de x a x + Ax, a variação de » á de , ção de y correspondente será de Ay=f(x+ 4x) — f(x). Assim, a razão incremental Variação de x ay My fx + do 10) Variação de y — dv dv representa a taxa de variação média de y em relação a x. À medida que o intervalo de variação torna-se menor (isto é, quando Ax tende a zero), a taxa média de variação tende ao que você intuitivamente poderia chamar de taxa de variação instantânea dy de y em relação a x, e a razão incremental tende à derivada = F69) , bx Logo, a taxa de variação instantânea de y em relação a x é justamente a derivada 2”. dx Taxa de Variação Instantânea Sendo » = f(x), à taxa de variação instantânea de y em relação a x é dada pela derivada de /, isto é, , d) Taxa de variação = LL =1'(x) | dx | EXEMPLO 3.1 Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será de P(x) = x? + +20x +8 000. DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 69 (2) Daqui a 15 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade”? (b) Qual será a variação real sofrida durante 0 169 mês? SOLUÇÃO (2) A taxa de variação da população é a derivada da função-população, ou seja, Taxa de variação = P() = 2x + 20. Como PS) = M15)+ 20 =50, conclui-se que, daqui a 15 meses, a população crescerá de 50 habitantes por mês. (b) A variação real sofrida durante o 169 més será a diferença entre a população ao final dos 16 meses e a população ao final dos 15 meses, isto é, (16) — P(15) = 8576 — 8525 51 habitantes. Variação da população No exemplo anterior, a razão da diferença entre a variação real da população durante o 16º mês [item (b) e a taxa mensal de variação da população [item (a)] no início daquele mês é que a taxa de variação da população se modificou durante o mês. A taxa de variação instantânea no item (a) pode ser considerada como a variação ocorrida durante o 169 mês, caso a taxa de variação da popu- lação permaneça constante. Análise Marginal em Economia Em Economia, a taxa de variação (instantânea) do custo total de produção em relação ao nú- mero de unidades produzidas denomina-se custo marginal, é medida em cruzeiros por unidade e, frequentemente, é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. Custo Marginal O custo marginal por unidade é a taxa de variação (instantânea) do custo total em relação à quantidade produzida, ou seja, Custo marginal = derivada do custo total. EXEMPLO 3.2 Suponha que o custo total em cruzeiros ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de C(a)=3q' +59 +10. . (a) Deduza a fórmula do custo marginal. 7 (b) Qual é o custo marginal de SO unidades produzidas? (c) Qual é o custo real de produção da 512 unidade? SOLUÇÃO (a) O custo marginal é a derivada C'(q) = 64 +5. (b) Quando são produzidas 50 unidades, q = 50 e o custo marginal é de C'(50) = 305 cruzei- ros por unidade. 70 / CALCULO (c) O custo real de produção da S13 unidade é a diferença entre o custo de produção de 51 unidades e o custo de produção de 50 unidades, ou seja, Custo da 513 unidade = C(51) — CIS0) = 8 068 — 7760 = Cr$ 308,00 Note que, no exemplo anterior, o custo marginal do item (b) é próximo ao custo real de pro. dução de 1 unidade adicional do item (c). Em termos geométricos, a diferença entre os dois valores é a diferença entre o coeficiente angular da tangente à curva de custo e o coeficiente marginal C'(50) do item (b) é o coeficiente q = 50. A diferença C(51) - C(50) do item (c) é o coeficiente angular Variação de C (450 + 1) = C(50) Variaçõodeq 1 da secante que une dois pontos da curva de custo cujas coordenadas q são 50 e 51. A Fig. 3.1 ilustra a situação. As respostas dos itens (b) e (c) do exemplo anterior são muito próximas por causa da proximi- dade dos pontos (50, C(50)) e (51, C(51)) e porque estes pontos pertencem a uma porção pratica- mente linear da curva de custo. Para tais pontos, o coeficiente angular da secante é uma boa aproxi- mação do coeficiente angular da tangente. Como usualmente se obtém esta aproximação e sendo mais fácil, de maneira geral, calcular-se o custo marginal para um valor de q do que o custo total para dois valores de q, frequentemente, os economistas usam o custo marginal como aproximação do custo real de produção de 1 unidade adicional. De maneira geral, em Economia, análise marginal se refere ao uso de derivadas de funções para se estimar a variação ocorrida no valor da variável dependente, quando há um acréscimo de 1 unidade no valor da variável independente. No próximo exemplo, através da análise marginal, estima-se o efeito na produção de uma fábrica ao se acrescentar 1 unidade no número de operários. Guy cu RD) (50, C(50)) Custo da unidade ngente coeficiente angular da secante angular da Fig 3.1 Relação entre custo marginal e custo de uma unidade adicional. EXEMPLO 3.3 Estima-se que a produção semanal de uma fábrica seja de Q (x) = x* + 60x? + 1 200x unida des, onde x é o número de empregados desta fábrica. Atualmente, 30 operários trabalham na fábrica. Use a análise marginal para estimar a variação semanal da produção resultante do emprego de mais um operário. DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 71 SOLUÇÃO A derivada Qu) = 3x? + 120x + 1200 de operários. Para todo valor x, a deri- é io da produção (7 em relação ao número x po mação do número de unidades adicionais que serão produzidas semanalmente ao Pontes o + 19 operário. Logo, à variação semanal da produção resultante da contratação de se , mais um operário será de, aproximadamente, Q'(30) = —3(30P + 120(30) + 1 200 = 2 100 unidades. Como exercício, calcule o valor exato da variação de produção « compare sua resposta do valor aproximado. É uma bos aproximação o valor achado no exemplo? Porcentagem de Variação e idade não é tão significativa i ráticas, a taxa de variação de uma quantida« quant a a tag de Variação. A taxa de variação anual de uma parcela de 500 pessoas muma citado de s milhões de habitantes, por exemplo, nada representará em eção à população, nan to E 1 i idade de 2 000 habitantes. - deria causar um enorme impacto numa cida s. À P sm Ge variação compara à taxa de variação de uma quantidade com o valor desta quantidade: Taxa de variação de Q Porcentagem de variação de Q=100 5 A taxa de variação de 500 pessoas por ano na população de uma cidade de 5 mtos de pai 1o9s00) = 0,01 por cento da popul ta uma porcentagem de variação de somente soco = ação Dor ano Porém a mesma taxa de variação numa cidade de 2 000 habitantes acarreta uma porcénta variação « = lação por ano. de variação de “282 = 25 por cento da popula . em Eisa aa da porcentagem de variação escrita em termos de derivadas. Porcentagem de Variação Sendo y = (4), a porcentagem de variação de y em relação ax é dada pela fórmula fo dyfdx Porcentagem de variação = 100 == 100 EXEMPLO 3.4 O produto nacional bruto de um certo país era de N(t) =t? + 5t + 100 bilhões de dólares ós 1970. e o Qual é a taxa de variação do produto nacional bruto, em 1975? . (b) Qual é a porcentagem de variação do produto nacional bruto, em 1975? 7: / CÁLCULO Análise Marginal 12. Estima-se que a produção semanal de uma certa indústria seja de Q (x) = — xº + 2 100x uni- dades, onde x é o número de operários empregados no local. (a) Use a análise marginal para estimar o efeito na produção semanal, 20 se empregar um operário adicional (b) Calcule a variação real na produção semanal, ao se empregar um operário adicional. Análise Marginal 13. Numa certa fábrica, a produção diária de um certo produto é de 600K !? unidades, onde K é o capital investido medido em unidades de Cr$ 1 000,00. O capital atualmente investido é de Cr$ 900 000,00. Use a análise marginal para estimar O efeito na produção diária do produto, ao se investir um capital adicional de Cr$ 1 000,00. Análise Marginal 14. Numa certa fábrica, a produção diária de um certo produto é de 30007 L!? unidades, onde K é o capital investido pela firma, medido em unidades de Cr$ 1 000,00, e L é o número de operários-hora. Suponha que o capital atualmente investido seja de Cr$ 400 000,00 e que trabalhem 1331 operárioshora. Use a análise marginal para estimar o efeito na produção diária, ao se investir um capital adicional de Cr$ 1 000,00, sabendo-se que o número de ope- rárioshora é invariável. Crescimento Populacional 15. Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa cidade será de P(x) = 2x +4x)2 + +5000. (a) Qual será a taxa de variação da população daqui a 9 meses? (b) Qual será a porcentagem de variação da população daqui a 9 meses? Lucro Anual 16. O lucro bruto anual de uma companhia é de L(t) = 0,1? + 10t + 20 milhões de cruzeiros, onde t é o número de anos transcorridos desde a fundação da companhia, em 1975. (a) Qual era a taxa de crescimento do lucro bruto da companhia, em 1979? (b) Qual era a porcentagem de crescimento do lucro bruto, em 1979? Imposto Sobre Aluguel 17. O imposto anual pago pelo aluguel de uma certa máquina x anos após 1970 era de 1(x) = = 20x? + 40x + 600 cruzeiros. (a) Qual era a taxa de crescimento do imposto pago em 1976? (b) Qual era a porcentagem de crescimento do imposto, em 1976? Crescimento Populacional 18. Estima-se que daqui a t anos a população de uma certa cidade será de P(t) = 1? + 200t + + 10000. (a) Expresse a porcentagem de variação da população como função de r, simplifique algebri- camente a expressão e construa O gráfico correspondente. (b) Que acontecerá à porcentagem de variação da população após algum tempo? DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BASICOS / 75 Preço de Aluguel 19. Alugou.se um aparelho por Cr$ 12000,00. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de Cr$ 100000. (a) Expresse a porcentagem de variação do aluguel como função do tempo e construa o gráfico correspondente. (b) Qual a porcentagem de variação do aluguel após 1 ano? (c) Que acontecerá à porcentagem de variação após algum tempo? 20. Seja y uma função linear de x. Que acontece à porcentagem de variação de y em relação a x, quando x sofre acréscimo no seu valor? Explique. Queda Livre Se um objeto é atirado ou cai verticalmente, a altura que atinge (em metros) após t segundos é A(1) = 163 + Vot + Ag, onde Vo é à velocidade inicial do objeto e Ao, sua altura inicial. Use esta fórmula para resolver os Probis. de 21 a 24: 21. Uma pedra é atirada (com velocidade inicial zero) do topo de um edifício de 144 metros de altura. (a) Quando a pedra atingirá o solo? (Ou seja, para que valor de 1, A(t) € igual a zero?) (b) Qual será a velocidade da pedra, ao atingir 0 solo? 22. Uma bola é atirada verticalmente do solo (Ao = 0) com velocidade inicial de 160 metros por segundo (Vo = 160). (a) Quando a bola atingirá o solo? (b) Qual será a velocidade da bola, ao atingir o solo? (e) Quando a bola alcançará a altura máxima? (Sugestão: a velocidade da bola será igual a zero, quando alcançar a altura máxima.) (d) Qual será a altura máxima alcançada pela bola? 23. Uma pessoa atira verticalmente para cima uma bola do topo de um edifício. Após 2 segundos, a bola passa por ele, atingindo o solo 2 segundos após. (a) Qual era a velocidade inicial da bola? (b) Qual é a altura do edifício? (e) Com que velocidade a bola passou pela pessoa, quando cafa em direção ao solo? (d) Com que velocidade a bola atinge o solo? 24. Uma bola é atirada verticalmente do solo, com velocidade inicial Vo. (a) Deduza uma fórmula para o tempo no qual a bola atinge o solo. (b) Use a resposta do item anterior para provar que a bola atingirá o solo com velocidade de Vo metros por segundo. Custo de Produção 25. Suponha que o custo total de produção C de uma fábrica seja uma função do número q de uni- dades produzidas, sendo q, por sua vez, uma função do número t de horas de funcionamento da fábrica. dc . (a) Que quantidade é representada pela derivada T=-? Quil € a unidade de medida desta quantidade? 76 / CALCULO do (b) Que quantidade é representada pela derivada = ? Qual é a unidade de medida desta quantidade? dc dq (e) Que quantidade é representada pelo produto 7 “É ? Qual é a unidade de medida desta quantidade? 4 REGRA DA CADEIA Em muitas situações práticas, a quantidade em estudo € dada como função de uma variável que, por sua vez, é uma função de uma outra variável. Nesse caso, a taxa de variação da quantidade em relação à segunda variável é igual à taxa de variação da quantidade em relação à primeira variável multiplicada pela taxa de variação da primeira variável em relação à segunda. Suponha que, por exemplo, o custo total de produção de uma certa fábrica seja função do número de unidades produzidas que, por sua vez, é função do número de horas de funcionamento da fábrica. Sejam C, q e t o custo (em cruzeiros), o número de unidades e o número de horas, respecti- vamente. Então, d dg” f9xa de variação do custo (cruzeiros por unidade) em relação à produção. dq dt taxa ve variação das unidades produzidas (unidades por hora) em relação ao tempo. O produto destas duas taxas é a taxa de variação do custo em relação ao tempo. ac do Ea z = taxa de variação do custo (cruzeiros por hora) em relação ao tempo. Como a taxa de variação do custo em relação ao tempo também é dada pela derivada E gue-se que dc dC dg “dr O dg do” Esta fórmula é um caso particular de uma regra importante denominada regra da cadeia. Regra da Cadeia [seja função de u e u função de x. Então, y pode ser considerado como função de x e | ddr du ! dx du dx” ou seja, a derivada de y em relação ax é a derivada de y em relação a u multiplicada pela derivada de | uemrelaçãoa x, DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 77 dy du Note que uma maneira de lembrar à regra da cadeia é imaginar que as derivadas E e a ão quocientes. dy du a Assim sendo, pode-se cancelar du, reduzindo a expressão E e + do lado direito da equação, à expressão Ea do lado esquerdo. Eis dois exemplos ilustrativos do uso da regra da cadeia. EXEMPLO 4.1 -3W +leu=x"+2. dy = Caleute SO, sendo SOLUÇÃO Como dy du me Gu e q=2x segue-se de (3uê — 6uX2) lu dx Note que esta derivada está expressa em termos das variáveis x e u. Como » é uma função de x expressase EA em termos de x apenas. Para isto, basta substituir u por x? + 2 na expressão de Ea : pe a = [3x 4 2) — 6(xº + 2)K20) = 620º + 2). Como exercício, substitua primeiro, na expressão original de », O valor de u =x* + 2, e depois derive a expressão resultante em relação a X. No próximo exemplo, você verá como usar à regra da cadeia para calcular a derivada para um valor particular da variável independente. EXEMPLO 4.2 Calcule SE Z parax= 1, sendo y= q eu=30 1. SOLUÇÃO Use a regra do quociente para obter dy + DD um 1, du Qu+ 1 Qu + iy Para calcular o valor desta derivada, quando x = 1, substitua este valor de x na fórmula dy u=3x — 1, obtendo u = 2. Substitua, depois, este valor de u na expressão de du 8o /cáLcuLo Usando a regra do quociente, você obterá (E) CoD t+ um. 2 dxw-1 Q -1P Cop Substitua em f' (x) este resultado para obter 1x4 roer a +Irir (173 — 1d. (e + Da Para verificar que a regra da cadeia para potências é um caso especial da regra da cadeia, imagine a função y = [k(x)]" como sendo uma função composta formada por y = u" e u = h(x). Logo, Eu = me = alhG)po dy. dy du dx du dx ea regra da cadeia pode ser reescrita sob a forma Etna = nf É thGo), que é exatamente a regra da cadeia para potências. Taxas Relacionadas Em muitos problemas, uma quantidade é dada como função de uma variável que, por sua vez, pode ser reescrita como função de uma segunda variável. O objetivo é calcular a taxa de variação da quantidade original em relação à segunda variável. Estes problemas são, às vezes, denominados pro- blemas de taxas relacionadas e podem ser resolvidos com auxílio da regra da cadeia. Eis um exemplo. EXEMPLO 4.6 Um estudo do meio ambiente de uma comunidade suburbana conclui que a taxa média diária de monóxido de carbono no ar é de c(p) = 0,5p? + 17 partes por milhão, quando a população é de p milhares. Estima-se que daqui a t anos a população será p(t) = 3,1 + 0,11? milhares. Qual será a taxa de variação, em relação ao tempo, da taxa de monóxido de carbono daqui a 3 anos? SOLUÇÃO O objetivo é calcular & + quando 1 = 3. Calcule primeiro as derivadas. DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 81 dy E - Gps! + 17712 e Ea = 0,2 Quando /=3, p=(3)=31+0,1(32=4, logo, de 4 4 0,5(16) + 172 = == 04 dp (ao,sc16) J ENG e dp - 7 =0,2(3) = 0,6 Use a regra da cadeia para concluir que de de dp , de dedo | - . dE = dp dr” 040,6) = 0,24 partes por milhão por ano Em alguns problemas de taxas relacionadas, você recebe informações sobre as taxas de variação de algumas variáveis, em vez de fórmulas explícitas relacionando as variáveis. Você aprenderá como resolver problemas deste tipo no Cap. 3, Seg. 3. Problemas Nos Probls. de 1 a 10, use a regra da cadeia para calcular à derivada & : ly=u+l,u=3x-2. q v=2u-u+Su=1-x. 3 y=Vuu=n2+2x—3 4.y m e " Eeume+a (6.y Ea Nos Probis. de 11 a 16, use a regra da cadeia para calcular a derivada dx para o valor dado de x: M.y=3ut-4u+S,u=2-2x-S;x=2 AZ p=08-3u+6u-Su=x-lix=1, 33. y=vu,u -Ix +6;x 82 / CALCULO DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 83 Lucro Anual R a 39. O lucro anual de uma fábrica era de fm=v 107? +t + 236 milhões de cruzeiros + anos após sua inauguração, em janeiro de 1975. (a) Qual exa a taxa de crescimento do lucro anual da fábrica, em janeiro de 1979? (b) Qual era a porcentagem de crescimento do lucro anual, em janeiro de 1979? Custo de Fabricação Nos Probis. de 17 a 31, calcule a derivada da função dada: 40. Numa certa fábrica, o custo total de fabricação de q unidades é C(q) = 0,24? +4 + 900 cru- 17. 10) = (2x + 1) 18 to) = 6153 zeiros. Sabe-se que, aproximadamente, q(t) = t? + 1001 unidades são produzidas durante as : B fo) = 6x —3. £ primeiras horas da jornada de trabalho. Qual será a taxa de variação, em relação ao tempo, 19. fo) = o. fiy= 2. do custo total de fabricação 1 hora após o início do trabalho diário? (6x +27 Poluição do Ar 21. fo) 22569) = (3x! — 7xº + 9). 41. Estimase que daqui a £ anos a população de uma certa comunidade suburbana será de 'w 23. =(xº— 443 — fo) = (8º — 4x? — 1º, p()='20 — +êr milhares. Um estudo do meio ambiente indica que a taxa média diária 4. fo) = 5: 25. fl) = ua 26. ft) = a do monóxido de carbono no ar é de c(p) = 0,5 VP” +p + 58 partes por milhão, quando a , V50+2 população é de p milhares. Qual será a taxa de variação, em relação ao tempo, da taxa de | monóxido de carbono, daqui a 2 anos? 27. fl) = ES. E) = E) [ [EA > M Rr: 29. f(x) = (x + 22x — 1). 30. Flo) = 23x + 1D)X5x — 3). Demanda do Consumidor ; 3 foy= E + E . 42. Quando um certo produto é vendido por p eruzeiros cada, os consumidores locais compram D(p)= Sie unidades por mês. Estima-se que daqui a t meses o preço de cada unidade Nos Probis. de 32 será p(t) = 0,04t2 + 15 cruzeiros. Daqui a 25 meses, qual será a taxa de variação da demanda a 35, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f parao valor dado de x: ido produto, em relação ao tempo? À demanda será crescente ou decrescente? 32.-f(x) = (32º + 1); x = —1. Demanda do Consumidor 33. fly) = (1º — “1 23. FO) = (8 — Dx — Dia 43. Um importador norte-americano de café brasileiro calcula que consumidores locais comprarão, =—A . 4 (as fm = Er aproximadamente, D(p) = ar p dólares por quilograma. Estima-se que daqui af semanas o preço do café brasileiro importado 35. fl) = (x — ) :x=3. será de p(t) = 0,02t? + 0,11 + 6 dólares por quilograma. Qual será a taxa de variação da de- Manda semanal de café daqui a 10 semanas? A demanda será crescente ou decrescente? a quilogramas de café por semana, quando o preço for de 36. Calcule a derivada da função f (x) = (3x + 5)? usando dois métodos diferentes, primeiro pela regra da cadeia e, depois, pela regra do produto. Mostre que as duas respostas são idênticas. 5 MÁXIMOS E MÍNIMOS RELATIVOS 37. Demonstre a regra da cadeia para potências, quando n = 2, usando a regra do produto para No Ex. 1.4, você usou Cálculo para maximizar a função-lucro, conforme ilustra a Fig. 5.1. calcular 2, sendo p = [h( e? Você pode observar que o valor máximo correspondia ao único ponto do gráfico no qual o coeficiente dx angular da tangente era zero. Assim sendo, você igualou a derivada a Zero e resolveu a equação em x formada. 38. Demonstre a regra da cadeia para potências, quando n = 3, usando a regra do produto e o re- Nem sempre é tão simples assim, pois, de maneira gerdl, nem todo, ponto da função no qual a sultado do Probl. 37, para calcular É, sendo = ; derivada é nula é o pico do gráfico. Na Fig. 5.2, por exemplo, têm-se duas funções cujas derivadas em .P ar 7 » sendo y = [h(x)]º. x = 0 são nulas. Ambas possuem tangentes horizontais em (0, 0), mas a função ) = x? da Fig.5.24 alcança seu valor mínimo em (0, 0), enquanto que à função y =x? da Fig. 5.2b não possui máximo (Sugestão: Comece escrevendo y como h (x) [h (x) P ) nem mínimo neste ponto. 86 / CALCULO DIFERENCIAÇÃO: CONCEITOS BÁSICOS / 87 Pontos Críticos Como a função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos nos quais a função pode possuir máximos ou mínimos relativos são aqueles nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas. O ponto critico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é, necessariamente, um extremo relativo (veja novamente a Fig. 5.2b). . 4>0 roi0 sudo Máximo Relativo Mínimo Relativo Não Possui Extremos Relativos Fig. .7 Três pontos críticos. Se o sinal da derivada for positivo à esquerda do ponto crítico e negativo à direita dele, o ponto crítico é um máximo relativo. Se o sinal da derivada for negativo à esquerda do ponto crítico e po- sitivo à direita dele, o ponto crítico é um mínimo relativo. Se o sinal da derivada for o mesmo em ambos os lados do ponto crítico, o ponto não é máximo nem mínimo relativo. A Fig. 5.7 ilustra a situação. Construção de Gráficos Pelas observações anteriores, pode-se obter uma técnica geral para construir gráficos de funções e calcular seus extremos relativos. Como Usar Derivadas para Construir Gráficos de Funções 12 Paso, Calcule a derivada f(x). Calcule as coordenadas x dos pontos críticos, igualando f(x) 8 zero e resolvendo a equa- ção em x. Inclua também valores de x para os quais a derivada é indefinida. Substitua estes PEA de x na função / (x), obtendo as coordenadas y dos pontos críticos. 3º Passo, Coloque os pontos críticos no gráfico, Estes são os únicos pontos onde os extremos relati- vos podem existir. [49 Passó,) Determine onde a função é trescente ou decrescente, verificando o sinal da derivada nos tervalos cujos ex o as coordenadas x . 59 Passo. Construa o gráfico de tal forma que “cresça” nos intervalos onde a derivada é positiva, “decresça” nos intervalos onde a derivada é negativa, e não “cresça” nem “decresça”, quando f(x) = 0. Eis alguns exemplos. EXEMPLO 5.1 5) Determine onde a função f(x) = 2x? + 3x) — 12x — 7 é crescente e onde é decrescente, cal- cule seus extremos relativos e construa o gráfico correspondente. SOLUÇÃO Comece, calculando e fatorando a derivada T)= 642 +6x-— 12 =6x+2kx— D. Através da forma fatorada da derivada, você percebe que f'(x) = 0, quando x=—2e x =1. Como f(-2) = 13e f(1) = — 14, segue-se que os pontos críticos são (— 2, 13) e (1, — 14). Inicie a construção do gráfico, colocando estes pontos críticos (Fig. 5.8). Lembre-se de que O gráfico deverá possuir tangentes horizontais nestes pontos. (Caso queira, trace pequenos segmentos de retas horizontais passando em cada um deles.) Para determinar onde à função é crescente e onde é decrescente, observe os sinais da derivada, quando x< —-2,-2l. Quando x < —2, tanto (x + 2), quanto (x — 1) são negativos; logo, a derivada f'(x) = =6(242)* (x— 1) é positiva. Portanto, f é crescente, neste intervalo. Quando -2< x< 1,0 termo (x + 2) é positivo, enquanto (x — 1)é negativo. Logo, a deri- vada é negativa e f é decrescente, neste intervalo. Finalmente, quando x > 1, tanto (x + 2), quanto (x — 1) são positivos. Logo, a derivada é positiva e f é crescente, neste intervalo. Eis uma tabela que resume estas observações. Intervalo Sinal de f'() Função Crescente ou Decrescente x<-2 + Crescente -21 + Crescente Complete a construção do gráfico da Fig. 5.8», desenhando a curva crescente para x < —2e x > 1, decrescente para — 2< x< 1 e que, nos pontos críticos, não será crescente nem decrescente. Note que à função possui um máximo relativo no ponto crítico (— 2, 13) e um mínimo relativo no ponto crítico (1, — 14). EXEMPLO 5.2 Determine onde a função f (x) = 2 + (x — 1)? é crescente e onde é decrescente, calcule seus extremos relativos e construa o gráfico correspondente. y y 213 (2.13) —-| x | x q,-19) a, -14) o O) Fig 5.8 Construção do gráfico de y = 2xº + 3x! — 12x — 7. 190 / CÁLCULO: UM CURSO MODERNO E SUAS APLICAÇÕES Teste da Derivada Segunda Podemos usar a derivada segunda para classificar os pontos críticos de primeira ordem de uma função como máximos relativos ou mínimos relativos. Enunciamos, a seguir, o procedimento denominado teste da derivada segunda. Teste da Derivada Segunda Suponhamos que f (a) = 0. Se f"" (a)>0, então f possui um mínimo relativo em x = a. Se f"' (a)<0, então possui um máximo relativo em x = a. Todavia, se f"' (a) = 0, o teste nada informa e f pode ter um máximo relati- vo, um mínimo relativo ou não ter quaisquer extremos relativos em x = a. Para compreender por que o teste da derivada segunda funciona, basta exami- nar a Fig. 2.6, pois ela mostra as quatro possibilidades que podem ocorrer quando f'(a)=0. x Flu) = 0 Fra) <0 frias = 0 Fita > 0 +——+———»« A+ a a Máximo relativo Mínimo relativo (a) tb) v x F fia) =0 fu) = 0 Fi - » tar = 0 far =0 + o a a Ponto de inflexão Ponto de inflexão te) (dy Fig. 2.6 Comportamento da curva quando a derivada primeira é nula. CONCEITOS MAIS AVANÇADOS + 191 A Fig. 2.6 indica que, em um máximo relativo, f deve ser côncava para baixo e, portanto, 7” (a) <0. A Fig. 2.6b indica que, em um mínimo relativo, Í deve ser côncava para cima e, portanto, f' (a) >0. Por outro lado, as Figs. 2.6c e 2.61 indicam que, se um ponto f (a) = O não for um extremo relativo, deverá ser um ponto de inflexão; logo, se f” (a) for definida, deverá ser zero. Daí, sef (a) =0ef' (a)< 0, o ponto crítico correspondente deve ser um máximo relativo, ao passo que se f (4) = 0 ef” (a) 2 0, 0 ponto crítico correspondente deve ser um mínimo relativo. O próximo exemplo ilustra o uso do teste da derivada segunda. [> ————— EXEMPLO 2.3 Use o teste da derivada segunda para calcular o máximo e o mínimo relativos da função f(x) = 2% + 30 — 12x —7 Solução Como a derivada FO Gs 6x -12=6(x+D(x—D é nulaem x=-2ex = 1, os pontos correspondentes (— 2, 13) e (1, — 14) são pontos críticos de primeica ordem de f. Para testar estes pontos, calcula- mos a derivada segunda FO) =12x+6 e calculamos seu valor para x = — 2e x = 1. Como ff D=-180, segue que (— 2, 13) é um máximo relativo e como Fr ()=18>0, segue que (1, — 14) é um mínimo relativo. O gráfico de f está traçado na Fig. 2.7. 
