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Truques e Dicas
O que se segue serve para esclarecer alguma quest˜ao que possa surgir ao resolver um exerc´ıcio de matem´atica. Espero que lhe seja ´util!
Cap. I Frac¸c˜oes
1. Soma e Produto de Frac¸c˜oes
Para somar (ou subtrair) frac¸c˜oes ´e necess´ario que estas estejam ao mesmo denominador. Feito isto mant´em-se o denominador e somam-se (ou subtraem-se) os numeradores:
2 5
5 (×6)
6 (×5)
Para multiplicar frac¸c˜oes basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 5
×
2 × 1
5 × 6
Caso algum factor n˜ao tenha denominador considera-se que este ´e igual a 1:
3 ×
×
2. Divis˜ao de Frac¸c˜oes
Para resolver divis˜oes do tipo:
Pode-se multiplicar a frac¸c˜ao superior pelo inverso da inferior. Ou ent˜ao, recorrer `a regra do ”pneu”em que os extremos da divis˜ao passam (a multiplicar) para o numerador e os elementos do meio passam para o denominador. Isto ´e
Caso a divis˜ao tenho apenas trˆes parcelas ent˜ao aconselha-se a completar a parcela de modo a obter uma situa¸c˜ao como a anterior. Vejamos dois exemplos diferentes:
x+ 5 x − 1
x+ 5 x− 1 1
(x + 3) × 1 5 × (x − 1) x + 3 5 x− 1
x+ 1 5 x− 1
(x + 3) × (x − 1) 1 × 5 E importante saber onde est´´ a a ”principal”divis˜ao de modo a completar de modo conve- niente.
3. Simplifica¸c˜ao em Frac¸c˜oes
Em frac¸c˜oes s´o ´e permitido eliminar factores que estejam a multiplicar, por exemplo:
x(x^2 − 7 x) x^2
x^2 − 7 x x Em caso de soma no numerador ´e sempre poss´ıvel separar a frac¸c˜ao e depois proceder `a simplifica¸c˜ao. Por exemplo:
x^2 − 3 2 x
x^2 2 x
2 x
x 2
2 x
4. Elimina¸c˜ao de Denominadores
Apenas em equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes ´e permitido eliminar os denominadores, e claro que todos os elementos da frac¸c˜ao devem ter tal denominador:
x^2 −
x 2
10 x^2 10
5 x 10
⇔ 10 x^2 − 2 + 5x = 40
5. Sinal Negativo Atr´as de uma Frac¸c˜ao
Na resolu¸c˜ao de alguns problemas ´e usual surgir um sinal negativo antes de uma frac¸c˜ao. Tal sinal afecta toda os elementos da frac¸c˜ao. Um modo de simplificar uma situa¸c˜ao deste tipo pode ser (por exemplo) trocar de sinal todos os elementos do numerador ficando desta forma um sinal positivo antes da frac¸c˜ao:
x^2 − 3 x + 7 x + 5
−x^2 + 3x − 7 x + 5
Cap. II Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes
6. Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes de Grau 1
Numa equa¸c˜ao (ou inequa¸c˜ao) um determinado valor passa para o outro membro da igual- dade (ou desigualdade) a efectuar a opera¸c˜ao contr´aria.
. Um valor a somar passa para o outro lado a subtrair:
x + 3 = 5 ⇔ x = 5 − 3
. Um valor a subtrair passa para o outro lado a somar:
x − 3 = 5 ⇔ x = 5 + 3
. Um valor a multiplicar passa para o outro lado a dividir:
3 x = 5 ⇔ x =
. Um valor a dividir passa para o outro lado a multiplicar: x 3 = 5 ⇔ x = 3 × 5
− −1^4 −
. O conjunto solu¸c˜ao ´e obtido tendo em conta o esbo¸co obtido assim como a desigualdade obtida no primeiro passo. Se esta for do tipo · · · > 0 (ou · · · ≥ 0) conta a parte acima do eixo dos xx. Se for · · · < 0 (ou · · · ≤ 0) conta a parte abaixo (no caso das desigualdades dentro de parˆentesis os intervalos s˜ao fechados). Neste caso − 2 x^2 + 6x + 8 ≤ 0 conta a parte negativa da par´abola. A solu¸c˜ao ´e S = ] − ∞, −1] ∪ [4, +∞[.
10. Os Casos Not´aveis
Caso surja alguma express˜ao do tipo (2x − 3)^2 esta deve ser resolvida recorrendo ao caso not´avel. Aqui fica uma lista dos trˆes casos not´aveis existentes: .(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .(a − b)^2 = a^2 − 2 ab + b^2 .(a − b)(a + b) = a^2 − b^2 Como alternativa ´e sempre poss´ıvel recorrer ao facto de (por exemplo) (2x − 3)^2 = (2x − 3)(2x−3) e a seguir aplica-se a propriedade distributiva da multilica¸c˜ao. No entanto ´e sempre aconselh´avel conhecer os casos not´aveis.
Cap. III Potˆencias e Raizes
11. Propriedades de Potˆencias
Aqui fica uma lista das propriedades de potˆencias e exemplos:
Propriedades Potˆencia Exemplo Produto (ab)n^ = an^ × bn^ (3x)^2 = 3^2 x^2 Divis˜ao (ab )n^ = a n bn^ (
x 3 ) (^2) = x^2 32 Dupla (an)m^ = an×m^ (x^2 )^4 = x^2 ×^4 = x^8 Soma k 1 an^ ± k 2 an^ = (k 1 ± k 2 )an^3 x^2 − 4 x^2 = −x^2 Produto de Igual Base an^ × am^ = an+m^ x^3 × x^7 = x3+7^ = x^10 Divis˜ao de Igual Base a n am^ =^ a
n−m x^7 x^3 =^ x
7 − (^3) = x 4 Expoente Negativo (1) a−n^ = (^) a^1 n 3 −^2 = (^312) Expoente Negativo (2) (ab )−n^ = ( (^) ab )n^ (^35 )−^2 = (^53 )^2
12. Passagem de Raiz para Potˆencia
E sempre poss´^ ´ ıvel passar uma raiz para potˆencia (e vice-versa) uma vez que: m^ √xn (^) = x mn
Por exemplo 5
x^3 = x (^35)
. Desta forma todas as propriedades atr´as descritas s˜ao igualmente aplic´aveis `as raizes.
13. Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes com Potˆencias
Na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do tipo xn^ = a ´e importante ter em aten¸c˜ao ao expoente n:
. Se este for ´ımpar ent˜ao x = n
a. Por exemplo: x^5 = 9 ⇔ x = 5
. Se este for par ent˜ao x = ± n
a. Por exemplo: x^4 = 9 ⇔ x = ± 4
- Note que neste caso se a for negativo tal equa¸c˜ao ´e imposs´ıvel uma vez que n˜ao existem ra´ızes pares de n´umeros negativos.
14. Raizes e Valores sem Raiz
. E poss´´ ıvel multipicar dois valores dentro de raizes desde que o ´ındice seja igual. Por exemplo:
√ 5 ×
3 × 5 =
. Duas express˜oes a somar (ou subtrair) com a mesma raiz pode ser simplificado do seguinte modo:
3 5
. Numa multiplifica¸c˜ao de express˜oes do tipo a n
b multiplicam-se os valores fora da raiz e os valores dentro da raiz separadamente (desde que os ´ındices sejam iguais):
(3 6
8) × (5 6
15. Racionalizar Denominadores
Caso exista uma raiz quadrada no denominador conv´em retir´a-lo multiplicando ambos termos da frac¸c˜ao por essa raiz. Por exemplo:
3 2
×
√^5
5)^2
2 × 5
