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EAD Nº 8 - ÁLGEBRA_________________________________________________
LOGARITMOS _______________________________________________________
INTRODUÇÃO :
A invenção (ou descoberta) dos logaritmos pelos matemáticos contribuiu
decisivamente para o desenvolvimento da Astronomia , da Biologia, da Economia e de
outras ciências que desde o século XVI, época do surgimento desta ferramenta algébrica,
eram objeto de preocupações de vários pesquisadores. Afinal, estávamos vivendo o
Renascimento Europeu, um dos períodos mais férteis do desenvolvimento artístico e
científico do mundo ocidental.
O nascimento dos logaritmos ocorreu no momento em que os matemáticos resolviam
equações exponenciais. Conforme vimos, a equação 3 81
x é facilmente resolvida se
fatorarmos o número 81, e obteremos 3
4 3
x
. Como nesta igualdade de potências as bases
são iguais, então obrigatoriamente teremos x = 4, que de fato é raiz da equação.
Porém, se ao resolvermos uma equação desse tipo chegarmos à igualdade 3 51
x ,
veremos que não existe valor racional de x que a satisfaça. Porém, como 3 27
3 e 3 81
4 ,
não é difícil percebermos que o valor de x que resolve a equação dada é um número
irracional situado entre 3 e 4. Para chegarmos a tal valor de x será necessário
desenvolvermos uma nova teoria algébrica, assunto deste capítulo, que é a teoria dos
logaritmos.
DEFINIÇÃO :
Dados os números reais “a”, “b” e “x”, tais que 0 0. dizemos que o
logaritmo de b na base a é igual a x, se e somente se a x-ésima potência de a for igual a b.
É claro que qualquer definição algébrica escrita em uma língua, como o Português, o
Espanhol , o Inglês, ou qualquer outra, não é favorável à nossa compreensão, simples
mortais que somos. Por isso, se utilizarmos a linguagem algébrica, mais direta e mais
simples, entenderemos melhor o que foi escrito no parágrafo anterior. Então a definição de
logaritmo, cujo símbolo algébrico é log, vem a ser :
Dados a, b e x R |0 < a 1 e b > 0, log (^) a b = x a b
x
Se utilizarmos essa definição, poderemos escrever que :
- log 2 16 = 4 2 16
4
- log 25 5 = 2
1
( lembre-se que 25^2255 )
1
OBSERVAÇÃO :
O símbolo “ ”, que significa “se e somente se”, pode ser lido da esquerda para a
direita ou da direita para a esquerda. Assim, é indiferente escrevermos antes dele o
logaritmo e depois a potência, como antes a potência e, após, o logaritmo.
EXERCÍCIO :
Complete as frases, utilizando a definição de logaritmo :
- log 416 ................................; 4) 4 ............ ................................
5 ;
- log 3 243 ..............................; 5) 10 ........... ...............................
3 ;
- log (^5 625) ..............................; 6) 0, ........... .............................
2 (^) .
Resp.:( 1) 2 4 16 ;
2 2) 5 3 243 ;
5 3) 4 5 625 )
4 ;
- 1024 log 4 1024=5; 5) 1000 log 10 1000=3 ; 6) 0,01 log 0 , 1 0,01=2 ).
NOMENCLATURA :
A sentença que nos define logaritmo de um número real nos mostra duas operações,
a logaritmação e a potenciação (qualquer uma delas só existe se a outra existir também)
entre as quais há o símbolo cujo significado é o que acabamos de escrever sobre a
existência de tais operações. Na verdade, tais operações são inversas, os elementos que as
compõem possuem nomes conforme a operação a que estão sendo referidos, e esses nomes
são:
log (^) a b = x a
x = b
logaritmação operações inversas potenciação
base a base
antilogaritmo b potência
logaritmo x expoente
O antilogaritmo também pode ser chamado de logaritmando.
Chamamos de Sistema de Logaritmos em uma certa base ao conjunto dos logaritmos
de todos os números positivos nesta base. As bases mais importantes são a base dez e a
base “e”, onde “e” é um número irracional aproximadamente igual a 2,7l83. Os logaritmos
na base dez são representados somente pelo símbolo “log b”, sem especificar a base, e os
de base “e” por “lnb”, logaritmo neperiano ou logaritmo natural de b.
número real que seja igual a log(-2), ou log (^) 3 (x+1), ou ainda log 1 3x , pois as condições de
existência dos logaritmos não foram obedecidas.
Em resumo, somente existe log (^) a b se tivermos 0 < a 1 e b > 0. Veja que o
valor do logaritmo pode ser qualquer, negativo, nulo ou positivo.
EXEMPLOS :
Obtenha os valores de x para os quais existem os seguintes logaritmos:
- log 2 (2x-6)
Pela definição, o antilogaritmo deve ser positivo, ou seja : 2x – 6 > 0.
Resolvendo a inequação obtida, teremos x > 3.
Logo, existe o logaritmo dado para qualquer valor real de x tal que x > 3.
- log (^3) x 48
Novamente, pela definição, a base do logaritmo deve ser positiva e diferente
de 1, ou ainda 0 < 3x-4 1 4 < 3x 5 3
x . Logo, o logaritmo dado
existe para valores reais de x tais que 3
x .
- log (^6) 2 x (3x + 9)
A definição nos diz que o antilogaritmo deve ser positivo e a base positiva e
diferente de 1. Então isso nos remete à resolução do sistema de inequações simultâneas a
seguir. A solução será obtida pela interseção das resoluções das inequações, uma vez que
ambas devem ser satisfeitas ao mesmo tempo :
3x + 9 > 0 x > -3
e
0 < 6-2x 1 - 3 2
x
Assim, o este logaritmo existe para valores reais de x tais que -3 < x < 3 e x - 2
EXERCÍCIOS :
Obtenha as condições de existência dos seguintes logaritmos :
- log (2x+6); 2) ln(x+1); 3) log 5 (x 2 )
2 x ;
log (^2) x 6 4 ; 5) log (^) 2 (4x+6) ; 6) log (^) x 4 (x+4) ;
log (^) x 4 (x-4) ; 8) log (^2) x 5 (x 6 )
2 x ; 9) log x^2 4
(x 6 8 )
2 x .
Resp.:
x>-3 ;
x > -1 ;
x<0 ou x>2 ;
34 ;
x>6 ;
x<-2 ou x>4.
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS :
A definição nos leva a algumas conseqüências que são as propriedades iniciais dos
logaritmos, desde que todos eles existam :
- O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero:
log (^) a 1 = 0 a 1
0 .
- O logaritmo da própria base é igual a 1 :
log (^) a a = 1 a a
1 .
- O logaritmo da potência da base é igual ao expoente :
log (^) a a
n = n a
n
n a.
- O logaritmo de b, na base a, é igual ao expoente de a para que se
obtenha b :
a a
log b
b , pois a b
x log (^) a b = x (por substituição) a
log ab = b.
- Logaritmo de um produto :
O logaritmo, em qualquer base, de um produto é igual à soma dos logaritmos dos
fatores, na mesma base, desde que os logaritmos envolvidos existam. Ou seja :
log (^) a (b 1 .b 2 ) = log (^) a b 1 + log (^) a b 2
Demonstração : Se fizermos log (^) a b 1 = x e log (^) a b 2 = y, a definição nos garante que
a
x = b 1 e que a
y = b 2. Então, se multiplicarmos membro a membro estas duas últimas
igualdades, teremos : a
x
. a
y = a
x y = b 1. b 2 , pois, na multiplicação de potências de
mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes ,e se tivermos uma igualdade, o
logaritmo do primeiro membro é igual ao logaritmo do segundo, desde que estejam na
mesma base.
Logo, podemos escrever que :
log (^) a (b 1 .b 2 ) = log (^) a a
x y = x + y = log (^) a b 1 + log (^) a b 2
Assim fica demonstrada a propriedade.
- Logaritmo de um quociente :
O logaritmo, em qualquer base, de um quociente é igual ao logaritmo do numerador
menos o logaritmo do denominador, na mesma base, e desde que os logaritmos existam. Isto
é :
log a 2
1
b
b = log (^) a b 1 - log (^) a b 2
Demonstração : Analogamente à demonstração da propriedade anterior, como a
x = b 1 e
a (^) x = b 2 , se fizermos a divisão membro a membro destas igualdades, teremos : y
x
a
a = a
x y
2
1
b
b , pois na divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes
e podemos também escrever que log (^) a a
x y = log a 2
1
b
b
. Portanto, log a 2
1
b
b = x – y , e assim
teremos : log a
2
1
b
b = log (^) a b 1 - log (^) a b 2 , e a propriedade fica demonstrada.
- Logaritmo de uma potência :
O logaritmo, em qualquer base, de uma potência qualquer, é igual ao produto do
expoente dessa potência pelo logaritmo da base da potência, na mesma base inicial do
logaritmo, desde que os logaritmos existam. Ou seja :
log (^) a (b
n ) = n. log (^) a b
Demonstração :
log (^) a (b )
n = log (^) a (b.b.b.b........b) = log (^) a b + log (^) a b + ....+ log (^) a b = n. log (^) a b ,
n. vezes n vezes
e temos a propriedade demonstrada.
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO :
Passemos agora a utilizar tudo o que foi visto sobre logaritmos em questões algébricas e
em aplicações práticas deste assunto em outras áreas do conhecimento:
- Sabendo que log (^) a 2 = m , log (^) a 3 = p e log (^) a 5 = r, calcule os logaritmos a seguir :
a) log (^) a 30
Se fatorarmos o número 30, teremos 30 = 2.3.5, então :
log (^) a 30 = log (^) a (2.3.5) = log (^) a 2 + log (^) a 3 + log (^) a 5 = m + p + r
b) log a 8
Fatoremos os elementos da fração. Teremos então :
log a 8
= log a 3
2
= log (^) a 3 + log (^) a 5
2
3
= log (^) a 3 + 2. log (^) a 5 - 3. log (^) a 2 = p + 2r - 3m
c) log a
Fatoremos o radicando e transformemos o radical em uma potência:
log (^) a^3 720 = log (^) a (2^3
1 4 2
. 3. 5 ) = log (^) a (2. 3. 53 )
1 3
2 3
4
=
= log (^) a 23
4
2
1
= log a 3
2 + log a 3
3 + log a 3
4 m p r = 3
4 m 2 p r
- Sabendo que log (^) a x m , obtenha log x
a
log x
a
= log
1 (^) a x = -1. log (^) ax = - m
Obs. : Dizemos que log x x
a log a
= colog (^) ax , e assim definimos cologaritmo
do número positivo x na base a positiva e diferente de 1.
MUDANÇA DE BASE :
Como afirmamos no início deste assunto, as bases 10 e “e” definem respectivamente os
sistemas decimal e natural de logaritmos, e estes são os sistemas mais importantes nas
aplicações desta ferramenta. A base 10, como veremos mais à frente, está até tabelada.
Porém, há momentos em que necessitamos obter o logaritmo de um número em uma base
diferente destas duas, e, para isso, não é preciso que tenhamos a tabela desta outra base. Se
fosse assim, teríamos que possuir infinitas tabelas logarítmicas.
Para conseguirmos o logaritmo de um número em qualquer base, recorreremos à fórmula
de mudança de base logarítmica, que é :
log (^) cb = log c
log b
a
a
Demonstração :
Suponhamos conhecidos os logaritmos na base “a” e desejamos calcular logaritmos na
base “b”. Então, temos log (^) a b e desejamos conhecer log (^) c b.
Então escrevemos : log (^) a b = x a
x = b
a
x y c
log (^) c b = y c
y = b
log (^) a a x = log (^) a c y x. log (^) a a = y log (^) a c x = y. log (^) a c
Se substituirmos x e y pelos seus valores na última igualdade, teremos :
log (^) a b = log (^) c b. log (^) a c log (^) c b = log c
log b
a
a ,como queríamos demonstrar.
EXEMPLO :
Conhecidos log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcular :
log 15
5 144
Esta questão pede o logaritmo de um número na base 15, e é dada a base 10. Para
isso, devemos utilizar a fórmula de mudança de base :
log 15 5144 = 15
144
5
log
log
35
2 3
5 4 2
log.
log.
3 5
2 35
2 5
4
log log
log log
2
10 0477
3 5
2 2 5
4
, log
log log
1176
0442
0477 1 0301
0442
0477 10 2
0477 5
2 0301 5
4
, ,
,
, ,
,
, log log
. ,. ,
EXERCÍCIOS :
- Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcular :
a) log 23 ; b) log 38 ; c) log 536 ; d) log 16 128 ;
e) log 81
3
Resp.:
a) 1,585 ;
b) 1,893 ;
c) 1,449 ;
d) 0,875 ;
e) -2,
- Sabendo que log (^) ab = m , calcule log (^) ba , com a e b positivos e diferentes de 1.
Resp.: log ba b m
a
a
a^1
log
log
- (log x)
2
Se fizermos a mudança de variável log x = y, teremos a seguinte equação de 2º grau
nesta variável y
2
- y – 2 = 0 , cujas raízes são assim obtidas :
y=
Como os dois valores de x satisfazem a definição, temos : V = { , 10 } 10
- log 5 ( x 3 ) + log 5 ( x 2 )= 1
Se aplicarmos a propriedade que diz que a soma de logaritmos de mesma base é
igual ao logaritmo do produto dos anti-logaritmos, teremos :
log 5 ( x 3 )(x+2) = 1 , e se aplicarmos a definição, obteremos a equação de 2º grau
: (x-3).(x +2) = 5
1 x 6
2 x = 5 x
2
- x – 11 = 0, cuja solução é :
x=
Portanto, V = { } 2
x 2 = 16 , sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,
Se duas expressões são iguais, seus logaritmos numa mesma base também serão.
Então, temos : log 3
x 2 log 2
4 (x-2). log 3 = 4. log 2
(x-2). 0,477 = 4. 0,301 x – 2 = 0 , 477
x – 2 = 2, 524
x = 4,524 V = { 4,524 }
y’ = 2 log x = 2 x = 10
2
y’’= -1 logx = -1 x = 10
1
10
x’ = 2
que não satisfaz x > 3.
x’’= 2
que satisfaz x > 3.
EXERCÍCIOS :
- Resolva em R as seguintes equações :
a) log( x - 2 10 ) = 2
; b) ln(x-e) = 1 ; c) log 3
1 (x+2) = -1;
d) log 2
1 (x 4 5 ) 4
2 x ; e) 4
3 log
2 log
x
x ; f) 8 1 ;
log
x
g) (log ) 6 log 3 9 0
2 3 x x ; h) log (^0) , 5 (log 92 x ) 1 ; i) log(log(logx)))=
Resp.:
a) 3 10 ;
b) 2e ;
c) 1;
d) -7.3 ;
e) 10 ;
f) 1 ;
g) 27 ;
h) 2
i) 10000000000.
- Obtenha o Conjunto Solução das equações a seguir :
a) 1 + log ( x + 1 ) = log (35 + x )
2 ; b) log 2 ( 7 x 4 ) 3 log 2 ( x 1 );
c) log 2 ( x 2 ) 5 log 2 ( x 2 ); d) log 4 ( 3 1 )log 43 log 46
x x
e) log(x 1 ) log( 1 ) log 101
2 2 2 x ; f) log(x-4) + log(x+4) = 2.log3 ;
g) 4. 5
2 x 3 = 72 , sabendo que log 2 = 0,3010 e que log 3 = 0, 4771.
Resp.
a) S={ 5 };
b) S={ 12} ;
c) S={ 6} ;
d) S={ 1 };
e) S={ -10, 10};
f) S={ 5} ;
g) S={ 2,3967}.
Se aplicarmos a definição de logaritmo de um número à função logarítmica, poderemos
escrever : a x
y y = log (^) ax, e, como a função exponencial y = a x é bijetora, ela
possui função inversa, e essa inversa é a função logarítmica y = logax.
Já sabemos que as representações gráficas de duas funções inversas são curvas simétricas
em relação ao gráfico da função identidade f(x) = x, pois ela é igual à sua inversa. Vejamos os
seguintes exemplos :
y = log 2 x (simétrica da função y = 2 x em relação à Identidade)
y = log x 2
1 (simétrica da função y = ( )x 2
1 em relação à Identidade )
Podemos perceber que quando a base é maior que 1, a função logarítmica é crescente, a
curva se aproxima cada vez mais do eixo-y, para valores cada vez menores de y, conforme x
se aproxima do zero à sua direita, o Domínio da função é R
(^) , e sua Imagem é R. Se a base
estiver entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente, a curva se aproxima cada vez mais do
eixo-y,para valores cada vez maiores de y, conforme x se aproxima do zero pela direita, o seu
Domínio é R * e sua Imagem é R.
Por outro lado, para que o gráfico seja obtido com maior precisão, é aconselhável que seja
montada uma tabela com valores dados convenientemente à variável independente, e os
correspondentes valores da função. Veja os exemplos a seguir :
EXEMPLOS :
Representar graficamente as seguintes funções e dê seu Domínio :
a) f (x) = log 2 (x 1 )
b) y = 1 + log (x 3 ) 2
1
Resp.: c)
Resp.: d)
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS :
Toda inequação cuja variável pertença a algum logaritmando ou a alguma base é
chamada de equação logarítmica.
Para resolver uma destas inequações, além da condição de existência, devemos
atentar para a base de logaritmos a que a inequação se refere, e lembrar que se a base é maior
que 1 a inequação se mantém para os antilogaritmos, porém, se ela estiver entre 0 e 1, o
sentido da inequação se inverte ao compararmos os antilogaritmos.
100
EXEMPLOS :
Resolva as inequações em R :
a) log 4 ( 3 x 6 ) 2
A condição de existência nos diz que 3x + 6 > 0 3x > -6 x > -
Além disso, a inequação pode ser escrita : log (^4) ( 3 x 6 )log 416
Como a base 4 é maior que 1, o sentido da inequação se mantém para
os antilogaritmos, e escrevemos : 3x + 6 < 16 x + 6 < 16 x < 10 , e
assim teremos uma interseção de intervalos para Conjunto Verdade, e então :
V = { x R |-2 < x < 10 }.
b) log ( 4 10 ) 3
1 x -2 Condição de existência : 4x – 10 > 0 x > 2
, e a
inequação pode ser escrita : log ( 4 10 ) log 9 3
1 3
1 x . Como a base 3
se encontra entre 0
e 1, e o sentido da inequação se inverte para os antilogaritmos , escrevemos : 4 x
2 ) 3
4x – 10 3
2 4x – 10 9 4x 19 x 4
Logo a interseção entre os dois intervalos será o Conjunto Verdade procurado :
V = {x } 4
R | x .
EXERCÍCIOS :
Resolva as seguintes inequações em R :
a) ln (2x- 3e) > 1 ; b) 1 – log(x-1) 0 ;
c) log 12 (x – 1 ) + log 12 (x- 2) < 1 ; d) log (^0) , 5 x - log (^0) , 5 ( 4 x 1 ) 0 ;
e) log 2 2
6x < 1 ; f) log 4 (x – 3) - log 2 x -.
Resp.:
a) x > 2e ;
b) x 11 ;
c) 2
