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Capítulo 03. Determinantes http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/542.htm
Capítulo 03. Determinantes
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir. Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo:
1. Definições
1.1. Determinante de uma Matriz de Ordem
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a 11 ] Chamamos determinante dessa matriz o número
Exemplos
1.2. Determinante de uma Matriz de Ordem
Seja a matriz quadrada de ordem 2:
Chamamos de determinante dessa matriz o número:
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entr e o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Esquematicamente:
Exemplos
1.3. Determinante de uma Matriz de Ordem
Seja a matriz quadrada de ordem 3
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Capítulo 03. Determinantes 39
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Capítulo 03. Determinantes
Chamamos determinante dessa matriz o número:
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus:
1º) Repetimos a 1o^ e a 2o^ colunas à direita da matriz.
2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado do s produtos, temos:
Exercícios Resolvidos
- Calcule o determinante da matriz:
Resolução Utilizando a regra de Sarrus, teremos:
a) Repetir a 1a^ e a 2a^ colunas:
det A = 1 · 2 · 4 + 2 · 1 · 2 + 4 · 3 · 0 – 2 · 2 · 4 + – 0 · 1 · 1 – 4 · 3 · 2 det A = 8 + 4 + 0 – 16 – 0 – 24
Resposta: det A = – 28
b) Repetir a 1a^ e a 2a^ linhas:
det A = 2 · 2 · 1 + 3 · 0 · 4 + 1 · 2 · 4 – 2 · 2 · 4 + – 1 · 0 · 1 – 3 · 2 · 4 det A = 4 + 0 + 8 – 16 – 0 – 24
Resposta: det A = – 28
- Resolver em R:
Resolução
x · 3 · 0 + 1 · 4 · 2 + 3 · 2 · 0 – 2 · 3 · 3 – 0 · 4 · x +
- 0 · 2 · 1 = 0 + 8 + 0 – 18 – 0 – 0 = – 2 · 4 – 1 · x = 8 – x
Teremos: –10 = 8 – x
Resposta: x = 18
Leitura Complementar:
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Capítulo 03. Determinantes
2.6. Propriedade 4
Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então det C = det A + det B
Exemplo:
Exercícios Resolvidos
- Dadas as matrizes:
Obter det A, det B e det C.
Resolução Note que:
- A, B e C têm a 1ª coluna igual;
- a 2ª coluna de C é a soma das segundas colunas de A e B. Teremos: det A = 2 · 0 – 3 · 1 = – det B = – 4 – 3 = – det C = – 4 – 6 = – det C = det A + det B
- Dada a matriz
Resolução Pela propriedade 4:
D 1 tem duas filas paralelas iguais, então D 1 = 0 D 2 tem duas filas paralelas iguais, então D 2 = 0. Assim: D = D 1 + D 2 = 0 + 0
2.7. Propriedade 5 (Teorema de Jacobi)
O determinante não se altera quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela multiplic ada por um número.
Exemplo
Considere o determinante
Somando a 3a^ coluna com a 1a^ multiplicada por m, teremos:
Exemplo Vamos calcular o determinante D abaixo.
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = –
Em seguida vamos multiplicar a 1a^ coluna por 2, somar com a 3a^ coluna e calcular:
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Capítulo 03. Determinantes 42
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Capítulo 03. Determinantes
D 1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = –
Observe que D 1 = D, de acordo com a propriedade. Conseqüência Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero.
Exemplo
Observe que cada elemento da 3a^ coluna é igual à 1 a^ coluna multiplicada por 2 somada com a 2a^ coluna multiplicada por 3. 8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 5 = 2(4) + 3(–1) = 8 – 3
Portanto, pela conseqüência da propriedade
5, D = 0.
Use a regra de Sarrus e verifique.
2.8. Propriedade 6 (Teorema de Binet)
Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A · B) = det A · det B.
Exemplo
Logo, det(AB) = det A · det B.
Conseqüências
1 a) Sendo A uma matriz quadrada e n N*, temos:
2 a) Sendo A uma matriz inversível, temos
Justificativa
Seja A matriz inversível.
uma vez que det I = 1, onde I é a matriz identidade.
Exercícios Resolvidos.
- Calcular o valor do determinante:
Resolução
- Colocando 4 em evidência na 2a^ linha:
- Colocando 5 em evidência na 3a^ coluna:
- Aplicando Sarrus no determinante 3 × 3, teremos:
Resposta: O valor do determinante é 700.
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Capítulo 03. Determinantes
Assim:
3.2. Determinante de uma Matriz de Ordem
n
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.
Então o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, , é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos cofatores. Exemplos:
Assim: det A = a 11 · a 22 + a 12 · (– a 21 )
Nota:
Observamos que este valor coincide com a definição vista anteriormente.
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Capítulo 03. Determinantes
Nota:
Observamos que este valor coincide com a definição vista anteriormente.
det A = 2 · A 11 + (–3) · A 12 + 2 · A 13 + 5 · A 14 , onde:
Assim: det A = 2 · (–14) + (–3) · (+17) + 2 · (–5) + 5 · (+18) det A = 1
Assim:
Nota
Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado.
3. Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, , seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pe los respectivos co-fatores. Exemplos
Utilizando a 2a^ linha para a aplicação do teorema de Laplace, temos:
Notamos que a escolha feita leva-nos ao cálculo de apenas 1 co-fator; se utilizássemos a 1 a^ linha, deveríamos calcular 4 co-fatores: Assim:
det A = 2 · 35 = 70
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Capítulo 03. Determinantes
2 a) A é triangular inferior
Lembrando que a matriz identidade é triangular, temos:
Exercício Resolvido
- Calcular o determinante
Vamos colocar 2 em evidência na 2 a^ linha (conseqüência da P3)
Vamos multiplicar a 2a^ linha por –3 e somar com a 3 a^ linha (teorema de Jacobi)
Aplicando o teorema de Laplace na 1a^ coluna:
Aplicando novamente o teorema de Laplace na 1a coluna:
Portanto det A = –
Leitura Complementar:
4. Determinante de
Vandermonde
Um determinante de ordem é chamado determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente.
Exemplos
1 o^ ) Determinante de Vandermonde de ordem 3
2 o) Determinante de Vandermonde de ordem 4
Os elementos da 2 a^ linha são denominados elementos característicos.
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Capítulo 03. Determinantes
Propriedade
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtém subtraindo-se de cada um dos elementos caracte-rísticos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante.
Exemplos
1 o) Calcule o determinante abaixo.
Observe:
- 1 a^ linha – todos os elementos são iguais a 1
- 2 a^ linha – 2, 3, 4, 5
- 3 a^ linha – 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16 e 5^2 = 25
- 4 a^ linha – 2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64 e 5^3 = 125
Verificamos tratar-se de um determinante de Vandermonde, logo os seus elementos caracterís-ticos são 2, 3, 4 e 5. As diferenças possíveis são: (3 – 2), (4 – 2), (4 – 3), (5 – 2), (5 – 3) e (5 – 4).
Então, podemos escrever:
det V = (3 – 2)·(4 – 2)·(4 – 3)·(5 – 2)·(5 – 3)·(5 –
det V = 1 · 2 · 1 · 3 · 2 · 1 det V = 12
2 o) Calcule o determinante:
Sabemos que det A = det At, então:
que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: det A = (4 – 2) · (7 – 2) · (7 – 4) = 2 · 5 · 3 = 30
- Regra de Chió Esta regra é uma aplicação direta do teorema de Jacobi; permite abaixar a ordem de um determinante para simplificar o seu cálculo. Para poder aplicar a regra de Chió, precisamos de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2, com aij = 1. Seguem as etapas:
- 1 a^ etapa: eliminamos da matriz dada a linha i e a coluna j do elemento aij = 1;
- 2 a^ etapa: subtraímos de cada um dos elementos restantes de A o produto dos elementos eliminados que se encontram na sua linha e na sua coluna, obtendo assim uma matriz B de ordem n – 1;
- 3 a^ etapa: o determinante de A é igual a (–1)i + j^ · det B.
Exemplo
Calcule o determinante da matriz A.
- Vamos aplicar a regra de Chió a partir do elemento a 24 = 1.
A partir daqui teremos:
Então:
Finalmente:
det A = (–1)2 + 4^ · det B = 23 confira!
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Capítulo 03. Determinantes 49
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Capítulo 03. Determinantes
0 3. Usando a regra de Chió, calcule o determinante da matriz abaixo.
Resolução
Não tem elemento igual a 1; vamos provocar o seu aparecimento na posição a 11 com a ajuda do
teorema de Jacobi.
Vamos somar à primeira linha a segunda linha multiplicada por –1. Teremos:
Usando a regra de Chió:
Assim:
Resolvendo com a regra de Sarrus:
det A = – 60 (que é a resposta)
Leitura complementar
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Capítulo 03. Determinantes 51
Capítulo 04. Inversão de Matrizes http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/1803.htm
Capítulo 04. Inversão de Matrizes
- Inversão Na álgebra dos números reais, um número n é chamado de inverso de um número m e é indicado por m–1^ se, e somente se, m · n = n · m = 1.
Assim, é inverso de , pois
Todo número real é invertível em relação à multiplicação, ou seja, sempre existe o número tal
que:
O conceito de inversão é usado para resolver equações do tipo ax + b = 0. Observe o exemplo abaixo: 4 x = 12
Multiplicando-se ambos os membros pelo inverso de 4:
Pela propriedade associativa:
Pela definição de inverso: 1 · x = 3
Pela propriedade do elemento neutro: x = 3
A necessidade de resolver equações matriciais do tipo AX = B, em que A, X e B são matrizes, fez com que se estendesse a teoria de inversão de números reais para as matrizes.
- Matriz Inversa Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B é chamada inversa de A se, e somente se,
em que:
B é a matriz inversa de A : B = A– In é a matriz identidade de ordem n.
Assim, por exemplo, a matriz é inversa
de , pois:
ou seja: AB = BA = In
- Obtenção
1 o^ modo: a partir da definição.
Exemplo
Obter a matriz inversa da matriz , se
existir.
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Capítulo 04. Inversão de Matrizes 52
Capítulo 04. Inversão de Matrizes http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/1805.htm
Capítulo 04. Inversão de Matrizes
Resolução: det A = 1 · 3 · 1 = 3 B 23 = · A 32
onde A 32 = (-1)3+2^ · = -
b 23 =
- Propriedades
1 a) (A–1)–1^ = A
2 a) (A–1)t^ = (At)–
3 a) (AB)–1^ = B–1^ · A–
4 a) det A-1^ =
Exercícios Resolvidos
- Encontre a matriz inversa da matriz ,
se existir. Resolução: det A = 6 – 6 = 0, logo não existe a matriz inversa.
- Mostre que, se uma matriz quadrada é invertível, então det A 0. Resolução: Se A é inversível, então:
A–1^ · A = I
det (A–1^ · A) = det I
(det A) · (det A–1) = 1 Portanto det A 0 e
det (A -1) =
- (UFU-MG) Considere o conjunto das matrizes
da forma
Determine o valor de k para o qual exista exatamente uma matriz não-inversível nesse conjunto.
Resolução:
(x-3)·(x-5)-1·(x+k) =
x^2 – 8x + 15 – x – k = x^2 – 9x + 15 – k
Para não se ter A–1, devemos ter det A = 0.
x^2 – 9x + 15 – k = 0 Como queremos uma matriz não-inversível, devemos ter = 0 :
= (–9)^2 – 4(1) (15 – k) = 0 81 – 60 + 4k = 0 4k = –
k=
Resposta: Teremos k =.
- Calcule se existir, a inversa da matriz A.
Resolução:
1 o) Vamos calcular o determinante de A
det A = – 15 logo A tem inversa
2 o) Matriz dos cofatores
52 53 54 55
Capítulo 04. Inversão de Matrizes 54
Capítulo 04. Inversão de Matrizes http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/1793.htm
Capítulo 04. Inversão de Matrizes
3 o) Matriz Adjunta (transposta da matriz dos cofatores)
4 o) Cálculo da inversa
Como det A = –15, temos
Resposta:
52 53 54 55
Capítulo 04. Inversão de Matrizes 55
Capítulo 05. Sistemas Lineares http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/1794.htm
Capítulo 05. Sistemas Lineares
1.3. Conjunto Solução
Chamamos de conjunto solução de uma equação linear o conjunto formado por todas as suas soluções.
Observação Em uma equação linear com 2 incógnitas, o conjunto solução pode ser representado graficamente pelos pontos de uma reta do plano cartesiano. Assim, por exemplo, na equação 2 x + y = 2 algumas soluções são (1, 0), (2, –2), (3, –4), (4, –6), (0, 2), (–1, 4), etc.
Representando todos os pares ordenados que são soluções da equação dada, temos:
1.4. Equação Linear Homogênea
Uma equação linear é chamada homogênea quando o seu termo independente for nulo.
Exemplo 2 x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 – x 5 = 0
Observação Toda equação homogênea admite como solução o conjunto ordenado de “zeros” que chamamos solução nula ou solução trivial.
Exemplo (0, 0, 0) é solução de 3x + y – z = 0
1.5. Equações Lineares Especiais
Dada a equação: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +...anxn = b, temos:
- Se a 1 = a 2 = a 3 =...= an = b = 0, ficamos com: 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +...+ 0 xn = b 0, e, neste caso, qualquer seqüência ( ) será solução da equação dada.
- Se a 1 = a 2 = a 3 = ... = an = 0 e b 0, ficamos com: 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 +...+ 0 xn = b 0, e, neste caso, não existe seqüências de reais ( ) que seja solução da equação dada.
2. Sistema Linear 2 × 2
2.1. Definição e Elementos
Chamamos de sistema linear 2 × 2 o conjunto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas simultaneamente. Todo sistema linear 2 × 2 admite a forma geral abaixo:
Um par ( ) é solução do sistema linear 2 × 2 se, e somente se, for solução das duas equações do sistema.
Exemplo (3, 4) é solução do sistema
pois é solução de suas 2 equações: (3) – (4) = – 1 e 2 · (3) + (4) = 10
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Capítulo 05. Sistemas Lineares 57
Capítulo 05. Sistemas Lineares http://www.cocemsuacasa.com.br/ebook/pages/1795.htm
Capítulo 05. Sistemas Lineares
2.2. Resolução de um Sistema 2 × 2
Resolver um sistema linear 2 × 2 significa obter o conjunto solução do sistema. Os dois métodos mais utilizados para a resolução de um sistema linear 2 × 2 são o método da substituição e o método da adição. Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2 × 2 abaixo usando os dois métodos citados.
1 o) Método da Substituição:
Da equação (II), obtemos x = y –1, que substituímos na equação (I) 2(y – 1) + 2 · (3) = 8 5 y = 10 y = Fazendo y = 2 na equação (I), por exemplo, obtemos: 2 x + 3 = 8 2 x = 2 x = 1 Assim: S = {(1, 2)}
2 o) Método da Adição:
Multiplicamos a equação II por 3 e a adicionamos, membro a membro, com a equação I.
Fazendo x = 1 na equação (I), por exemplo, obtemos: 2 · 1 + 3y = 8 y = 2 Assim: S = {(1, 2)}
2.3. Sistema Linear 2 × 2 com infinitas
soluções
Quando uma equação de um sistema linear 2 × 2 puder ser obtida multiplicando-se a outra por um número real, ao tentarmos resolver esse sistema, chegamos numa igualdade que é sempre verdadeira, independente das incógnitas. Nesse caso, existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema.
Exemplo
Note que multiplicando-se a equação (I) por (-2) obtemos a equação (II).
Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos:
Da equação (I), obtemos , que
substituímos na equação (II).
= 16 –4x – 2(8 – 2x) = –
–4x – 16 + 4x = –16 –16 = –
–16 = –16 é uma igualdade verdadeira e existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema.
Entre outros, (1, 2), (4, 0), e são
soluções do sistema.
Sendo , um número real qualquer, dizemos que
é solução do sistema. (Obtemos
substituindo x = , na equação (I)).
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Capítulo 05. Sistemas Lineares 58
