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ESCOLA SECUNDÁRIA D´A POLITÉCNICA DE NACALA-ESDP
Aula Nº 5
UNIDADE TEMÁTICA 6: CÁLCULO DIFERENCIAL
TEMA: Derivada de funções trigonométricas
Disciplina: Matemática Data: 07 / 09 / 2020
Classe: 12ª Semana: 07/ 09 á 11 / 09
DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1) Derivada da Função Seno: A derivada da função seno é a função cosseno.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑓’(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (função simples)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑓’(𝑥) = 𝑢’. cos 𝑢 (função composta) (u: função de uma única variável)
2) Derivada da Função Cosseno: A derivada da função cosseno é igual a função seno negativa.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓’(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑓
′ (𝑥) = −𝑢’. 𝑠𝑒𝑛 𝑢
3) Derivada da Função Tangente: A derivada da função tangente é igual ao quadrado da função
secante.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 𝑓’(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐
2 𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔𝑢 𝑓’(𝑥) = 𝑢´. 𝑠𝑒𝑐
2 𝑢
4) Derivada da Função Cotangente: A derivada da função cotangente é igual ao quadrado da
função cossecante acompanhado do sinal negativo.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑓’(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
2 𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑢 𝑓’(𝑥) = −𝑢’. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐
2 𝑢
5) Derivada da Função Secante: A derivada da função secante é igual ao produto da função
secante pela função tangente.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑓’(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑎𝑔𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑢 𝑓’(𝑥) = 𝑢’. 𝑠𝑒𝑐𝑢. 𝑡𝑎𝑔𝑢
6) Derivada da Função Cossecante: A derivada da função cossecante é igual ao produto da
função cossecante pela função cotangente acompanhado do sinal negativo.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑓’(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑢 𝑓’(𝑥) = −𝑢’. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑢. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑔𝑢
EXEMPLOS
- De posse dessas regras, vamos calcular a derivada das seguintes funções:
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥), emx / 6 b) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥 − 2) c) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑔(5𝑥3 – 4)
d) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 x e) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥3 – 4) f) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔3𝑥
Solução
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(4𝑥) u 4 x u ' 4
y u u
y senu
' ' cos
' 4 cos
' 4 .cos 4.
' 4 cos( 4 )
^
y
y
y
y x
b) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥 − 2) u 3 x 2 u ' 3
- Derivada da Função Arcseno.
a) 2 1
x
y arcsenx y
b) 2 1
u
u y arcsenu y
- Derivada da Função Arccosseno.
a) 2 1
arccos ' x
y x y
b) 2 1
arccos ' u
u y u y
- Derivada da Função Arctangente.
a) 2 1
arctan ' x
y gx y
b) 2 1
arctan ' u
u y gu y
- Derivada da Função Arccotangente.
a) 2 1
cot ' x
y arc gx y
b) 2 1
cot ' u
u y arc gu y
- Derivada da Função Arcsecante.
a) 1
sec ' 2
x x
y arc x y
b) 1
sec ' 2
u u
u y arc u y
- Derivada da Função Arccossecante.
a) 1
arccossec ' 2
x x
y x y
b) 1
arccossec ' 2
u u
u y u y
Após os estudos das regras acima, vamos derivar as seguintes funções:
a) y arcsen ( 3 x ) b) cos( 4 3 )
3 y ar x
c) y^ arc sec x d) y arctag x
5
Solução
a) y arcsen ( 3 x ) u 3 x u ' 3
2
2
2
x
y
x
y
u
u y
y arcseu
b) cos( 4 3 )
3
y ar x
3 2 u 4 x 3 u ' 12 x
2 1
arccos
u
u y
y u
3 2
2
x
x y
c) y arc sec x
x
u x u 2
sec
2 u u
u y
y arc u
2
x x
y
x x
x y
a) y = x
4x b) y = (senx)
x
Solução
a) y = x 4x
v x v
u x u b) y = (senx) x
' cos
v x v
u senx u x
y vu u vu Lnu
y u
v v
v
1
y vu u vu Lnu
y u
v v
v
1
4
4
4
4 4
4 1 4
y x Lne x
y x Lne Lnx
y x Lnx ou
y x x Lnx
y xx x Lnx
x
x
x
x x
x x
' .cot ( )
'. .cot..
.cos..
'. .cos 1 ...
1
y senx x gx Ln senx
y x senx gx senx Lnsenx
x senx Lnsenx senx
senx y x
y x senx x senx Lnsenx
x
x x
x
x
x x
EXERCICIOS PROPOSTOS (DE CARÁCTER AVALIATIVO)
- Derivar as seguintes funções:
2
- y = (x – 1) 3
- y = (1 – x) 2
2 3
x
y
(^) 05) y 3 x 06) 3 y 4 x 1
- y sen x
3 08)
4 y 4 x 09) y x
2 cos
x y e
5 11)
x y e 12) y Lnx
3
2 y sen x x 14) y sec( 3 x ) 15) y cossec 2 x
y = tg 2 (2x) 17) y = cotg(x+1) 18) y = Ln(cosx)
y = Ln(tgx) 20) y = sen x 4
y = (5x – 2) 3
y = (3 – 4x) 5 , em x = 1 23) y = (x 3
4 24) y = f ( x ) 3 x 1
- y = 3 2 f ( x ) ( 2 6 x ) 26) x
x y
27) y = (Ln 3x): x 3
3
x
Ln x Y 29) y = (x 2
x
x x y 3 2
3
32) y = Ln (4x 2
Ln x y 4. e
x
x f x
4 5
x f x 36) 1
2
x
x y
t
t f t 100 2
38) 3 2 P ( q ) 100. 64 4 q 39) 2
3
x
x f x
-
1 ( ) 1
f L A K L 41)
x (^) y e 42) y = Ln(x 3
-
1 ( ) 1
f K A K L 44) cos 1
2 y x 45) y = senx.cosx
- (^) y senx cos x tgx cot gx 47)
1
x
senx y 48) x
x y cos
2 (^) y sen x 49) y = sen(Lnx) 50) y = arcsen(x 2 )
y = arccos(x-1) 52) f(x) = arctg(3x) 53) y = arcsen(Lnx)
y = (arcasenx) 2
y = (x 2
3
- y = (5x 3
2 1
x
y 58) 3 2 y x 3 59)
2 y 5 x
- y = cos 4 x, em x = 61)
3 y^ senx 62) y = Ln^2 (4x)
- y = e -4x
x e
y 9
65) y = x.cos^2 x
y = x.tgx 67) y = x 2 .cotg 2 x 68) y = cossecx.Lnx
(2x-1) 3 .senx 70)
3
x
x y 71) y = sen(3-x 2 )
y = sec 2 (4x) 73) y = cos 5 x 74) y = cosx 5
y = sen(3x)-cos(2x), x= 76) y = x.Lnx 2
Ln(3x 2 )
y = Ln 2 (4x 2 ) 79) y = e sen(2x)
y = 2 tgx
senx y
2 3 82) y = x.cotg(3x
2 ) 83) y = x
3 .e
cosx
x y x. e 85)
x
x y Ln 3
1 x^2 y e
