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Coneção "Tendências em EDUCAÇÃO Martnárica” central na estruturação de toda Proposta que visa a assegu- tar uma maior sistematização e validade da pesquisa, Fa- zemos nossas considerações a partir da leitura do texto de Artigue (1996), o qual nos serviu de motivação para destacar uma diferença conceitual entre metodologia e técnica de pes- quisa. Em síntese, com a questão metodológica esperamos fechar um ciclo temporário de nossas indagações reflexivas, chegando a algumas conclusões para que a pesquisa em di- dática da matemática possa lançar um traço mais duradouro no complexo espaço da educação escolar, 16 Trajetórias do saber e a transposição didática O objetivo deste capítulo é descrever um estudo das trans- formações por que passam os conteúdos da educação matemáti- ca, através da noção de transposição didática, tal como foi definida por Chevallard (1991), Fazemos isto com a consciência de que se trata da tentativa de divulgar uma noção essencialmente acadê- mica para o território mais amplo da formação de professores e da iniciação à pesquisa. Ao realizar esta descrição, estamos pres- supondo que o fenômeno educacional da matemática se revela por uma multiplicidade de dimensões, a qual deve ser conside- ção relativa ao ensino desta dis- rada na análise de qualquer situ ciplina. Quando se trata da prática pedagógica, a análise dessa multiplicidade requer priorizar alguns aspectos, tal como a sele- ção de conteúdos e materiais didáticos, sem perder de vista suas conexões com o horizonte mais amplo da educação. É com essa visão que abordamos a noção de transposição didática, sendo uma de suas dimensões o caminho evolutivo dos conceitos. Transposição dos saberes A transposição didática pode ser entendida como um caso especial da transposição dos saberes, sendo esta entendida no sentido da evolução das idéias, no plano histórico da produ- ção intelectual da humanidade. No caso das ciências e da matemática, essa evolução ocorre sob um controle mais inten- so dos respectivos paradigmas. De acordo com Khun (1975), os paradigmas são princípios e regras que os membros de uma 17 Coteção “TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA” comunidade científica compartilham entre si, visando à valida- ção dos saberes produzidos nesse contexto. Para que uma pro- dução seja reconhecida como científica é preciso que os mem- bros da respectiva comunidade respeitem o conjunto dessas regras. Dessa forma, os conceitos de transposição e o próprio saber científico estão interligados, o que fica mais evidente quan- do sua análise é remetida ao plano pedagógico, onde toda trans- posição está relacionada a um saber específico, assim como toda aprendizagem se faz sob a influência de uma transposição A noção de transposição pode ser analisada no domínio mais específico da aprendizagem para caracterizar O fluxo cognitivo relativo à evolução do conhecimento, restrita ao plano das elaboraçõe: subjetivas, pois é nesse nível que ocor- re o núcleo do fenômeno. À conveniência em destacar essa ária aplica- dimensão da transposição está associada à neces: ção de conhecimentos anteriores para a aprendizagem de um novo conceito. Na síntese de uma nova idéia, cada um desses momentos não subsiste sem uma base anterior. Este é o senti- do estrito da cognição normal, ou seja, nenhum conceito sur- ge sem a existência de um precedente. Assim, quando se tra- ta da produção de um conhecimento, existe um processo que caracteriza a idéia de transposição. Por esta razão, ao estu- dá-la, é bom destacar uma diferença entre o saber e o conhe- cimento. Mesmo que no cotidiano não seja usual fazer essa distinção, para tentar reforçar as bases de estudo da didática da matemática, somos levados a buscar maior clareza para O imo capítulo. uso desses termos, no pró Transposição didática O estudo das prioridades que orientam a prática peda- da didática, que deve gógica é também uma das atribuiçõ fornecer referências a fim de estabelecer propostas de con- teúdo para a educação escolar. Não se trata de uma escolha tência de um longo processo Uma das fontes de seleção direta e imediata, e, sim, da exis seletivo por que passam os saberes do saber escolar é a própria história das ciências, que através 18 Didática da Matemática - Uma análise da influência francesa de suc sivas transformações, fornece a parte essencial do conteúdo curricular. Estes têm conexões com a ciência, mas se mantêm pelas suas características próprias. A noção de transposição estuda a seleção que ocorre atrav: de uma ex- tensa rede de influências, envolvendo diversos segmentos do sistema educacional. Essas idéias aparecem na definição dada por Chevallard: Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de trans- formações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática. (CHevaLLARD, 1991) O estudo da trajetória dos saberes permite visualizar suas fontes de influências, passando pelos saberes científicos e por outras áreas do conhecimento humano. São influências que contribuem na redefinição de aspectos conceituais e tam- bém na reformulação de sua forma de apresentação. O con- junto das fontes de influências na seleção dos conteúdos re- cebe o nome de noosfera, segundo descrição de Chevallard, da qual fazem parte: cientistas, professores, especialistas, políticos, autores de livros e outros agentes que interferem no processo educativo. O resultado da influência da noosfe- ra condiciona o funcionamento de todo o sistema didático. O trabalho seletivo resulta não só na escolha de conteúdos, como também na definição de valores, objetivos e métodos, que conduzem o sistema de ensino. Criações didáticas A escolha dos conteúdos escolar: se faz principalmente através das indicações contidas nos parâmetros, programas, livros didáticos, softwares educativos, entre outras fontes. Mas, embora tais fontes sejam pré-existentes ao processo de esco- o verdadeiras lha, é possível perceber que alguns conteúd criações didáticas incorporadas aos programas, motivadas por 19 Conição "TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA” valorizadas no contexto da história da educação. Por exem- plo, no ensino da matemática, uma parte dos conteúdos tem suas raízes na matemática grega, de onde provém boa parte de sua caracterização. Existe uma forma na qual as atividades são normalmente apresentadas aos alunos e vários aspectos estão vinculados aos conceitos matemáticos tal como foram criados. Em seguida, ocorrem várias mudanças, não sóno con- teúdo, como em vários outros elementos do sistema didático. Na passagem do saber científico ao saber previsto na educação escolar, ocorre a criação de vários recursos didáticos, cujo resul- tado prático ultrapassa os limites conceituais do saber matemá- tico. A partir do surgimento desses recursos, surgem também as criações didáticas que fornecem o essencial da intenção de ensino da disciplina. Nessa etapa, predomina uma forma direcionada para o trabalho do professor. Nessa perspectiva, enquanto o sa- ber acadêmico está vinculado à descoberta da ciência, o traba- lho docente envolve simulações dessa descoberta. Enquanto o saber científico é apresentado através de artigos, teses, livros e relatórios; o saber escolar é apresenta- do através de livros didáticos, programas € de outros materi- ais. O processo de ensino leva finalmente ao saber ensinado, que é aquele registrado no plano de aula do professor e que não coincide necessariamente com à intenção prevista nos objeti- vos programados. A análise do saber ensinado coloca em evi- dência os desafios da metodologia de ensino, a qual não pode ser dissociada da análise dos valores e dos objetivos da apren- dizagem. Por outro lado, não há garantia de que, no plano indi- vidual, o conteúdo aprendido pelo aluno corresponda exata- mente ao conteúdo ensinado pelo professor. Assim, pode-se chegar a conclusões distantes da proposta inicial e que, em ca- sos extremos, permanecem apenas vestígios da intenção origi- nal. Por esta razão, O conteúdo escolar não pode ser concebido apenas como uma simplificação do saber científico. Finalmen- te, enquanto o saber científico é validado pelos paradigmas da área, o saber escolar está sob O controle de um conjunto de re- gras que condiciona as relações entre professor, aluno e saber. 22 Didática da Matemática - Uma análise da influência francesa Vigilância didática A aplicação de uma teoria deslocada de seu território ori- ginal torna-se estéril, perde seus gnificado, obscurece sua va- lidade e confunde a solução do problema estudado naquele momento. Assim, é preciso sempre estar atento à eficiência de uma interpretação pedagógica, o que depende fortemente da consciência de quem analisa o fenômeno. Em suma, é necessá- rio o exercício de uma vigilância didática. Esta é uma das atri- buições do trabalho docente, que deve estar ancorado tantonos saberes científicos como em uma concepção educacional O deslocamento de uma teoria fere o espírito da vigi- Jância, além de ser um obstáculo do tipo de uma generaliza- ção precipitada, fazendo com que sua validade educacional dependa de seus vínculos com contexto original Nesse senti- do, não devemos incorrer no erro de confundir a análise filo- sófica de uma questão matemática com a intenção de proce- der a uma análise matemática de uma posição filosófica. Mais particularmente, quando perguntamos "O que é o número?”, trata-se de uma questão pertinente à teoria do conhecimento, portanto, de natureza filosófica. A tentativa de responder com argumentos puramente matemáticos leva a um desvio de ex- plicação, pois a questão inicial não pertence exclusivamente à matemática, mostrando a importância de uma componente epistemológica na formação do professor. O interesse que temos em analisar O problema do cruza- mento indevido de explicações é relativo a dignificar a nature- za do trabalho didático, buscando diferenciá-lo daquele do pró- prio cientista. Para quem trabalha com a criação das ciências, as questões educacionais estão, normalmente, restritas aos fatos científicos. Daí a tendência a priorizar um olhar deslocado para o fenômeno educativo. Para o educador, pelo contrário, os fatos científicos não podem predominar no tratamento do objeto pe- dagógico e, quando isto acontece, a amplitude do fenômeno cog* nitivo é sensivelmente reduzida. É isto que estamos denomi- nando de deslocamento de explicações » Coração "TeNDEnciAs tm E ÇÃO Martinica, ido de explicações, é a confusão feita entre o método de construção lógica da matemática e os desafios de sua metodologia de ensi- no. Em outros termos, a aprendizagem da matemática não se realiza da mesma forma Segiencial, tal qual aparece na redação Um outro exemplo, referente ao cruzamento inde: textual da matemática, Até mesmo o matemático somente con- Segue uma clara linearidade ao apresentar uma demonstração, como resultado de uma longa e complexa trajetória de racioci- Mo e não como o ponto inicial de uma aprendizagem Queremos com isso destacar a inconv eniência de tentar aplicar uma determinada teoria, fora do horizonte em que foi desenvolvida. Por esse motivo, os conceitos didáticos aqui es- tudados destacam a especificidade da educação matemática. Em outros termos, há um equívoco fregiiente em tentar expli- car fenômenos de uma área de conhecimento Por intermédio de teorias pertinentes a outras áreas. Assim, uma teoria criada Para modelizar um problema didático não terá necessariamente sua validade assegurada em um outro contexto, Isso é o que caracteriza um deslocamento teórico: a tentativa de realizar uma generalização indevida, podendo, até mesmo, se tornar um obstáculo ao desenvolvimento do saber, pois o grau de generalidade depende dos limites impostos Pelo método utili- zado na síntese dessa teoria. Dimensões do fenômeno didático Na análise do discurso científico e educac ional, destacam- se duas variáveis a: Ociadas à temporalidade: o tempo didáti- co e tempo de aprendizagem. Não podemos pensar em um Planejamento didático sem considerar atentamente essas duas condicionantes. O tempo didático é aquele marcado nos progra- mas scolares e nos livros didáticos em cumprimento a uma exigência legal. Ele Prevê um caráter cumulativo e irreversível Para a formalização do saber escolar. Isso implica no pressu- posto de que seja Sempre possível enquadrar a aprendiza- gem do saber escolar em um determinado espaço de tempo. Há uma crença de que a aprendizagem é s “mpre segiiencial, 24 Didática da Matemática - Uma análise da influência francesa lógica, puramente racional e organizada através de uma lista de conteúdos. Como se fosse possível compará-la à linearida- de da apresentação do saber matemático. Seu compromisso está mais voltado para o texto sintético do saber e para o cum- primento de um programa curricular do que para os desafios do fenômeno cognitivo. O tempo de aprendizagem é aquele que está mais vinculado com as rupturas e conflitos do conhecimento, exigindo uma permanente reorganização de informações e que caracteriza toda a complexidade do ato de aprender. É o tempo necessário para o aluno superar os bloqueios e atingir uma nova posição de equilíbrio. Trata-se de um tempo que não é sequencial e nem pode ser linear na medida em que é sempre necessário retomar concepções precedentes para poder transformá-las e cada sujeito tem o seu próprio ritmo para conseguir fazer isto. Na comparação entre esses dois tempos, a subjetividade não pode ser reduzida às exigências do planejamento didático. São idéias que não podem ser identificadas e marcam um ponto crucial da avaliação didática? Na prática, identifica-se uma cer- ta confusão entre esses dois tempos, cuja superação passa pela retomada de noções já estudadas, buscando novos níveis de formalização dos conceitos. Trata-se de compreender o funcio- namento dos níveis de conceitualização, estabelecendo um constante movimento de aproximação do saber. Para melhor compreender esses dois tempos é preciso voltar a uma outra especificidade do ensino da matemática, a resolução de problemas, que é o motor propulsor do saber es- colar da matemática. Mesmo que no ensino escolar o seu es- tatuto seja diferente daquele da pesquisa, o problema sem- pre envolve uma relação entre o que já se encontra assimilado e onovo conhecimento. No plano pessoal, essa relação leva a uma dialética entre o novo e o antigo. Daí, para Scorrer a aprendizagem, é preciso a superação das contradições ine- rentes a essa dialética. A dificuldade é que essa superação não é mensurável em termos quantitativos e definitivos. Dessa forma, um determinado conteúdo pode permanecer como um bloqueio para o aluno, mesmo depois de muito tempo em » Cotação “Tendências tu EDUCAÇÃO Matemática” aprendizagem de conceitos cujo significado pode estar mais próximo da abstração do que da dimensão experimental. O inconveniente está na centralização em um desses extremos Nesse sentido, o saber escolar revela uma especificidade pró- pria e compete à didática conduzir os trabalhos escolares para uma conciliação entre os pólos da teoria e da experiência. A educação escolar deve se iniciar pela vivência do alu- no, mas isso não significa que ela deva ser reduzida ao saber cotidiano. No caso da matemática, consiste em partir do co- nhecimento dos números, das medidas e da geometria, con- textualizados em situações próximas do aluno. O desafio di- dático consiste em estruturar condições para que ocorra uma evolução desta situação inicial rumo aos conceitos previstos. Uma forma de dar sentido ao plano existencial do aluno é atra- vés do compromisso com o contexto por ele vivenciado, fa- zendo com que aquilo que ele estuda tenha um significado autêntico e por isso deve estar próximo a sua realidade. Mas é necessário voltar a enfatizar: partir da realidade do aluno não significa substituir o saber escolar pelo saber cotidiano. O ob- jeto da aprendizagem escolar não é o mesmo do saber cotidia- no. O saber escolar serve, em particular, para modificar o esta- tuto dos saberes que o aluno já aprendeu nas situações do mundo-da-vida. Capitulo II Referências da Didática da Matemática 0) estudo dos conceitos didáticos da matemática fica mais evidente quando se considera a questão de sua especifi- cidade educacional e científica. Torna-se necessário explicitar algumas referências para estruturar uma didática mais signifi- cativa. A natureza e o estatuto científico de cada disciplina, mol- dada pela sua trajetória histórica, determinam uma forma par- ticular de valorizar a dimensão educacional de cada saber. Por e motivo não adianta insistir em propostas excessivamente uações generalistas, ssa es abstratas, como se fosse possível falar de s aplicáveis a qualquer conteúdo. O fenômeno educacional p: necessariamente por regras de um corpo de valores que deve ser conhecido pelo professor. Na didática da matemática, Brous- seau (1986) propõe uma análise do saber matemático, bem como do trabalho do matemático, do trabalho do professor de mate- mática e da atividade intelectual do aluno. Saber matemático Nosso objetivo neste parágrafo é destacar alguns aspec- tos da natureza do saber matemático que, originando no espa- ço acadêmico, influenciam a prática correspondente no ensino escolar. Queremos destacar alguns laços entre as característi- cas desta ciência e suas manifestações no plano escolar. Nes- se sentido, iniciamos com a observação de que não existe uma única forma de conceber as idéias científicas ou matemáti- cas. Em virtude das diferentes concepções filosóficas, é pos- sível falar de diferentes práticas educativas. Seguindo esse 29 
