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VIGAS – CAPÍTULO 15
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos
30 setembro 2003
VIGAS
Vigas são “elementos lineares em que a flexão é preponderante” (NBR 6118: 2003, item 14.4.1.1). Portanto, os esforços predominantes são: momento fletor e força cortante.
Nos edifícios, em geral, as vigas servem de apoio para lajes e paredes, conduzindo suas cargas até os pilares.
Como neste capítulo o efeito do vento não será considerado, as vigas serão dimensionadas para resistir apenas às ações verticais.
15.1 DADOS INICIAIS
O primeiro passo para o projeto das vigas consiste em identificar os dados iniciais. Entre eles incluem-se:
- classes do concreto e do aço e o cobrimento;
- forma estrutural do tabuleiro, com as dimensões preliminares em planta;
- distância até o andar superior;
- reações de apoio das lajes;
- cargas das paredes por metro quadrado;
- dimensões das seções transversais das vigas, obtidas num pré- dimensionamento. Em seguida, devem ser considerados: esquema estático, vãos e dimensões da seção transversal.
a) Vinculação No início deste cálculo simplificado, as vigas serão admitidas simplesmente apoiadas nos pilares. Posteriormente, serão consideradas suas ligações com os pilares de extremidade.
b) Vão livre e vão teórico
Vão livre ( l 0 ) é a distância entre as faces dos apoios (Figura 15.1). O vão
efetivo ( l ef), também conhecido como vão teórico ( l ), pode ser calculado por:
l = l 0 + a 1 + a 2
com a 1 igual ao menor valor entre t 1 / 2 e 0,3h e a 2 igual a t 2 / 2.
No entanto, é usual adotar o vão teórico como sendo, simplesmente, a distância entre os eixos dos apoios.
Nas vigas em balanço, vão livre é a distância entre a extremidade livre e a face externa do apoio, e o vão teórico é a distância até o centro do apoio.
Figura 15.1 – Vão livre e vão teórico
c) Pré-dimensionamento As vigas não devem apresentar largura menor que 12cm. Esse limite pode ser reduzido, respeitando-se um mínimo absoluto de 10cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições (item 13.2.2 da NBR 6118, 2003):
- alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos nessa Norma;
- lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931. Sempre que possível, a largura das vigas deve ser adotada de maneira que elas fiquem embutidas nas paredes.
Porém, nos casos de grandes vãos ou de tramos muito carregados, pode ser necessário adotar larguras maiores. Nesses casos, procura-se atenuar o impacto na arquitetura do edifício.
Como foi visto no Capítulo 5, item 5.2, uma estimativa grosseira para a altura das vigas é dada por:
- tramos intermediários: h (^) est = l 0 /
- tramos extremos ou vigas biapoiadas: h (^) est = l 0 /
- balanços: h (^) est = l 0 /
15.3 ESFORÇOS
Nas estruturas usuais de edifícios, para o estudo das cargas verticais, as vigas podem ser admitidas simplesmente apoiadas nos pilares, observando-se a necessidade das correções indicadas no item 15.3.1.
Se a carga variável for no máximo igual a 20% da carga total, a análise estrutural pode ser realizada sem a consideração da alternância de cargas (item 14.6.7.3 da NBR 6118, 2003). Mais detalhes serão vistos na seqüência, no item b.
a) Correções adicionais para vigas simplesmente apoiadas nos pilares No cálculo em que as vigas são admitidas simplesmente apoiadas nos pilares, deve ser observada a necessidade das seguintes correções adicionais (item 14.6.7. da NBR 6118, 2003):
- não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos;
- quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na direção do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio;
- quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios externos, momento igual ao momento de engastamento perfeito (Meng) multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações:
rvig rinf rsup
rinf rsup M (^) vig Meng + +
l
r = I → rigidez do elemento, avaliada conforme indicado na
figura 14.8 da NBR 6118 (2003)
inf, sup,vig →^ índices^ referentes^ ao^ pilar^ inferior,^ ao^ pilar^ superior^ e à viga, respectivamente.
b) Carga acidental maior que 20% da carga total
No cálculo de uma viga contínua com carga uniforme, para se determinar a combinação de carregamento mais desfavorável para uma determinada seção, deve- se considerar, em cada tramo, que a carga variável atue com valor integral ou com valor nulo.
Na verdade, devem ser consideradas pelo menos três combinações de carregamento: (a) todos os tramos totalmente carregados, (b) tramos alternados totalmente carregados ou com valor nulo da carga variável e (c) idem, alterando a ordem dos carregamentos, isto é, os tramos totalmente carregados passam a ter carga
variável nula e vice-versa. Essas três situações devem ser consideradas quando a carga variável é maior que 20% da carga total
Mesmo assim, é prática comum no projeto de edifícios usuais considerar apenas a primeira das três combinações citadas. Esse procedimento em geral não compromete a segurança, dada a pequena magnitude das cargas variáveis nesses edifícios, em relação à carga total.
15.4 VERIFICAÇÕES
Antes do cálculo das armaduras, é necessário verificar se a seção transversal é suficiente para resistir aos esforços de flexão e de cisalhamento.
a) Momento Fletor
O momento limite para armadura simples é dado por:
c,lim
d, lim k
M =b^ ⋅d^2
k c, lim → valor de k c correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4
(ver Tabela 1.1 de PINHEIRO, 1993)
Pode-se usar armadura simples, para Md , máx≤ Md,lim, ou armadura dupla,
para M d,máxaté um valor da ordem de 1 , 2 ⋅Md,lim, no caso de aço CA-50.
Para valores maiores de M d,máx, pode ser necessário aumentar a seção da
viga. O emprego de seção T, quando for possível, também é uma alternativa.
Outras providências, menos práticas, seriam: diminuir o momento fletor – alterando a vinculação, o vão ou a carga – ou aumentar a resistência do concreto. Esta talvez seja a menos viável, pois em geral se adota a mesma resistência do concreto para todos os elementos estruturais.
b) Força Cortante
A máxima força cortante VSd , na face dos apoio, não deve ultrapassar a força
cortante última VRd 2 , relativa à ruína das bielas comprimidas de concreto, dada por
(item 17.4.2.2 da NBR 6118, 1973):
VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d
αv2 = (1 - fck / 250) , fck em MPa ou αv2 = (1 - fck / 25) , fck em kN/cm^2 fcd → resistência de cálculo do concreto bw → menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil
Recomenda-se elaborar um memorial sintetizado, como o indicado na Figura 15.3, que inclui as informações essenciais para o projeto e os principais resultados obtidos, entre os quais:
- nome da viga e dimensões da seção transversal (em cm);
- classe do concreto e do aço;
- cobrimento nominal (em cm);
- valores de referência Md,lim , VRd2 e VSd,min (unidades kN e m);
- esquema estático com identificação dos apoios e seus comprimentos (em cm);
- vãos teóricos (em cm);
- valores característicos das cargas parciais (pp; laje sup; laje inf; par etc.) e totais (p), com destaque para as cargas variáveis (q) (em kN/m);
- esforços característicos - Vk , Rk e Mk (unidades kN e m);
- diagramas de esforços de cálculo: Vd e Md (unidades kN e m);
- barras longitudinais (φl em mm) com seus comprimentos (em cm);
- estribos φt (em mm), espaçamento e comprimento dos trechos com mesmo espaçamento, (em cm).
15.7.1 Dados iniciais
Os dados iniciais estão indicados na Figura 15.3 (dimensões em centímetros): Nome da viga: V Dimensões da seção: 22 x 40 Classe do concreto C25 e do aço CA- Cobrimento c = 2,5 (Classe I) Esquema estático Dimensões dos apoios na direção do eixo da viga (22) Vão teórico (410) Nome dos apoios (V2 e V3).
15.7.2 Ações
As cargas, admitidas uniformes, são: peso próprio, reações das lajes e carga de parede (Figura 15.3). As partes das reações de apoio das lajes, relativas à carga variável, estão entre parênteses.
- pp = 0,22 x 0,40 x 25 = 2,2 kN/m
- laje sup = 20,0 kN/m (5,7 kN/m), laje inf = 15,0 kN/m (4,3 kN/m) (valores obtidos no cálculo de lajes)
- par = 4,00 x 3,2 = 12,8 kN/m (4m de parede, 3,2 kN/m^2 )
- carga total p = 50,0 kN/m; carga variável q = 10,0 kN/m
Figura 15.3 – Memorial sintetizado
b) Momento máximo com armadura simples
PINHEIRO, 1993 – Tabela 1.1:
15752 kN.cm 157 , 5 kN.m 1 , 8
22 35 , 9 k
b d M
c,lim
d, lim = =
⋅
⋅
M (^) d, máx = 147 , 1 kN.m VSd,mín = 92 , 5 kN⇒asw >asw, mín
e) Trecho com armadura transversal maior que a mínima
0 , 73 m 73 cm 70
p
V V
a d
= Sd,^ eixo− Sd,mín= − = =
15.7.5 Dimensionamento da armadura de flexão
M
b d
k
d
c =
k (^) c = 1 , 9 → ks= 0 , 030 − Tabela 1. 1 (Pinheiro, 1993 )
s d^2 s (^35) , 9 12 ,^29 cm
0 , 030 14710 d
k M A =
⋅
⋅
PINHEIRO (1993), Tabela 1.3a: 4φ20 (12,60 cm^2 ) As barras longitudinais de flexão estão indicadas na Figura 15.3. O cálculo dos comprimentos das barras interrompidas antes dos apoios, denominado decalagem, será visto no item 15.7.9).
15.7.6 Dimensionamento da armadura transversal (cisalhamento)
Com VSd > VSd,mín, há armadura transversal maior que a mínima. Os cálculos
dessas armaduras encontram-se nos itens seguintes (ver, também, a Figura 15.3).
a) Armadura transversal junto ao apoio
Força cortante a d/2 da face do apoio:
123 , 2 kN 2
135 , 8 1 , 4 50 0 ,^359 2
V V p d Sd, d/ 2 = Sd,face− d⋅ = − ⋅ ⋅ =
V (^) sw =VSd,d/ 2 −Vc= 123 , 2 − 60 , 8 = 62 , 4 kN
0 , 0444 cm/cm 4 , 44 cm/ m 0 , 9 35 , 9 43 , 5
62 , 4 0 , 9 d f
V s
A a 2 2 ywd
sw sw sw = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
2 , 22 cm /m(estribosde 2 ramos ) n
a (^) sw 2
Pode-se adotar: φ5 c/ 9 (2,22 cm^2 /m) φ6,3 c/ 14 (2,25 cm^2 /m)
b) Armadura transversal mínima
b , , , m /m , cm / m
s
A
a sw, mín= sw,mín =ρsw,mín⋅ w= 0 001026 ⋅ 022 = 0000226 2 = 226 2
Utilizando-se estribos de dois ramos, tem-se:
fctd = 0 , 1282 kN/cm^2 (Item 15.7.4d) 2 fbd = 2 , 25 ⋅ 1 , 0 ⋅ 1 , 0 ⋅ 0 , 1282 = 0 , 289 kN/cm
b) Comprimento de ancoragem básico
75 cm 1 , 15 0 , 289
f
f (^4) bd
yd b ⋅ = ⋅ ⋅ = l = φ
15.7.8 Ancoragem no apoio
A notação é indicada na figura 15.5.
Figura 15.5 – Ancoragem no apoio
a) Dimensão mínima do apoio
- φ = ⋅φ+ ⋅φ= ⋅ = ≥ 60mm 6 cm
(r 5,5 ) 4 5,5 9,5 2,0 19 cm lb,mín
lb, disp= t −c= 22 − 2 , 5 = 19 , 5 cm>lb,mín= 19 cm→ OK
Na direção perpendicular ao gancho deve-se ter cobrimento c ≥ 7 cm.
b) Esforço a ancorar e armadura calculada para tensão fyd
s (^) d Vd, face
a R = l⋅
2 (V V )
V
d
a d,face c
d,face ⋅ −
l (^) = = 0,905 > 0,5 OK!
R (^) s = 0 , 905 ⋅ 135 , 8 = 122 , 9 kN
2 yd
s s, calc^2 ,^83 cm 1 , 15
f
R
A = = =
c) Armadura necessária no apoio
s, nec
s,cal b, disp 1 b A
A
l = α ⋅l ⋅
2 s,calc b,disp
1 b s, nec 19 , 5 2 ,^837 ,^62 cm A = α ⋅ ⋅A =^0 ,^7 ⋅^75 ⋅ = l
l
Como 1169 390 2
M apoio = 0 :As,apoio≥ ⋅As,vão= ⋅ , = , cm
É necessário prolongar três barras até o apoio: 3 φ 20 :As, apoio= 9 , 45 cm^2 >As,mec= 7 , 62 cm^2
15.7.9 Decalagem da armadura longitudinal
Como foi visto no item 15.7.8, três barras devem ser prolongadas até os apoios. Portanto deve ser calculado, somente, o comprimento da 4 a^ barra (ver Figura 15.3).
Como A (^) s, ef = 12 , 60 cm^2 >As,calc= 12 , 29 cm^2 , o comprimento de ancoragem
necessário é menor que l b, porém não pode ser menor que l^ b,mín, dado pelo maior
dos valores:
100mm 10 cm
10 10 2,0 20 cm
0 , 3 b 0,3 75 22,5cm
b,mín
l
l
No cálculo de l^ b,mec, adota-se:
α 1 = 1 (Barra sem gancho) l (^) b = 75 cm(Item 15.7.7) 2
A s, calc = 12 , 29 cm (Item 15.7.5)
A (^) s, ef= 12 , 60 cm^2 (4φ20)
Com esses valores, obtém-se:
73 cm 12 , 60
1 , 0 75 12 ,^29
A
A
s,ef
s,cal l (^) b, mec = α 1 ⋅lb⋅ = ⋅ ⋅ = > lbe,min = 22,5 cm
Figura 15.6 – Desenho de armação
