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Analise de Sistemas Lineares Dominio Tempo 2
Tipologia: Notas de estudo
Compartilhado em 29/08/2010
4.3
(3)24 documentos
1 / 69
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(^0) t
(^0) t T
x t ( )
φ ( ) t
O que acontece emacontece em t + T (^) na função t na função φ( xt () t^ )
O que acontece emacontece em t - T na função t na função x φ ( t () t )
φ ( t + T ) = x ( t )
φ ( t ) = x ( t − T )
φ ( t + T − T ) = x ( t − T )
Sinal atrasado no tempo
O que acontece emacontece em t - T na função t na função φ( xt () t^ )
O que acontece emacontece em t + T (^) na função t na função x φ ( t () t )
φ (^) ( t − T (^) ) = x t ( )
φ (^) ( t (^) ) = x t ( + T )
φ (^) ( t − T + T (^) ) = x t ( + T )
Sinal adiantado no tempo (^0) t
(^0) t
T
φ ( ) t
x t ( )
Reversão Temporal
x (^) ( ) t
t
φ ( ) t
t
Espelhado
φ ( t ) = x (− t )
Função Degrau Unitário
0
1
u t ( )
( )
<
0 se 0
1 se 0 t
t u t
Se quisermos um sinal que comece em zero, assumindo valor zero para t <0, multiplicamos por u ( t ).
0
1
e − atu t ( )
Impulso Unitário ( ) ∫−∞ ∞^ ( ) =
= ≠ 1
0 se 0 t dt
t t δ
δ
(^1) Altura
0 Largura → ∞
→ ε
ε
t
δ ( ) t
0
Pulso retangular alto e estreito com área unitária.
t
1 ε
2 − ε 2 +^ ε
Área igual a 1 1 2 1 ε → 0 ε 2 − − 2 ε × (^) ε = 2 ε × (^) ε = 1
Largura infinitamente pequena Altura infinitamente grande Área igual a 1
Multiplicação de uma função por um impulso
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t T ) ( T ) ( t T )
t t t − = −
= φ δ φ δ
φ δ φ 0 δ
Como fora de t = 0 o impulso vale zero
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
t t dt t dt t dt t t dt
φ δ φ δ φ δ φ δ φ
∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ∞ −∞
φ (^) ( ) t δ ( t T (^) ) dt φ( T )
∞ ∫−∞ −^ =
Generalizando
A resposta h ( t ) ao impulso unitário
x ( t ) é substituída por pulsos retangulares e então somados. Os pulsos se transformam em impulsos quando a largura tende a zero. A resposta do sistema é a soma de todas as respostas aos vários componentes de impulso. Se soubermos a resposta do sistema a uma entrada impulsiva, podemos determinar a resposta do sistema a uma entrada arbitrária x ( t ).
t
yn ( t ) dos modos característicos^ é a combinação linear
h t ( (^) ) = b 0 (^) δ (^) ( t (^) ) + ^ P D ( (^) ) yn (^) ( t (^) ) u t ( )
2 1
n n n^ N nN
y y y y
− −
n n n n n n
N y N y y N y y y
1 1 1 0 1 1 1
N N N N N N N N
D a D a D a y t b D b D b D b x t
− − − −
Se M < N b 0 (^) = 0 e b 0 δ ( t ) = 0 Exemplos
Exemplo 1 Resposta ao impulso
P D ( (^) ) = D e b 0 = 0 P D ( (^) ) y (^) n ( t (^) ) = y ɺ n (^) ( t (^) ) = − e −^ t^ + 2 e −^2 t
h t ( (^) ) = (^) ( − e −^ t^ + 2 e −^2 t ) u t ( )
y n (^) ( t (^) ) = e −^ t^ − e −^2 t
t=0:0.001:10; y = -exp(-t)+2exp(-2t); plot(t,y);
Exemplo 2 Resposta ao impulso
P D ( (^) ) = D + 1 e b 0 = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3
2 3 2
n n n t t t t n n t^ t
P D y t y t y t
P D y t e e e e
P D y t e e
− − − − − −
= + = − + + − = − +
ɺ
h t ( (^) ) = (^) ( − e −^2 t^ + 2 e −^3 t ) u t ( )
y (^) n ( t (^) ) = e −^2 t^ − e −^3 t
Exemplo 2
Resposta ao impulso
t=0:0.001:10; y = -exp(-2t)+2exp(-3*t); plot(t,y);
1
t = ∆ n τ t
Forma o pulso
x ( t ) é a soma de todos os pulsos
20
Resposta de Estado Nulo ( ) ( ) ( )
( ) (^ )^ ( ) ( ) (^) ( ) ( )
( )
0
0
lim
lim
é o pulso
com altura
n
n
x t x n p t n
x t x n p t n x n (^) p t n p t n
x n
τ
τ
τ τ τ (^) τ τ τ τ (^) τ τ τ τ τ
∞ ∆ → (^) =−∞ ∞ ∆ → (^) =−∞
∑
∑
( ) ( ) (^) τ ( τ ) τ
τ
τ
τ
para ∆^ τ→^0
