Modelos Heterocedásticos – ARCH e GARCH
Por
Ana Margarida Queirós Sepúlveda Furriel
Tese de Mestrado em Métodos Quantitativos para Economia e Gestão
Orientada por:
Prof. Dr. Paulo Teles
2011
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Análise da dívida pública e inflação no crescimento económico
Tipologia: Redação
2023
1 / 79
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Divida Pública e inflação e outras Redação em PDF para Matérias técnicas, somente na Docsity!
Modelos Heterocedásticos – ARCH e GARCH
Por
Ana Margarida Queirós Sepúlveda Furriel
Tese de Mestrado em Métodos Quantitativos para Economia e Gestão
Orientada por:
Prof. Dr. Paulo Teles
v
AGRADECIMENTOS
A todos aqueles que me apoiaram neste projecto e que me encorajaram a prosseguir concedendo-me forças para continuar.
De modo muito particular, agradeço ao Prof. Dr. Paulo Teles, por toda a dedicação, empenhamento, disponibilidade e orientação que me concedeu ao longo de todo este tempo.
Agradeço aos meus pais e irmão por todo o apoio e incentivo que me foram transmitindo, guardando um agradecimento muito especial para o meu marido, uma vez que foi ele quem mais de perto me acompanhou nesta caminhada.
vii
RESUMO
O objectivo desta dissertação prende-se essencialmente com a descrição dos modelos heterocedásticos ARCH e GARCH como forma de modelar e prever o valor médio condicional (rendimento) e a variância condicional (volatilidade) de séries financeiras.
As séries financeiras apresentam muito frequentemente observações aberrantes bem como a existência de regimes onde o rendimento e volatilidade (entendida como a variabilidade instantânea) variam ao longo do tempo. Uma vez que este tipo de séries apresentam características de não linearidade é impossível modelá-las através dos modelos ARIMA. Como demonstra este estudo, os modelos mais apropriados para as modelar são os modelos heterocedásticos que recorrem a momentos de ordem superior aos utilizados pelos modelos ARIMA.
Assim, os modelos ARCH e GARCH são os que mais se destacam da classe dos modelos heterocedásticos tendo sido introduzidos por Engle (1982) e Bollerslev (1986). Estes modelos apresentam uma variância condicional aleatória e é através do seu estudo que é possível estimar e efectuar previsões acerca da volatilidade, motivo pelo qual esta classe de modelos (não lineares heterocedásticos) tem grande destaque e aplicação na análise de séries temporais financeiras que apresentam uma grande variabilidade ao longo do tempo.
Neste trabalho abordam-se ainda outros modelos pertencentes à classe dos modelos heterocedásticos – os modelos IGARCH, EGARCH, CHARMA e os modelos de Volatilidade Estocástica.
Numa componente mais prática é apresentado ainda um caso de estudo onde foram aplicados os modelos e técnicas desenvolvidos anteriormente.
viii
ABSTRACT
The main objective of this thesis was the description of heteroscedastic models ARCH and GARCH as a way to modeling and forecasting the conditional mean and conditional variance (volatility) of financial time series.
It is quite normal financial time series presents outliers as well the return and volatility varies through the time. This type of time series have characteristics of no linearity and it is impossible to model them using the ARIMA models. As this study verifies, it is more efficient to use the heteroscedastic models, which call upon higher order moments than the ARIMA models.
The ARCH and GARCH models are the most important models of heteroscedastic models and were introduced by Engle (1982) and Bollerslev (1986). These models have a stochastic conditional variance and through its study it is possible estimate and predict volatility. This fact produces a great impact in the study of financial time series which usually present a big variability through time.
In this work it is also referred other models of the class of heteroscedastic models as IGARCH, EGARCH, CHARMA and Stochastic Volatility models.
In a more practical component it is presented a case study in which were applied the models and techniques previously approached.
x
- GRÁFICO 1 - CRONOGRAMA DA SÉRIE PSI20 ÍNDICE DE GRÁFICOS
- GRÁFICO 2 - CRONOGRAMA DA SÉRIE DIFERENCIADA
- GRÁFICO 3 - HISTOGRAMA DA SÉRIE DIFERENCIADA
- GRÁFICO 4 - FAC E FACP DA SÉRIE DIFERENCIADA
- GRÁFICO 5 - FAC E FACP DO QUADRADO DA SÉRIE DIFERENCIADA
- GRÁFICO 6 - CRONOGRAMA DOS RESÍDUOS DE ESTIMAÇÃO DO MODELO GARCH(1,1)
- GRÁFICO 7 - HISTOGRAMA DOS RESÍDUOS STANDARDIZADOS
- GRÁFICO 8 – CRONOGRAMA DOS RESÍDUOS DE ESTIMAÇÃO DO MODELO EGARCH(1,1)..............................................
- GRÁFICO 9- HISTOGRAMA DOS RESÍDUOS STANDARDIZADOS
- GRÁFICO 10 - PREVISÃO DA VARIÂNCIA – GARCH(1,1).........................................................................................
- GRÁFICO 11- PREVISÃO DA VARIÂNCIA - EGARCH(1,1)
- QUADRO 1 -R ESULTADOS DA ESTIMAÇÃO DO MODELO GARCH(1,1) ÍNDICE DE QUADROS
- QUADRO 2 - FAC E FACP DOS RESÍDUOS
- QUADRO 3 - FAC E FACP DO QUADRADO DOS RESÍDUOS
- QUADRO 4 - R ESULTADOS DA ESTIMAÇÃO DO MODELO EGARCH(1,1).....................................................................
- QUADRO 5 - FAC E FACP DOS RESÍDUOS DE ESTIMAÇÃO
- QUADRO 6 - FAC E FACP DO QUADRADO DOS RESÍDUOS
- QUADRO 7 - AIC DOS MODELOS ESTIMADOS
- QUADRO 8 - R ESULTADOS ESTATÍSTICOS DA PREVISÃO – GARCH(1,1)
- QUADRO 9 - PREVISÃO E ERROS ASSOCIADOS - GARCH(1,1)
- QUADRO 10 - R ESULTADOS ESTATÍSTICOS DA PREVISÃO – EGARCH(1,1)
- QUADRO 11 - PREVISÕES E ERROS ASSOCIADOS - EGARCH(1,1)
1. INTRODUÇÃO
A análise de séries temporais começou a realizar-se nos campos da engenharia, física e ciências da Terra. Contudo, o crescente desenvolvimento da actividade financeira tem levado ao aparecimento de uma maior necessidade em compreender as séries temporais financeiras e efectuar previsões sobre as futuras condições económicas, tendo sido estudados e desenvolvidos diversos métodos para o efeito. Tais métodos de modelação e análise estatística de séries financeiras começaram a ser alvo de estudos apenas muito recentemente passando a ser aplicados no campo das ciências económicas.
Os instrumentos financeiros possuem geralmente comportamentos dinâmicos diferentes ao longo do tempo, ou seja, apresentam períodos de tempo em que se verificam grandes variações no seu comportamento e outros períodos em que não se verifica qualquer variação. Esta variação instantânea de um instrumento financeiro ao longo do tempo designa-se por volatilidade. Por se tratar de uma variação instantânea e esta não ser directamente observável, a teoria estatística e os vários métodos existentes para o seu estudo desempenham um papel muito importante na análise de séries temporais financeiras. A compreensão e modelação da volatilidade de uma série temporal é importante na medida em que permite refinar a estimação dos parâmetros de um modelo que traduza o comportamento dos dados e consequentemente efectuar previsões com maior exactidão.
Um dos aspectos mais especiais da volatilidade é o facto de esta não ser directamente observável, tornando assim difícil avaliar o desempenho dos modelos de heteroscedasticidade condicional. Apesar disso, esta apresenta algumas características que são habitualmente detectadas, nomeadamente a existência de “clusters” de volatilidade, ou seja, esta pode ser elevada em alguns períodos e reduzida noutros. Além disso, a volatilidade evolui de forma contínua ao longo do tempo, isto é, raramente se verificam “saltos”, não diverge para o infinito, o que quer dizer que normalmente é estacionária, e parece reagir de forma distinta perante grandes aumentos e grandes quedas. Estas características desempenham um papel importante no desenvolvimento de modelos de estudo da volatilidade, na medida em que pelo menos torna possível o desenvolvimento de modelos que descrevam/prevejam as características mencionadas.
2. MODELOS ARCH
As características das séries temporais financeiras referidas anteriormente impedem a sua modelação através dos modelos ARIMA clássicos, nomeadamente o facto de se verificar, com alguma frequência, que a variância dos erros 𝜎 2 não é constante.
Um modelo estatístico/econométrico que incorpore a possibilidade da variância do termo de erro não ser constante (volatilidade) designa-se por modelo heterocedástico. Este tipo de modelo pretende captar a evolução de 𝜎 2 , sendo que, a forma como 𝜎 2 evolui ao longo do tempo distingue os diferentes modelos de volatilidade existentes. Segundo Tsay (2001), os modelos heterocedásticos podem ser classificados em duas categorias: os pertencentes à primeira categoria utilizam uma função determinística para captar a evolução de 𝜎 2 e os da segunda categoria utilizam uma equação estocástica para descrever 𝜎 2.
O primeiro modelo desenvolvido para modelação de séries financeiras e correspondente volatilidade foi apresentado por Engle (1982) e designa-se por modelo ARCH – modelo autoregressivo de heteroscedasticidade condicional. Com inspiração nos modelos ARIMA, o modelo ARCH modela a variação do quadrado da volatilidade como uma média móvel das observações passadas da série temporal. De acordo com Engle (2004) este modelo surgiu na sequência da necessidade de descobrir um modelo que permitisse validar a conjectura de Friedman (1977) de que a imprevisibilidade da inflação estaria na origem dos ciclos económicos e que esta incerteza afectaria o comportamento dos investidores. Desta forma, foi necessário conceber um modelo que modelasse a evolução desta imprevisibilidade.
Um processo Xt diz-se um processo ARCH de ordem q se, 𝑋𝑡 = 𝜎𝑡 𝜀𝑡, com 𝜎𝑡^2 = 𝛼0 + 𝛼 1 𝑋𝑡−1^2 + … + 𝛼 (^) 𝑞 𝑋𝑡−𝑞^2 (2.1)
onde 𝜎𝑡 é uma sequência não negativa de variáveis aleatórias, 𝜀𝑡 é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (iid) de valor médio nulo e variância unitária e os parâmetros 𝛼𝑖 têm de satisfazer um conjunto de condições
(𝛼0 > 0 e 𝛼𝑖 ≥ 0, i=1,2,…,q) de forma a assegurar que a variância não condicionada é finita. Quando 𝜎𝑡 é constante ao longo do tempo então 𝑋𝑡 é um ruído branco.
Segundo Hamilton (1994), um processo ARCH(q) é estacionário se e só se
𝑞
𝑖=
isto é, um ARCH estacionário é um ruído branco de valor médio nulo e variância constante:
𝐸(𝑋𝑡) = 0
𝑞
𝑖=
sendo que a sua variância condicionada, que se relaciona com o quadrado dos erros passados e varia ao longo do tempo, é aleatória:
𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡|𝑋𝑡−1, 𝑋𝑡−2, … ) = 𝐸(𝑋𝑡^2 |𝑋𝑡−1, 𝑋𝑡−2, … ) = 𝜎𝑡^2 = 𝛼0 + 𝛼 1 𝑋𝑡−1^2 + … + 𝛼 (^) 𝑞 𝑋𝑡−𝑞^2 (2.2)
tal como definida em (2.1). A ideia base deste modelo é que 𝑋𝑡 é não correlacionado mas dependente e que essa dependência pode ser descrita por uma simples função quadrática. Através da estrutura do modelo (2.1) facilmente se verifica que grandes valores passados de 𝑋𝑡 implicarão uma variância condicionada 𝜎𝑡^2 de 𝑋𝑡 elevada, isto é, grandes valores de 𝑋𝑡 tendem a ser seguidos por outros grandes valores de 𝑋𝑡. Segundo Tsay (2001), isto significa que a probabilidade de obter grandes variações é maior do que a probabilidade de obter uma variância baixa, sendo que este fenómeno é muito comum em séries temporais financeiras.
De acordo com Wei (2006), a equação (2.2) representa a previsão óptima de 𝑋𝑡^2 se este puder ser ajustado pelo modelo AR(q):
𝑋𝑡^2 = 𝛼0 + 𝛼 1 𝑋𝑡−1^2 + … + 𝛼𝑞 𝑋𝑡−𝑞^2 + 𝑎𝑡
Uma vez que a curtose de uma distribuição normal é igual a 3, então o excesso de curtose (𝛾) de uma variável aleatória 𝑋 qualquer pode ser obtida da relação
𝛾 = 𝐸(𝑋^
(𝜎 2 )^2 −^ 3,
onde 𝜎 é o desvio padrão de 𝑋. Tem-se então que, para uma distribuição normal, 𝐸(𝑋 4 ) = 3(𝜎 2 )^2. Logo, sob o pressuposto de que εt tem distribuição 𝑁(0,1), tem-se 𝐸(𝑋𝑡^4 |𝑋𝑡−1) = 3[𝐸(𝑋𝑡^2 |𝑋𝑡−1)]^2 = 3(𝛼 0 + 𝛼 1 𝑋𝑡−1^2 )^2.
Então,
𝐸(𝑋𝑡^4 ) = 𝐸[𝐸(𝑋𝑡^4 |𝑋𝑡−1)] = 3𝐸(𝛼0 + 𝛼 1 𝑋𝑡−1^2 )^2 = 3𝐸(𝛼 02 + 2𝛼0 𝛼 1 𝑋𝑡−1^2 + 𝛼 12 𝑋𝑡−1^4 ).
Se 𝑋𝑡 for estacionário até à 4ª ordem então 𝑚 4 = 𝐸(𝑋𝑡^4 ) e portanto,
𝑚 4 = 3[𝛼 02 + 2𝛼0 𝛼 1 𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡) + 𝛼 12 𝑚 4 ] = 3𝛼0^2 �1 + 2 (^1) − 𝛼𝛼^1 1
Consequentemente,
𝑚 4 = 3 𝛼^0
Este resultado tem duas implicações importantes: uma vez que o quarto momento de 𝑋𝑡 é positivo, 𝛼 1 tem de satisfazer a condição 1 − 3 𝛼 12 > 0 ⇔
0 ≤ 𝛼 12 < 13 e a curtose de 𝑋𝑡 é:
𝐸(𝑋𝑡^4 ) [𝑉𝑎𝑟(𝑋𝑡)]^2 = 3^
(1 − 𝛼 1 )(1 − 3 𝛼 12 ) ×
(1 − 𝛼 1 )^2
𝛼0^2 = 3
o que significa que a cauda da distribuição de 𝑋𝑡 é mais pesada do que a cauda de uma distribuição normal e portanto, é mais provável que uma grande alteração em 𝑋𝑡 possa ter algum significado importante e possa ser modelada por um modelo condicional gaussiano ARCH(1) do que simplesmente se tratar de um “outlier” produzido por uma série de ruído branco gaussiano.
Estas propriedades verificam-se para todos os processos ARCH, sendo que para processos de ordem superior os cálculos se tornam bastante mais complexos.
Apesar das propriedades acima mencionadas, os modelos ARCH também apresentam algumas limitações, nomeadamente:
- O modelo supõe que choques positivos ou negativos produzem o mesmo efeito na volatilidade, pois o modelo depende do quadrado dos choques anteriores. Contudo, sabe-se que, por exemplo, o preço de um determinado instrumento financeiro responde de forma diferente a choques positivos ou negativos.
- O modelo ARCH é bastante restritivo pois, geralmente, a sua definição exige que os seus parâmetros satisfaçam um grande número de restrições.
- O modelo não fornece nenhuma forma de compreensão/detecção da fonte das variações de uma série temporal financeira. Apenas fornece uma forma mecânica de descrever a variância condicionada não esclarecendo quais as causas de tais variações.
- O modelo ARCH tende a devolver previsões exageradas da volatilidade porque responde lentamente a grandes alterações isoladas. Tal como referido no capítulo 3, a própria estrutura do modelo leva a que grandes valores de 𝑋𝑡 tendam a ser seguidos por outros grandes valores de 𝑋𝑡, o que inevitavelmente irá gerar previsões exageradas da volatilidade.
2.2. TESTES PARA DETECÇÃO DO EFEITO ARCH
A presença de observações aberrantes numa série temporal financeira pode originar dúvidas quanto à sua origem. Estes “outliers” podem ser derivados de um ruído branco gaussiano mas também podem esconder um padrão importante na análise dos dados devido à presença nestes do efeito ARCH. Perante tal possibilidade, é necessário testar a presença do efeito ARCH na série temporal em estudo.
Para testar a presença de um efeito ARCH, numa primeira fase deve calcular-se a FAC e FACP amostrais da série temporal 𝑋𝑡 e do seu quadrado 𝑋𝑡^2. Através da análise destas funções, pode-se obter uma primeira indicação sobre a presença ou não do efeito ARCH na série temporal. Analisando a FAC de 𝑋𝑡 é possível confirmar a inexistência
𝑋𝑡 ser iid e ter distribuição 𝑁(0, 𝜎 2 ), segue uma distribuição assintótica 𝜒𝑞^2 , onde 𝑅 2 representa o coeficiente de determinação de (2.2.1). À semelhança do teste anterior, a regra de decisão, para um nível de significância 𝛼, é rejeitar a hipótese nula se o valor observado da estatística de teste (𝑁 − 𝑞)𝑅 2 > 𝜒𝑞^2 (𝛼).
O teste dos multiplicadores de Lagrange (Engle (1982)) também permite detectar a presença do efeito ARCH. Este teste é equivalente a utilizar a estatística F para testar a hipótese 𝐻 0 acima explicitada. Considere-se que
𝑌�^ = � 𝑋𝑡
2 𝑁
𝑁
𝑡=
é a média amostral de 𝑋𝑡^2 e que 𝑎� (^) 𝑡 são os resíduos da estimação da regressão (2.3) e sejam
𝑆𝑆𝑅 0 = � (𝑋𝑡^2 − 𝑌�)^2 e 𝑆𝑆𝑅 1 = � 𝑎� (^) 𝑡^2.
𝑁
𝑡=𝑞+
𝑁
𝑡=𝑞+
Sob 𝐻 0 , a estatística de teste
tem distribuição assintótica 𝐹𝑞,(𝑁−2𝑞−1), onde (𝑞, 𝑁 − 2 𝑞 − 1) representa os graus de
liberdade da distribuição. A regra de decisão é rejeitar a hipótese nula se 𝐹 > 𝐹𝑞,(𝑁−2𝑞−1) (𝛼), onde 𝐹𝑞,(𝑁−2𝑞−1) (𝛼), é o percentil 100(1- 𝛼)% da distribuição
𝐹𝑞,(𝑁−2𝑞−1).
2.3. ESTIMAÇÃO DE UM MODELO ARCH E AVALIAÇÃO DO
DIAGNÓSTICO
Uma vez identificado um modelo, o passo seguinte é a estimação dos seus parâmetros. De acordo com Tsay (2005), admitindo que as variáveis 𝜀𝑡 são iid e normais reduzidas, os parâmetros do modelo podem ser facilmente estimados através do método da máxima verosimilhança. A função de verosimilhança de um modelo ARCH(q) é dada por:
� 2 𝜋𝜎𝑖^2
exp �− 𝑥𝑖
2 2 𝜎𝑖^2 �^ ×^ 𝑓�𝑥^1 , … ,^ 𝑥𝑞^ �𝜶�
𝑡
𝑖=𝑞+
onde 𝜶 = (𝛼0, 𝛼 1 , … , 𝛼 (^) 𝑞) ′ , 𝐹𝑡−𝑖 representa o conjunto de informação disponível no
momento 𝑡 − 𝑖 (𝑖 = 1, … , 𝑡 − 𝑞) e 𝑓�𝑥 1 , … , 𝑥𝑞 �𝜶� é a função densidade de
probabilidade conjunta de 𝑋 1 , … , 𝑋𝑞. Segundo Tsay (2005), como esta função apresenta geralmente uma expressão bastante complexa, é habitualmente retirada da função de verosimilhança em (2.4) principalmente nos casos em que a amostra é grande. Desta forma, utiliza-se a função de verosimilhança condicional
� 2 𝜋𝜎𝑖^2
exp �− 𝑥𝑖
2 2 𝜎𝑖^2 �^ (2.5)
𝑡
𝑖=𝑞+
em que 𝜎𝑖^2 pode ser avaliada recursivamente. De forma a simplificar os cálculos e porque maximizar (2.5) é equivalente a maximizar o seu logaritmo, a função a maximizar é dada por:
𝑙�𝑥𝑞+1, … , 𝑥𝑡 �𝜶, 𝑥 1 , … , 𝑥𝑞) = � �− 12 ln(2𝜋) − 12 ln(𝜎𝑖^2 ) − 12 𝑥𝑖
2 𝜎𝑖^2 �
𝑡
𝑖=𝑞+