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Documento contém a resolução de problemas relacionados às estruturas mistas isostáticas, incluindo cálculos de deslocamentos relativos de pontos, variação de ângulos formados pelas barras e diagramas de esforços. A documentação é baseada em um problema de engenharia civil e inclui informações sobre materiais, dimensões e reações.
Tipologia: Exercícios
1 / 14
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1.5 m
A
2 m
3 m
1.5 m
B C D
E
F
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
Considere a estrutura representada na figura.
Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso.
Barras ABCD
Secção: ver figura
Betão: E = 29 GPa
Restantes barras
Perfil tubular:
100 mm x 100 mm
esp = 5 mm
Aço: E = 206 GPa
H 141 kN
V 68 kN
H 141 kN
M 0 H 2 8 x1,5 30 x 6 10 3 3 0
E
A
A
A E
Y A
X A E
1.5 m
10 kN/m
A
2.0 m
3.0 m
30 kN
1.5 m
8 kN
B C D
E F
1.5 m
10 kN/m
A
2 m
3 m
30 kN
1.5 m
8 kN
B C D
E F HE
HA
VA
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
H 3 kN
V 1 kN
H 3 kN
E
A
A
A E
Y A
X A E
Nó E Barra EF ⇒ NEF = -3 kN (compressão)
Nó F
α =
α=
α= ⇒ α= = ⇒
sen
cos
arctg 3
tg
o
y
x
N N sen 0
N cos 3 0
FB FC
FC
α+ =
N 2 kN (tracção)
N 13 kN (compressão)
FB
FC
Barra BC ⇒ M(z) =1,5−z kNm
1.5 m
A
2 m
3 m
1 kN
1.5 m
B C D
E F 3 kN
3 kN
1 kN
-3 kN
-^
13 kN
+2 kN
α
2
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B (^) C D
E F
3
- -^
13 kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
C D
E F
1,
-1,
ESFORÇO AXIAL
(kN)
MOMENTO FLECTOR
(kNm)
F
α
NFC
3 kN
NFB
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
dz N E
dz E A
1 δ
v
D
3 4,5 141 5,4698 10 m
29 10 0 , 12
dz EA
6
[ ]
3 153 3 33,75) 8,448 10 m 2
76,5 (5z 26,5z 153.z 153 )dz 33, 26100
1,5 (1,5 z) (102 34 .z 5 z)dz 3
dz E
4 3 2 - 3
3
0
3 2
3
0
2
6 - 4
[ 141 ( 3) 1,5 102 2 2 47 13 ( 13 ) 13 ] 8,292 10 m
206 10 1,9 10
6 - 3
dz N E
dz E A
δ
v
D
δ = 5,4698× 10 +8,448× 10 +8,292× 10 =1,729× 10 m=1,729cm ↓
v -4 -3 -3 -
D
1.5 m
A
3 m
1 kN
1.5 m
B C D
E F
1 kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B (^) C D
E F
1
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
C D
E F
ESFORÇO AXIAL
(kN)
MOMENTO FLECTOR
(kNm)
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
Barra BC (^) z kNm 3
⇒ M(z) =−
dz N E
dz E A
D
× θ =
0,5 4,5 141 9,116 10 rad
29 10 0 , 12
dz EA
6
3 33,75) 6 ,284 10 rad 2
z 34 .z)dz 33, 3
z 3
z) (102 34 .z 5 z) dz 3
dz E
4 3 2 - 4
3
0
3 2
3
0
2
6 - 4
1,382 10 rad
6 - 3
dz N E
dz E A
D
θ =
9,116 10 6,284 10 1,382 10 2,102 10 rad
-5 -4 -3 - D
θ = × + × + × = ×
0,
-^3
13 kN
13
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B (^) C D
E F
0,
- 0,
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
C D
E F
-
ESFORÇO AXIAL
(kN)
MOMENTO FLECTOR
(kNm)
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
barras
bi-articuladas
Barra BC (^) z kNm 3
⇒ M(z) = 1 −
0,5 4,5 141 9,116 10 rad
29 10 0 , 12
dz EA
6
3 102 3 ) 6 ,408 10 rad 2
z 68.z 102 )dz 3
z 3
z) (102 34 .z 5 z ) dz 3
dz E
4 3 2 - 3
3
0
3 2
3
0
2
6 - 4
1,382 10 rad
6 - 3
9,116 10 6,408 10 1,382 10 7,881 10 rad E A
dz N E
dz E A
A
θ =
dz N E
dz E A
A
× θ =
0,5 kN
-0,5 kN
0,5 kN α
0,
-^3
13 kN
13 +
1 kNm
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B C D
E F
0,
-^3
13 kN
13
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B (^) C D
E F
0,
- 0,
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B
C D
E F
1
ESFORÇO AXIAL
(kN)
MOMENTO FLECTOR
(kNm)
barras
contínuas
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
barras
bi-articuladas
barras
contínuas
Barra BC ⇒ M(z) =− 1 , 2 + 0 , 4 z kNm
dz N E
dz E A
1 δ B - dirEB
0,6 3 141 7,293 10 m
29 10 0 , 12
dz EA
6
[ ]
3 122,4 3 ) 6 ,517 10 m 2
61 , 2 ( 2z 7 , 6 z 81,6.z 122,4)dz 26100
( 1 , 2 0 , 4 z) (102 34 .z 5 z )dz 3
dz E
4 3 2 - 3
3
0
3 2
3
0
2
6 - 4
[ ]
1,658 10 m
6 - 3
dz N E
dz E A
δ B - dirEB
δ 7,293 10 6,517 10 1,658 10 8,102 10 m
-5 -3 -3 -
B - dirEB
= × − × − × =− ×
δ δ 8,102 mm E - B B-dirEB
= = − (os pontos^ E^ e^ B^ aproximaram-se)
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B C D
E F
0,
0,
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B C D
E F
ESFORÇO AXIAL
(kN)
MOMENTO FLECTOR
(kNm)
-0,
0,2 13 kN
-1,
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
Nó F
α =
α=
α= ⇒ α= = ⇒
sen
cos
arctg 3
tg
o
y
x
cos 0
13
N N sen
sen 0
13
N cos 0,
FB FC
FC
α+ − α=
kN(compressão)
13
FB
FC
2 m
1.5 m
A
3 m 1.5 m
B C D
E F
1 kNm
1 kNm
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B C D
E F
0,5 kN
0,5 kN
1
13
kN
1
13
kN
F (^) α
NFC
0,5kN
NFB
1
13
α kN
1,
13
kN
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B (^) C D
E F
0,
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B C D
E (^) F
ESFORÇO AXIAL
(kN)
MOMENTO FLECTOR
(kNm)
-
1.5 m
A
2 m
3 m 1.5 m
B C D
E F
0,5 kN
0,5 kN
1
13
kN
1
13
kN
α
-^
1,
13
kN
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
(kN)
(kNm)
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES
Deslocamento e rotação do ponto D
Sentidos positivos:
Node
Results
Nodal
Displacements:
Dx = 1.823e-002 cm
Dy = -1.729e+000 cm
Rz = -2.105e-003 rad
Rotação do ponto A
Sentidos positivos:
Member
Displacements and Rotations
Init:
Dx: 0.000e+000 cm
Dy: 0.000e+000 cm
Rz: -7.881e-003 rad
End:
Dx: 6.078e-003 cm
Dy: -1.036e+000 cm
Rz: -4.950e-003 rad
