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C·lculo do determinante atravÈs do Teorema de Laplace
Seja A = [aij ]i=1;:::;n
j=1;:::;n
uma matriz quadrada de ordem n.
Menor (i; j) da matriz A; Ai;j ; È o determinante da matriz que se obtÈm de A retirando-lhe a
linha i e a coluna j. Chama-se complemento algÈbrico ou co-factor de aij a ( 1)
i+j Ai;j ;
que se designa por A^i;j :
Exemplo:
Sendo A =
5 ;^ temos, por exemplo:
A 1 ; 2 = det
= 3 e A^ 1 ; 2 = ( 1)
1+ A 1 ; 2 = 3
A 3 ; 1 = det
= 34 e A^ 1 ; 2 = ( 1)
3+ A 1 ; 2 = 34
Teorema de Laplace: Seja A = [aij ]i=1;:::;n
j=1;:::;n
uma matriz quadrada de ordem n: Ent„o
(i) Se l 2 f 1 ; 2 ; :::; ng, ent„o det (A) =
n X
j=
alj A^l;j : (Desenvolvimento ao longo da
linha l)
(ii) Se c 2 f 1 ; 2 ; :::; ng, ent„o det (A) =
X^ n
i=
aic A^i;c: (Desenvolvimento ao longo da
coluna c)
Notas:
- O Teorema de Laplace estabelece que o determinante de uma matriz se pode obter
efectuando a soma do produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos respectivos
complementos algÈbricos e reduz o c·lculo de um determinante de ordem n ao c·lculo
de determinantes de ordem n 1 :
- Para aplicaÁ„o do Teorema de Laplace convÈm escolher uma linha ou coluna da matriz
com o maior n˙mero possÌvel de zeros.
- Muitas vezes, para calcular o determinante de uma matriz, usam-se simultaneamente
o mÈtodo de eliminaÁ„o e o teorema de Laplace. ComeÁa-se o mÈtodo de eliminaÁ„o
para obter, por exemplo na 1
a coluna, apenas um elemento n„o nulo e aplica-se de
seguida o desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna.
Exemplos:
- det
Desenv.
a coluna
3+ det
Desenv.
a coluna
2+ det
Desenv.
a coluna
2+ det
Det.
ordem 2
2 ) = 4
2 16
- det
L 1 $ L 2
det
1 3
L 1
3 det
2 L 1 + L 3
3 det
Desenv.
a coluna
1+ det
Det.
ordem 2
- det
L 2 2 L 1 + L 2
L 3 L 1 + L 3
L 4 L 1 + L 2
det
Desenv.
a coluna
1+ 1 det
L 1 $ L 2
det
A^ ^
2+ det
A^
2+ det
A^
3+ det
A^
3+ det
A^ ^
3+ det
Ent„o A^ =
5 e^ adj^ (A) =
A^>^ =
Teorema: Seja A uma matriz de ordem n. Ent„o A Adj (A) = det (A) In.
DemonstraÁ„o:
Sendo A =
a 1 ; 1 a 1 ; 2 a 1 ;n
a 2 ; 1 a 2 ; 2 a 2 ;n
. . .
ai; 1 ai; 2 ai;n
. . .
an; 1 an; 2 an;n
e Adj (A) =
A^ ^
11
A^
21 ^
A^
j; 1 ^
A^
n; 1
A^ ^
12
A^
22 ^
A^
j; 2 ^
A^
n; 2 . . .
. f
A^ ^
1 ;n
A^
2 ;n ^
A^
j;n ^
A^
n;n
e sendo
C = [ci;j ] nn
= A Adj (A) ; veriÖca-se que:
ci;j = ai; 1 A^j; 1 + ai; 2 A^j; 2 + + ai;n A^j;n
Se i = j obtemos ci;i = ai; 1 A^i; 1 + ai; 2 A^i; 2 + + ai;n A^i;n, valor que, pelo teorema de
Laplace, È igual a det (A) :
Se i 6 = j, o valor que se obtÈm para ci;j corresponde, pelo teorema de Laplace, ao
desenvolvimento do determinante ao longo da linha j da matriz que se obtÈm de A
substituindo a linha j pela linha i: Como essa matriz tem duas linhas iguais, o seu
determinante È igual a 0 :
Conclui-se que A Adj (A) = det (A) In.
Corol·rio: Seja A uma matriz de ordem n.
(a) Se A n„o È invertÌvel, ent„o A Adj (A) È a matriz nula de ordem n.
(b) Se A È invertÌvel, ent„o A
1 = (det A)
1 Adj (A).
Notas:
- A alÌnea (b) do corol·rio fornece um novo mÈtodo de c·lculo da matriz inversa.
- Este mÈtodo indica explicitamente cada entrada da matriz inversa: Se B = A
1 ; ent„o
bij = (det A)
1 ^
Aji: Isto permite calcular entradas da matriz inversa de uma matriz,
sem ter de calcular toda a matriz inversa.
- Este mÈtodo È tambÈm ˙til para o c·lculo de inversas de matrizes em que algumas
entradas n„o sejam numÈricas e para o qual o mÈtodo de eliminaÁ„o se torna difÌcil de
aplicar.
Exemplo:
Para a matriz do exemplo anterior A =
5 ;^ det (A) =^ ^6.^ Tem-se,
ent„o:
- A adj (A) =
- Para os valores de e tais que 6 6 = 0 ( 6 = 0 e 6 = 6) a matriz A È invertÌvel
e
A
1
det (A)
adj (A) =
6 6 +
6 6 +
3 6 +
6 +
6 + 1 6 +
1 6 +
6 +
1 1 0
3 6 +
6 +
3 6 1 6 +
2 + 6 +
1 6
