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TEORIAS E A LÓGICA COMO SISTEMAS DE OPERAÇÕES SOBRE SIGNOS:
OS SISTEMAS FORMAIS
A NOÇÃO DE SISTEMA AXIOMÁTICO
Teorias axiomáticas ou s istemas axiomáticos servem à sistematização de uma área do conhecimento, como nas Ciências Contemporâneas, no qual necessitamos de deduções e de- monstrações. Nessas teorias, as deduções e demonstrações sempre se apoiam em asserções anteriores e, então, devemos aceitar determinadas asserções como primeiras para não cair- mos em um regresso infinito. Essas primeiras asserções, que aceitamos sem delas ter uma dedução, são chamadas, por definição, de axiomas.
Vamos então considerar uma teoria axiomática bem simples, com apenas dois axiomas, como a seguir, para exemplificar as noções que exporemos a seguir, relativas às teorias axi- omáticas.
Axioma 1: Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é um organismo. Axioma 2: Se o objeto considerado é um organismo, então o objeto considerado é complexo.
A NOÇÃO DE DEDUÇÃO EM UM SISTEMA AXIOMÁTICO
Na teoria exposta no tópico anterior, podemos considerar a seguinte dedução:
Hipótese: O objeto considerado tem vida. Axioma 1: Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é um organismo. Conclusão Parcial: O objeto considerado é um organismo. Axioma 2: Se o objeto considerado é um organismo, então o objeto considerado é complexo Conclusão: O objeto considerado é complexo.
Então, em nossa teoria, da hipótese " O objeto considerado tem vida”, podemos concluir que " O objeto considerado é complexo”.
De forma geral, podemos dizer que a dedução de uma asserção (chamada, por definição, de conclusão da dedução) a partir de certas asserções (chamadas, por definição, de hipóte- ses da dedução) é, por definição, uma sequência de sentenças tal que cada sentença da se- quência ou é uma hipótese ou é uma axioma ou é inferida a partir das anteriores por regras de inferência.
Notemos que, na dedução acima, cada uma das cinco asserções da sequência acima ou é uma hipótese ou é um axioma ou é inferida a partir das anteriores por regras de inferência.
Abaixo temos, graficamente, as aplicações de regra de inferência. Hipótese ──┐ Axioma 1 ──┤ ┌── (^) Conclusão parcial ◄─┘ ├── (^) Axioma 2 └─► Conclusão A regra de inferência aplicada na dedução acima é chamada de Modus Ponens e, se X e Y são duas sentenças, ela tem a forma:
X Se X, então Y. Y
Notemos então que, na dedução acima, a regra foi aplicada duas vezes: à Hipótese e ao Axioma 1, resultando a Conclusão parcial; e ao Axioma 2 e Conclusão parcial, resultando na conclusão final da dedução.
AS NOÇÕES DE DEMONSTRAÇÃO E TEOREMA EM UM SISTEMA AXIOMÁTICO
Em uma teoria axiomática, temos ainda que, uma demonstração de uma asserção é, por definição, uma dedução, dessa mesma asserção, a partir apenas dos axiomas.
Podemos então considerar a seguinte demonstração em nossa teoria axiomática bem simples (notemos que não existem hipóteses):
Axioma 1: Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é um organismo. Axioma 2: Se o objeto considerado é um organismo, então o objeto considerado é complexo. Conclusão: Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é complexo.
A regra de inferência aplicada na dedução acima é chamada de Silogismo Hipotético e, se X, Y e Z são três sentenças, ela tem a forma:
Se X, então Y. Se Y, então Z. Logo, se X, então Z. Asserções que são axiomas ou para as quais existe uma demonstração são chamadas, por definição, de teoremas.
Assim, a conclusão " Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é complexo” é então um teorema de nossa teoria, já que existe uma demostração para ela.
A UTILIZAÇÃO DE SIGNOS EM UM SISTEMA FORMAL
Se usarmos o signo " →” para representar a noção de implicação e se usarmos letras " A”, " B” e " C” para representar as sentenças conforme abaixo,
A – "O objeto considerado tem vida”; B – "O objeto considerado é um organismo”; C – "O objeto considerado é complexo”; podemos então, representar as sentenças abaixo como segue.
Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é um organismo: "A → B”.
Se o objeto considerado é um organismo, então o objeto considerado é complexo: "B → C”.
Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é complexo: "A → C”.
Chamamos as sequências de signos " A”, " B”, " C”, " A → B”, " B → C” e " A → C” de fórmulas, analogamente às sentenças expressas por signos matemáticos.
OPERAÇÕES SOBRE SIGNOS: REGRAS DE INFERÊNCIA E DEDUÇÃO.
Usando então as convenções introduzidas acima, podemos expressar a primeira dedu- ção, com a sequência de fórmulas abaixo.
Hipótese: A [ O objeto considerado tem vida.] Axioma 1: A → B [ Se o objeto considerado tem vida, então o objeto considerado é um organismo.] Conclusão parcial: B [ O objeto considerado é um organismo.] Axioma 2: B → C [ Se o objeto considerado é um organismo, então o objeto considerado é complexo.] Conclusão final: C [ O objeto considerado é complexo.] Vimos que regras que nos permitem inferir fórmulas de outras fórmulas são chamadas
A DEFINIÇÃO DE SISTEMAS FORMAIS E A TEORIA BS
A partir do que expomos acima, podemos ver que, para realizar deduções e demonstra- ções em teorias formais, precisamos apenas de fórmulas (que expressarão axiomas e hipó- teses) e de regras de inferência (que são operações sobre fórmulas). A constatação desse fato nos permite, então, introduzir a noção de sistema formal ou teoria formal, como fare - mos a seguir. Vamos introduzir, conjuntamente, um exemplo de teoria formal constituído a partir de nossa primeira teoria axiomática bem simples, que chamaremos Teoria BS.
Por definição, um sistema formal ou teoria formal se constitui, basicamente, do seguin- te.
(1) Um conjunto de signos gráficos, chamado, por definição, de alfabeto do sistema formal; o alfabeto da Teoria BS são os signos: " A”, " B”, " C”, " →”. Denominamos, por definição, de expressão qualquer sequência finita de signos do alfabeto.
(2) Um subconjunto do conjunto das expressões chamado, por definição, de fórmulas do sistema formal. As fórmulas da Teoria BS são as expressões: " A”, " B”, " C”, " A → B”, " B → C” e " A → C”. Será considerada a linguagem do sistema formal o alfabeto e o conjunto de fór- mulas do sistema formal.
(3) Um subconjunto do conjunto de fórmulas chamado, por definição, de axiomas do sistema formal; a Teoria BS tem dois axiomas: as fórmulas " A → B” e " B → C”.
(4) Por fim, um conjunto de regras de inferência que nos diz como passar de certas fórmu- las a outras, em uma dedução; a Teoria BS tem duas regras de inferência: as regras Modus Ponens e Silogismo Hipotético descritas anteriormente.
O quadro a seguir resume o exposto: Sistema Formal ou Teoria Formal Teoria BS Constituintes Constituintes (1) Alfabeto A B C → (2) Fórmulas A B C A→B B→C A→C (3) Axiomas A→B B→C (4) Regras de Inferência Modus Ponens (MP): X X → Y ────── Y
Silogismo Hipotético (SH): X → Y Y → Z ────── X → Z
De posse das fórmulas, dos axiomas e das regras de inferência de nosso sistema formal BS podemos agora introduzir as noções de dedução, demonstração e teorema em um siste- ma formal. É o que faremos na próxima seção. Em especial, veremos como uma teoria formal ou sistema formal torna mais preciso os signos sobre os quais podemos fazer as operações (fórmulas) e as operações que podem ser realizadas sobre eles (regras de inferência).
