disciplina de matemática I, Exercícios de Matemática

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geometria plana

OSVALDO DOLCE

JOSÉ NICOLAU POMPEO

FUNDAMENTOS DE

M ATEM ÁTICA 9

ELEMENTAR

GEOMETRIA PLANA

41 exercícios resolvidos 971 exercícios propostos com resposta 373 testes de vestibulares com resposta

7- edição

4“ reimpressão

• C A P ÍT U L O I — NO Ç Õ ES E PR O PO SIÇ Õ E S P R IM IT IV A S - I. Noções primitivas - II. Proposições primitivas
• C A P ÍT U L O II — S E G M E N TO DE R E T A - C on ceitos..................................................................................
• C A P ÍT U L O III — Â N G U L O S - I. Introdução - II. Definições - III. Congruência e com paração - IV Ângulo reto, agudo, obtuso — Medida
• C A P ÍT U L O IV — T R IÂ N G U L O S - I. Conceito — Elementos — Classificação - II. Congruência de triângu los.................................................... - III. Desigualdades nos triângulos - Leitura: Euclides e a geometria d ed u tiva
  • C A P ÍT U L O V — P A R A L E L IS M O - Conceitos e propriedades
• C A P ÍT U L O V I — P E R P E N D IC U L A R ID A D E - I. Definições — Ângulo r e t o - II. Existência e unicidade da perpendicular - III. Projeções e distância
  • C A P ÍT U L O V I I — Q U A D R IL Á T E R O S N O T Á V E IS - I. Quadrilátero — Definição e elem entos - II. Quadriláteros notáveis — Definições - III. Propriedades dos trapézios - IV Propriedades dos paralelogram os - V. Propriedades do retângulo, do losango e do quadrado - V I. Conseqüências — Bases médias
• C A P ÍT U L O V III — P O N T O S N O T Á V E IS DO T R IÂ N G U L O - I. Baricentro — Medianas - II. Incentro — Bissetrizes internas - III. Circuncentro — Mediatrizes - IV Ortocentro — A ltu ra s............................................................
• Leitura: Papus: o epílogo da geometria grega
• C A P ÍT U L O IX — P O L ÍG O N O S - I. Definições e elementos - II. Diagonais — Ângulos internos — Ângulos externos
• C A P ÍT U L O X — C IR C U N F E R Ê N C IA E C ÍR C U L O - I. Definições — Elementos - II. Posições relativas de reta e circunferência - III. Posições relativas de duas circunferências - IV Segmentos tangentes — Quadriláteros circunscritíveis
• C A P ÍT U L O X I — Â N G U L O S N A C IR C U N F E R Ê N C IA - I. Congruência, adição e desigualdade de arcos - II. Ângulo central - III. Ângulo inscrito - IV Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito........................
• C A P ÍT U L O X II — T E O R E M A DE T A L E S - I. Teorema de Tales - II. Teorema das bissetrizes
  • Leitura: Legendre: por uma geometria rigorosa e didática
  • P O T Ê N C IA DE P O N T O C A P ÍT U L O X III — S E M E L H A N Ç A DE T R IÂ N G U L O S E - I. Semelhança de triângulos - II. Casos ou critérios de semelhança - III. Potência de ponto
  • C A P ÍT U L O X IV — T R IÂ N G U L O S R E T Â N G U L O S - I. Relações métricas - II. Aplicações do teorema de Pitágoras
  • C A P ÍT U L O X V — T R IÂ N G U L O S Q U A IS Q U E R - Relações métricas e cálculo de linhas notáveis
  • C A P ÍT U L O X V I — P O L ÍG O N O S R E G U LA R E S - Conceitos e propriedades
  • Leitura: Hilbert e a formalização da geometria
• C A P ÍT U L O X V II — C O M P R IM E N T O D A C IR C U N F E R Ê N C IA - Conceitos e propriedades
• C A P ÍT U L O X V III — E Q U IV A L Ê N C IA P L A N A - I. Definições - II. Redução de polígonos por equivalência
• C A P ÍT U L O X IX — Á R E A S DE SU PE R FÍC IE S P L A N A S - I. Áreas de superfícies p lan as - II. Áreas de polígonos
  • III. Expressões da área do triângulo
    • IV Área do círculo e de suas partes
      • V Razão entre áreas
• R ESPO STAS DOS E X E R C ÍC IO S
• TESTES DE V E S T IB U LA R E S
• R ESPO STAS DOS T E S T E S

NOÇÕES E PROPOSIÇOES PRIMITIVAS

b) Notações gráficas

p

O ponto P. A reta r. O plano a.

II. Proposições primitivas

3. As proposições (propriedades, afirmações) geométricas são aceitas me

diante demonstrações. As proposições primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem de monstração. Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o pon to, a reta e o plano.

4. Postulado da existência

A expressão “ infinitos pontos” tem o significado de “ tantos pontos quan tos quisermos”. A figura ao lado indica uma reta r e os pontos A , B, P , R, S e M , sendo

a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Num plano há infinitos pontos.

que:

A , B e P estão em r ou a reta r pas-

M

sa por A , B e P , ou ainda A € r, B & r, P E r;

R, S e M não estão em r ou r não s passa por R , S e M , ou ainda R (£ r, S (£ r, M tfz r.

NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS

5. Posiçoes de dois pontos e de ponto e reta

Dados dois pontos A e B, de duas uma: ou A e B são coincidentes (é o mesmo ponto, um só ponto, com dois nomes: A e B ) ou A e B são distintos. Dados um ponto P e uma reta r, de duas uma: ou o ponto P está na reta r (a reta r passa por P ) p e r ou o ponto P não está na reta r (a reta r não passa por P )

P <£ r

6. Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.

Os pontos A , B e Csão colineares. Os pontos R , S e T não são coli neares.

7. Postulado da determinação

a) Da reta

Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles.

A. B

(A = B )

À B

(A A B )

C P € r )

Os pontos A e B distintos deter minam a reta que indicamos por A B. (A A B, A e r, B E r) = > r = AB A expressão duas retas coinciden tes é equivalente a uma única reta.

3

NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS

b) Existência

Usando o postulado da existência (item 4), tomemos uma reta r, um pon to P em r (P E r) e um ponto Q fora de r (Q £ r). Os pontos P e Q são distintos, pois um deles pertence a r e o outro não.

Usando o postulado da determinação (item 7a), consideremos a reta 5 de

terminada pelos pontos P e Q (s = P Q ).

As retas r e s são distintas, pois se coincidissem o ponto Q estaria em r (e ele foi construído fora de r), e o ponto P pertence às duas. Logo, r e s são concorrentes.

EXERCÍCIOS

1. Classifique em verdadeiro (V ) ou falso (F): a) Por um ponto passam infinitas retas. b) Por dois pontos distintos passa uma reta. c) Uma reta contém dois pontos distintos. d) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. e) P or três pontos dados passa uma só reta.
2. Classifique em verdadeiro (V ) ou falso (F ): a) Três pontos distintos são sempre colineares. b) Três pontos distintos são sempre coplanares. c) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas. d) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta. e) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.

3. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F ):

a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B , então existe uma reta a tal que A G a e B £ a. b) Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de O, e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s. c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A é distinto de B, com A G r e B £ r. d) Se A = B, existe uma reta r tal que A, B G r.

4. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas

podemos construir?

5. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes. b) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. c) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único pon to comum.

NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS

SEGMENTO DE RETA

12. Segmento de reta — definição

Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pon tos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta.

Assim, dados A e B, A ^ B, o segmento de reta A B (indicado por A B ) é o que segue:

«__________ X• ______ , __ ,-----------------------.

A B A B

à B = [A, BJ U [X I X está entre A e B

Os pontos A e B são as extremidades do segmento A B e os pontos que estão entre A e B são pontos internos do segmento AB. Se os pontos A e B coincidem ( A = B ), dizemos que o segmento A B é o segmento nulo.

13. Sem i-reta — definição

Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta A B com o conjunto dos pontos X tais que B está entre A e X é a semi-reta A B (indicada por A B ).

O ponto A é a origem da semi-reta AB:

A B X r

AB = AB U [X I B está entre A e Xj

Se A está entre B e C , as semi-retas AB e A C são ditas semi-retas opostas.

ÃB ÃC

B A^ C

SEGMENTO DE RETA

14. Resumo

Considerando dois pontos distintos A e B, temos:

A reta AB:

O segmento AB:

A semi-reta A B (ou A a '):

A semi-reta oposta a AB (ou semi-reta A a " ):

A semi-reta BA (ou B a "):

A semi-reta oposta a BA (ou semi-reta Ba'):

A B

A B

Á B

a"

A

a"

A B

B

Notamos ainda que: AB = AB fl BA.

15. Segmentos consecutivos

Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremi dade de um deles é também extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro).

A B e B C são consecutivos

M N e N P são consecutivos

RS e S T são consecutivos

9

SEGMENTO DE RETA

4. Postulado do transporte de segmentos

Dados um segmento A B e uma se- mi-reta de origem A ' , existe sobre esta semi-reta um único ponto^fi' tal que A B ‘ seja congruente a AB.

19. Comparação de segmentos

Dados dois segmentos A B e C D , pelo postulado do transporte podemos

obter na semi-reta A B um ponto P tal que A P = CD. Temos três hipóteses a considerar:

I a) 2 a )^ 3?)

1|)_0 ponto P está entre A e B. Neste caso, dizemos que A B é maior que C D (Ã B > CD). 2?) O ponto P coincide com B. Caso em que A B é congruente a C D (Ã B - CD). 3?) O ponto B está entre A e P. Neste caso, dizemos que A B é menor que C D (A B < CD).

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SEGMENTO DE RETA

20. Adição de segmentos

Dados dois segmentos A B e CD, tomando-se numa semi-reta qualquer de origem R os segmentos adjacentes R P e P T tais que

RP = Ã B e P T = CD, dizemos que o segmento R T é a soma de A B com CD.

R T = A B + C D e tam bém RT = RP + PT

O segmento RS, queé a soma de n segmentos congruentes a A B , é múl tiplo de A B segundo n (RS = n ■ A B ). Se RS = n ■A B , dizemos que A B é submúltiplo de R S segundo n.

A B (^) RS = 5 • AB

R S

21. Ponto médio de um segmento

a) Definição

Um ponto M é ponto médio do segmento A B se, e somente se, M está. -------- ------- - ---------------. entre A e B e A M = M B. A M B

M G Ã B e M Ã = MB

b) Unicidade do ponto médio

Se X e Y distintos (X ^ Y ) fossem pontos médios de A B , teríamos:

à X ss XB (1) e à Y = YB (2)

A X V B A Y X B

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SEGMENTO DE RETA

“ dados dois segmentos, existe sempre um múltiplo de um deles que su pera o outro” , permitem-nos estabelecer a razão entre dois segmentos quais

quer. Podemos então medir um deles tomando o outro como unidade de com primento.

24. Distância entre dois pontos

a) Distância geométrica

Dados dois pontos distintos A e B, a distância entre A e B (indicada por dA,B) é o segmento A B ou qualquer segmento congruente a A B.

A

b) Distância métrica

Dados dois pontos distintos A e B^_ a distância entre A e B é a medida (número, com primento) do segmento A B. Se A e B coincidem, dizemos que a distância geométrica entre A e B é nula e a distância métrica é igual a zero.

EXERCÍCIOS

6. Se o segmento AB mede 17 cm, determine o valor de x nos casos:

a) b) A P B

c) A

X

P

7 cm

B

x + 3 x

P B A

21 cm

d) A

■x - B " (^) P

2x

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SEGMENTO DE RETA

7. Determine x, sendo M ponto médio de AB:

a) b)

A______________M______________ B A______________M______________ B

2x - 3 x + 4 9 2x - 3

g Determine PQ, sendo AB = 31: a) b)

x - 1 ,------- ~-------P Q B A p B Q A« --------------- • ----------------- • --------------- • • ----------------- •--------------•----------------- •

2x 7+1 7 " TT- x + 1

9 Determine AB, sendo M ponto médio de AB:

a) b)

A M B A M B P

2x - 7 T 7 7 1 x x +• 7

4x - b

10. Quantas semi-retas há numa reta, com origem nos quatros pontos A, B, C e D da reta?

11- Três pontos distintos de uma reta quantos segmentos distintos podem determinar?

12. Quantos segmentos há que passam pelos pontos A e B distintos? Quantos há com extremidades A e BI
13. Classifique em verdadeiro ( V) ou falso (F):

a) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares. b) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos. c) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares. d) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes. e) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos. f ) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.

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