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Exerc´ıcios Resolvidos: Deriva¸c˜ao por Limite
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Atualizado em 06/03/
Como calcular?
Utilizamos duas f´ormulas
f ′ (x) = lim h→ 0
f (x + h) − f (x)
h
f ′ (a) = lim x→a
f (x) − f (a)
x − a
Onde (1) fornece a derivada da fun¸c˜ao e (2) o valor da derivada no ponto a.
Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) =
x −
Solu¸c˜ao:
O que desejamos ´e determinar uma fun¸c˜ao f ′(x), portanto utilizaremos a f´ormula 1.
f ′ (x) = lim h→ 0
(1/2)(x + h) − (3/5) −
x −
h
h
h
Logo f ′ (x) =
Exemplo 2: Calcule a derivada de f(x) = 5x^2 − 3 x + 7.
Solu¸c˜ao:
O que desejamos ´e determinar uma fun¸c˜ao f ′(x), portanto utilizaremos a f´ormula 1.
f
′ (x) = lim h→ 0
5(x + h) 2 − 3(x + h) + 7 − (5x 2 − 3 x + 7)
h
f ′ (x) = lim h→ 0
(10x + 5h − 3) = 10x − 3
Exemplo 3: Calcule a derivada de f(x) = cos(3x).
Solu¸c˜ao:
f
′ (x) = lim h→ 0
cos(3(x + h)) − cos(3x)
h
f
′ (x) = lim h→ 0
cos(3x + 3h) − cos(3x)
h
Como cos(A+B) = cos(A)cos(B) − sen(A)sen(B).
f ′ (x) = lim h→ 0
cos(3x)cos(3h) − sen(3x)sen(3h) − cos(3x)
h
f ′ (x) = lim h→ 0
cos(3x)(cos(3h) − 1) − sen(3x)sen(3h)
h
f ′ (x) = lim h→ 0
cos(3x)(cos(3h) − 1)
h
− lim h→ 0
sen(3x)sen(3h)
h
f ′ (x) = lim h→ 0
cos(3h − 1)
3 h
· 3 cos(3x)
− lim h→ 0
sen(3h)
3 h
· 3 sen(3x)
f ′(x) = 0 · 3 cos(3x) − 1 · 3 sen(3x)
f ′ (x) = − 3 sen(3x)
Exemplo 4: Calcule a derivada de f ′(2) sendo f(x) = x^2 –3x + 4.
Solu¸c˜ao:
Diferente dos outros exerc´ıcios at´e agora o que desejamos aqui ´e apenas o valor de f ′(2).
Assim usaremos a f´ormula (2).
f ′ (2) = lim h→ 2
(x 2 − 3 x + 4) − ( 2 − 3(2) + 4)
x − 2
f ′ (2) = lim h→ 2
x^2 − 3 x + 2
x − 3
= lim h→ 2
(x − 2)(x − 1)
x − 2
f ′ (2) = lim h→ 2
(x − 2)(x − 1)
x − 2
= lim h→ 2
(x − 1)
lim h→ 0
(x + h) + 1
2 − (x + h)
x + 1
2 − x
h
= lim h→ 0
(x + h) + 1
h(2 − x + h)
x + 1
h(2 − x)
= lim h→ 0
h^2 (2 + 1)
h^2 (2 − x − h)(2 − x)
(2 − x − 0)(2 − x)
(2 − x)^2
Exemplo 7: Encontre o valor da derivada de f (x) = 2x 2
Solu¸c˜ao:
Utilizando a f´ormula (2):
lim x→ 3
2 x^2 + 1 − (2(3)^2 + 1)
x − 3
= lim x→ 3
2 x 2 − 18
x − 3
= lim x→ 3
(x − 3)(2x + 6)
x − 3
= lim x→ 3
(2x + 6) = 2(3) + 6 = 12
Exemplo 8: Calcule o valor da derivada de f (x) =
x 3
x^2 − 5
no ponto x = 5.
Solu¸c˜ao:
Utilizando a f´ormula (2):
lim x→ 5
x^3 + 4
x^2 − 5
x − 5
= lim x→ 5
x 3
x^2 − 5
x − 5
= lim x→ 5
x 3
x^2 − 5
6 .45(x 2 − 5)
(x^2 − 5)
x − 5
= lim x→ 5
x^3 + 4 − 6. 45 x^2 + 32. 25
(x − 5)(x^2 − 5)
= lim x→ 5
x^3 − 6. 45 x^2 + 36. 25
(x − 5)(x^2 − 5)
= lim x→ 5
(x − 5)(x^2 − 1. 45 x − 7 .25)
(x − 5)(x^2 − 5)
= lim x→ 5
x^2 − 1. 45 x − 7. 25
x^2 − 5
(5)^2 − 1 .45(5) − 7. 25
(5)^2 − 5
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
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Para encontrar esse e outros exerc´ıcios resolvidos de matem´atica acesse: www.number.890m.com
