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Geometria Plana
Aula: 01
Assunto: Ângulo Plano.
Teoria fundamental
Chama-se ângulo plano a região entre duas semirretas de mesma origem. ângulo convexo ângulo não convexo O: origem ⃗ OA e ⃗ OB^ : lados do ângulo
AÔB ≡ BÔA ≡ α
Ângulos consecutivos : Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, possuem um lado comum. Na figura acima, os pares de ângulos consecutivos são: (^ AÔB^ e^ BÔC^ )^ ,^ (^ AÔB^ e^ AÔC^ )^ e^ (^ BÔC^ e^ AÔB^ ). Ângulos adjacentes : Dois ângulos são adjacentes se, e somente se, são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Na figura acima, o par de ângulos adjacentes é : (^ AÔB^ e^ BÔC^ )^.
Bissetriz de um ângulo : é a semirreta que o divide em dois outros de mesma medida. ⃗ Oc
é bissetriz , então bÔc^ ≡ cÔa^.
ângulos opostos pelo vértice(o.p.v) : Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro. AÔB e CÔD (^) são opostos pelo vértice.
Ângulos o.p.v. são congruentes: AÔB ≡ CÔD^.
Unidades de medidas de ângulo : Sistema sexagesimal: unidade - grau Lê-se: 1º (um grau) 1º =
90 do ângulo reto(90º) 1' (um minuto)
1'' (um segundo) subunidades - minuto - segundo
60 do grau
1 = { {1} over { 60 } } } {¿ do minuto Obs: Quando iniciarmos o estudo da trigonometria definiremos o radiano que é a unidade do Sistema Internacional de Unidades para medida de ângulos. Definições: a) Se α^ é um ângulo , então α^ é:
-nulo se α =^0 º
-agudo se 0 º^ < α^ <^90 º
-Os ângulos alternos são congruentes(iguais). -Os ângulos correspondentes são congruentes. -Os ângulos colaterais são suplementares(somam 180º). -Os ângulos opostos pelo vértice(o.p.v.) são congruentes.
Vamos Resolver?
1)Os ângulos Aˆ^ e Bˆ^ são congruentes. Sendo Aˆ^ ^ 2x^ ^15 ^ e Bˆ^ ^ 5x^ ^ 9 .^ Assinale a alternativa que representa, corretamente, o valor de x. a) 2 b) 8 c) 12 d) 24 2)A medida do ângulo y na figura é: a) 62 b) 72 c)^108 d)^118 e)^154 3)Calcule o valor de x,^ em graus, na figura: a) 16. b) 10. c) 20. d) 58. e) 32. 4)Na figura abaixo, a e b são retas paralelas. A afirmação correta a respeito do número que expressa, em graus, a medida do ângulo α^ é
a) um número primo maior que 23. b) um número ímpar. c) um múltiplo de 4. d) um divisor de 60. e) um múltiplo comum entre 5 e 7. 5)A medida de y na figura, em graus, é: a) 42°. b) 32°. c) 142°. d) 148°. e) 24°. 6)Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: “As retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais. Encontre o valor do ângulo x na figura abaixo”. Portanto, o valor de x é: a) 120° b) 125° c) 130° d) 135° e) 140° 7)Na figura abaixo, OP^ é bissetriz do ângulo AOB.ˆ Determine o valor de x^ e y. a) x^ ^13 e y^ ^49 b) x^ ^15 e y^ ^35 c) x^ ^12 e y^ ^48 d) x^ ^17 e y^ ^42 e) x^ ^10 e y^ ^50 8)Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte desafio: Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes o valor do ângulo  da figura a seguir: Se a Equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a construção localizada no número:
- Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x é igual a a) 230o b) 225o c) 220o d) 210o 15)A semirreta OY é interna ao ângulo XOZ. O ângulo XOY é de60o^ e YOZ é de 100o. A semirreta OR é bissetriz de XOZ, então YOR mede a) 20o b) 30o c) 40o d) 50o
- Na figura abaixo, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, ON é a bissetriz do ângulo BÔC e OP é a bissetriz do ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a a)90° b)60° c)45° d)30°
- Na figura abaixo, onde r e s são retas paralelas e t é uma transversal, ficam determinados os ângulos não nulos, que têm medidas em graus dadas pelas expressões
7 x , x
2
− 2 x ,
7 y − 4
e 3 z
É correto afirmar que a) x + y = z c) y – x = z b) y< z < x d) x< y < z
- Considere as retas r e s (r//s) e os ângulos ê , î e â da figura abaixo Pode-se afirmar que a) ê + î + â = 270° b) ê + î + â = 180° c) ê + î = â d) ê + î = â + 90°
19)O replemento do suplemento do complemento do triplo do complemento de um ângulo é igual a 87°. Esse ângulo vale: a)27° b)29° c)31° d)33° 20)Qual o ângulo que somado com a terça parte do suplemento do complemento de sua metade é igual à metade do replemento do suplemento de sua terça parte? a)40° b)50° c)60° d)70° 21)O replemento do suplemento do complemento do quíntuplo da medida de um ângulo é igual a 190°. Determine o valor do replemento do suplemento do complemento do triplo desse mesmo ângulo. a)222° b)16° c)69° d)32° e)122°
22)No desenho mostrado abaixo, B^
O ^ E ≡ D O ^ F
e ⃗ OC^ é bissetriz do ângulo A^
O ^ D
. Calcule
C O ^ D .
a)30° b)45° c)20° d)25° e)40°
Gabarito: 1)b 2)d 3)a 4)d 5)b 6)e 7)e 8)c 9)a 10)c 11)e 12)d 13)c 14)c 15)a 16)a 17)d 18)a 19)b 20)c 21)a 22)b 23)d 24)b
Geometria Plana
Aula: 02
Assunto: Classificação e ângulos nos triângulos.
Teoria fundamental
Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º e qualquer ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos do triângulo não adjacentes a ele. -Quantos aos lados o triângulo pode ser classificado em: Triângulo isósceles : Possui dois lados congruentes. Todo triângulo isósceles possui dois ângulos congruentes relativos aos lados iguais. Estes são chamados de ângulos da base e o outro é chamado ângulo do vértice. b = c ⇒ B ^¿≡ C ¿^ ^ ¿ ¿ Triângulo equilátero : possui três lados congruentes. Em todo triângulo equilátero cada ângulo mede 60º.
a = b = c ⇒ A ^¿ ¿^ ^≡¿^ BC ¿ ^ ≡ 60 º ¿ ¿ ¿ (^). Triângulo escaleno : possui os três lados com medidas diferentes. -Quantos aos ângulos o triângulo pode ser classificado em: Triângulo acutângulo : possui os três ângulos com medidas menores que 90º. Triângulo retângulo : possui um ângulo reto(90º). Triângulo obtusângulo : possui um ângulo com medida maior que 90º e menor que 180º.
Resolva em casa
1)Observe a figura. Nela, a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. O valor de x , em graus, é a) 100 b) 110 c) 115 d) 120
- Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual é a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos? a) 20° b) 40° c) 60° d) 80° e) 140°
- Observe a figura: Nessa figura, AB ≡ AC^ , BD^ é bissetriz de A^
B ^ C
, CE^ é bissetriz de B^
C ^ D
e a medida do
ângulo A^
C ^ F
é 140°. A medida do ângulo D^
E ^ C
, em graus, é a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 8)Na figura a seguir, AB ≡ AC^ , D é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo
D^ ^
é o triplo do ângulo
A ^
. Então, a medida de
A ^
é a) 18° b) 12° c) 24° d) 36° e) 15°
- Na figura, AB ≡ BD^ ≡ CD^. Então, a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2y
- Na figura, BC ≡ CA ≡^ AD ≡ DE^. O ângulo C^
A ^ D
mede a) 10° b) 20°
c) 30° d) 40° e) 60° 11)Na figura, AB^ ≡^ AD ≡ CD^. Calcule α^. a)15° b)10° c)6° d)20° e)12°
- Na figura, AB ≡ BC^ e AC ≡ CE ≡^ ED^ Calcule α^. a)36° b) 42° c) 18° d) 25° e) 54° 13)Em um triângulo ABC toma-se um ponto D exterior ao triângulo em relação à reta AC na região que não contém B, tal que AD = BD = CD e o ângulo ADB = 20°. Calcule a medida do ângulo ACB. a)20° b)40° c)15° d)35° e)10° 14)A partir da figura, calcule x. a)100° b)130° c)105° d)150°
Gabarito: 1)d 2)b 3)b 4)c 5)c 6)d 7)c 8)d 9)a 10)b 11)b 12)c 13)e 14)e 15)c
Geometria Plana
Aula: 03
Assunto: Estudo dos polígonos.
Teoria fundamental
Polígono é toda região plana limitada por uma linha poligonal fechada. De acordo com o número de lados os polígonos recebem nomes especiais. n = 3 ⇒ trilátero ou triângulo n = 4 ⇒ quadrilátero n = 5 ⇒ pentágono n = 6 ⇒ hexágono n = 7 ⇒ heptágono n = 8 ⇒ octógono n = 9 ⇒ eneágono n = 10 ⇒ decágono n = 11 ⇒ undecágono n = 12 ⇒ dodecágono n = 15 ⇒ pentadecágono n = 20 ⇒ i cos ágono -Os polígonos podem ser classificados em regulares e não regulares. -Os regulares têm todos os lados e todos os ângulos internos congruentes, isto é, são equiláteros e equiângulos.
Sendo n o número de lados de um polígono, tem-se: -Ângulo Interno
ai =
180 º ( n − 2 )
n
Obs: somente se o polígono for equiângulo. -Soma dos Ângulos Interno
Si = 180 º ( n − 2 )
-Ângulo Externo
ae =
n Obs: somente se o polígono for equiângulo.
-Soma dos Ângulos Externos
Se = 360 º
Resolva em casa
1)O polígono regular convexo em que o número de lados é igual ao número de diagonais é o a) dodecágono. b) pentágono. c) decágono. d) hexágono. e) heptágono. 2)Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O MENOR ângulo mede a) 90° b) 65° c) 45° d) 105° e) 80° 3)Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 4)Um polígono regular de n lados tem 90 diagonais. O valor de n é a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 21 5)se um polígono convexo de n lados tem 54 diagonais, então n é a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
6)Prolongando-se os lados AB e CD de um polígono convexo regular ABCD..., obtém-se um ângulo de 132° conforme ilustra a figura. De acordo com o número de lados, esse polígono é um a) octógono. b) decágono. c) undecágono. d) pentadecágono. e) icoságono. 7)ABCDE é um pentágono regular convexo. O ângulo das diagonais AC e AD vale a) 30° b) 36° c) 45° d) 60° e) 72° 8)Um polígono regular possui, a partir de cada um de seus vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede, em graus, a) 140 b) 150 c) 155 d) 160 e) 170 9)Na figura a seguir, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo αé a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) 40 10)Os lados de um octógono regular são prolongados até que se obtenha uma estrela. A soma das medidas dos ângulos internos dos vértices dessa estrela é a) 180° b) 360° c) 540° d) 720° e) 900°
