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EDO: Cap´ıtulo 2 - Teoria Local
Prof. Alexander Arbieto
10 de setembro de 2008
1 Introdu¸c˜ao
Antes de passar para o come¸co da teoria, iremos definir certos espa¸cos de fun¸c˜oes, com suas respectivas normas, que ser˜ao ´uteis mais tarde.
Defini¸c˜ao 1.1. Seja I ⊂ R um intervalo, k ≥ 0 e E um espa¸co vetorial normado, com norma ‖.‖E e de dimens˜ao finita. O espa¸co de fun¸c˜oes Ck^ ´e o espa¸co vetorial Ctk (I → E) = {u : I → E; u ∈ Ck} com norma
‖u‖Ckt =
∑^ k
j=
‖∂jt u‖L∞ t (I→E).
Onde:
‖f ‖L∞(I→E) = sup x∈E
ess ‖f (x)‖E
= min{M ; Leb({x ∈ E; ‖f (x)‖E > M } = 0}.
Onde Leb ´e a medida de Lebesgue na reta.^1
Analogamente definimos os espa¸cos Cxk (Rn^ → E) e Ct,xk(I × Rn^ → E). Note que se I n˜ao ´e compacto, u pode pertencer a Ct,xk mas ter norma infinita. Nesse caso diremos que u ∈ Ckt,loc(I → X), ou seja, que u ´e tem norma
Ck^ finita em compactos de I. Conceitos an´alogos valem para os outros espa¸cos.
Defini¸c˜ao 1.2. Seja (X, dX ) um espa¸co m´etrico, Y um espa¸co de Banach com norma ‖.‖Y. O espa¸co de fun¸c˜oes Lipschitz ´e C^0 ,^1 (X → Y ) = {f : X → Y ; f Lipschitz} munido com a norma:
‖f ‖Lip 0 , 1 = sup x 6 =x′∈X
‖f (x) − f (x′)‖Y dX (x, x′)
E ‖f ‖C 0 , 1 := ‖f ‖Lip 0 , 1 + ‖f ‖C 0.
(^1) No caso em que f ´e cont´ınua e limitada ent˜ao ‖f ‖L∞ = sup x∈E
‖f (x)‖E.
Note que temos as inclus˜oes:
C x^1 (Rd^ → Rm) ⊂ Lip^0 ,^1 (Rd^ → Rm) ⊂ C loc^0 (Rd^ → Rm).
Finalmente definimos de maneira an´aloga o espa¸co Lip^0 loc,^1 (X → Y ) como o espa¸co de fun¸c˜oes localmente Lipschitz.
2 Existˆencia Local
A primeira vista, se temos uma equa¸c˜ao definida em todo o dom´ınio, inclusive definida para todo t real, o mais natural seria esperar que as solu¸c˜oes existissem para todo t ∈ R. Por´em o seguinte exemplo mostra que isto ´e otimista demais:
Exemplo 2.1. Considere a equa¸c˜ao:
{ ∂tu(t) = u(t)^2 u(t 0 ) = u 0
Mostra-se que se existir solu¸c˜ao ela ser´a ´unica. Por´em, no chute, descobrimos que u(t) = (^1) −^1 t resolve a equa¸c˜ao no intervalo t < 1. Mas esta solu¸c˜ao explode (blow-up) em t = 1, e n˜ao tem continua¸c˜ao al´em de t = 1. Da´ı, pode ser que o intervalo de existˆencia de solu¸c˜oes seja muito menor que o intervalo de defini¸c˜ao da equa¸c˜ao em si.^2
Outro ponto, ´e que nossa no¸c˜ao de solu¸c˜oes de certa maneira ´e meio vaga ainda, vamos estabelecer no¸c˜oes precisas no caso autˆonomo pelo menos, e depois veremos as defini¸c˜oes cl´assicas no caso n˜ao-autˆonomo.
2.1 O Caso Autˆonomo
Seja o problema: (^) { ∂tu(t) = F (u(t)) u(t 0 ) = u 0
Onde F : E → E cont´ınua, definida num espa¸co vetorial finito dimensional.
Defini¸c˜ao 2.2. Dizemos que u : I → E definida em algum intervalo I contendo t 0 ´e uma solu¸c˜ao:
- Cl´assica: Se u ∈ C loc^1 (I → E) resolve (1) como visto anteriormente.
- Forte: Se u ∈ C loc^0 (I → E) resolve (1) no sentido integral:
u(t) = u 0 +
∫ (^) t
t 0
F (u(s))ds.
(^2) Como o exemplo ´e real anal´ıtico, poder´ıa-se tentar estender meromorficamente a equa¸c˜ao, mas para isso teria que complexificar o tempo e... bem deixa pra l´a.
Demonstra¸c˜ao. Seja Φ(u)(t) := u 0 +
∫ (^) t t 0 F^ (u(s))ds.^ O primeiro passo ´e notar que Φ leva o espa¸co de Banach C^0 (I → E), munido com a norma C^0 , nele mesmo. O segundo passo ´e notar que u ´e solu¸c˜ao forte se, e s´o se, u for ponto fixo de Φ. O terceiro passo ´e obter uma certa contra¸c˜ao de Φ, aqui entra em cena alguma limita¸c˜ao do campo F , no caso sua norma Lipschitz:
‖Φ(u)(t) − Φ(v)(t)‖E = ‖
∫ (^) t
t 0
F (u(s)) − F (v(s))ds‖
≤ M ‖u − v‖C (^0) (I→E)T.
Como T M < 1 ent˜ao Φ ´e uma contra¸c˜ao e podemos usar o lema das con- tra¸c˜oes(ver apˆendice) e obter um ponto fixo para Φ.
De fato a prova do lema das contra¸c˜oes d´a um algoritmo para construir solu¸c˜oes. Tome u 0 (t) ≡ u 0 , e em seguida defina solu¸c˜oes aproximadas:
un(t) = Φ(un− 1 (t)) = u 0 +
∫ (^) t
t 0
F (un− 1 (s))ds.
O Lema das contra¸c˜oes e a prova do teorema anterior dizem que un → u uni- formemente e u ´e solu¸c˜ao. Tal m´etodo ´e conhecido como m´etodo de itera¸c˜ao de Picard e ´e um dos mais ´uteis em EDPs. Outra observa¸c˜ao ´e que a norma do espa¸co n˜ao foi mencionada, isto vem do fato que em dimens˜ao finita todas as normas s˜ao equivalentes. Mas para EDPs a escolha da norma pode ser um problema fundamental. Note que usamos que o campo era globalmente Lipschitz, isso parece ser um pouco demais, e de fato o ´e:
Teorema 2.5 (M´edio-Picard: Exsitˆencia). Dado t 0 ∈ R, Ω ⊂ E n˜ao vazio, Nε(Ω) = {u ∈ E; ∃v ∈ E tal que ‖u − v‖E < ε} e Ωε = Nε(Ω). Seja F : E → E tal que ‖F ‖Lip 0 , (^1) (Ωε) = M < ∞ e F ´e limitada por A > 0 em Ωε. Tome 0 < T < min( (^) Aε , (^) M^1 ) e I = [t 0 − T, t 0 + T ], ent˜ao para todo u 0 ∈ Ω existe u : I → Ωε solu¸c˜ao forte de 1. Al´em disso os mapas de solu¸c˜ao: St 0 (t) : Ω → E e St 0 : Ω → C^0 (I → E) dados por St 0 (t)(u 0 ) = u(t) e St 0 (u 0 ) = u s˜ao Lipschitz com norma Lipschitz menor que (^1) −^1 T M.
Demonstra¸c˜ao. Vamos tentar imitar os passos anteriores. Novamente tomamos um u 0 ∈ Ω e definimos Φu 0 (u)(t) := u 0 +
∫ (^) t t 0 F^ (u(s))ds. Mas agora note que o espa¸co de Banach ´e C^0 (I → Ωε), logo para obter o passo 1 precisamos mostrar que este espa¸co ´e preservado. Isto ´e obtido usando a limita¸c˜ao de F :
‖Φu 0 (u)(t) − u 0 ‖ ≤ A.T < ε.
O primeiro passo est´a completo.
Os mesmos c´alculos feitos no mini-Picard mostram que Φu 0 ´e uma contra¸c˜ao com taxa C = T M < 1. Logo temos a existˆencia do ponto fixo u que ´e uma solu¸c˜ao forte. Finalmente se u 0 , v 0 ∈ Ω e as solu¸c˜oes encontradas s˜ao u e v, temos que Φu 0 (u) = u e: Φu 0 (v) = Φv 0 (v) + u 0 − v 0 = v + u 0 − v 0.
Logo u − v = Φu 0 (u) − Φu 0 (v) + u 0 − v 0. Da´ı temos que:
‖u − v‖C^0 ≤ C‖u − v‖C^0 + ‖u 0 − v 0 ‖E.
E portanto ‖u − v‖C 0 ≤ (^1) −^1 C ‖u 0 − v 0 ‖E. Da´ı os mapas de solu¸c˜ao s˜ao Lipschitz.
A equa¸c˜ao integral da EDO diz que a solu¸c˜ao no tempo t sofre a a¸c˜ao do campo F somente por onde ela passou no tempo t 0 < s < t, portanto a prova do teorema ensina que para resolver a equa¸c˜ao, n˜ao ´e preciso ter um controle global sobre o campo F e sim apenas por onde a solu¸c˜ao ir´a passar caso ela exista. Este tipo de pensamento ´e muito ´util ao tentar construir solu¸c˜oes de EDPs. Estamos quase felizes com a teoria de existˆencia local, exceto por duas coisas, primeiro n˜ao falamos nada do caso n˜ao-autˆonomo, mas poderiamos reduzi-lo ao caso autˆonomo como vimos antes. Outra coisa que incomoda ´e que o intervalo de existˆencia depende de sabermos a norma Lipschitz do campo, isso pode ser dif´ıcil, mais simples seria apenas achar uma limita¸c˜ao pro campo. E ´e isso que faremos agora, de fato, o intervalo ficou pequeno, porque para apresentarmos melhor as id´eias pedimos que o mapa Φ fosse uma contra¸c˜ao, mas o lema das contra¸c˜oes diz que basta que um iterado Φn^ seja uma contra¸c˜ao, isso permitir´a aumentarmos um pouco mais o intervalo de existˆencia local. Isto ser´a feito na pr´oxima se¸c˜ao.
2.2 Existˆencia local: O caso n˜ao-autˆonomo e o caso n˜ao
Lipschitz
Nesta se¸c˜ao prcuramos solu¸c˜oes de uma equa¸c˜ao definida em Ω = Ia × Bb = [t 0 − a, t 0 + a] × B[x 0 , b], onde B[x 0 , b] ´e a bola fechada em E com centro x 0 e raio b > 0. Diremos que F ´e Lipschitz na segunda vari´avel se existir K tal que ‖F (t, x) − F (t, y)‖ ≤ K‖x − y‖.
Teorema 2.6 (Picard: Existˆencia). Se F : Ω → E ´e cont´ınua e Lipschitz na segunda vari´avel tal que ‖F ‖C^0 ≤ M em Ω ent˜ao existe um solu¸c˜ao cl´assica de:
{ ∂tu(t) = F (t, u(t)) u(t 0 ) = u 0 (2)
definida em I = [t 0 − T, t 0 + T ] para todo T < min{a, (^) Mb }.
note que isto define uma fun¸c˜ao anal´ıtica em algum intervalo aberto contendo t 0 , u : I → E. Mostre tamb´em que ∂tu(t) − F (u(t) ´e anal´ıtica em I e que se anula em t 0 assim como todas suas derivadas. Logo, por analiticidade u ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
Uma pergunta natural ´e se a hip´otese Lipschitz ´e realmente necess´aria. Vi- mos que ela implica que o operador integral se torna uma contra¸c˜ao. Por´em, campos cont´ınuos podem ser aproximados por campos suaves, e portanto ´e nat- ural se perguntar se as solu¸c˜oes desses campos suaves (que existem por Picard) se aproximam de uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao original. Isto ´e o:
Teorema 2.7 (Peano). Se F ´e um campo cont´ınuo e ‖F ‖C 0 < M em Ω = Ia × Bb ent˜ao existe uma solu¸c˜ao no intervalo I = [t 0 − T, t 0 + T ] onde 0 < T < min{a, (^) Mb }.
Demonstra¸c˜ao. Lembre que existe uma sequˆencia Fn de mapas C∞^ convergindo uniformemente em Ω para F.^6 Por convergˆencia uniforme podemos supor que ‖Fn‖C 0 < M para todo n. Sejam un solu¸c˜ao definidas em I^7 do problema: { ∂tu(t) = Fn(t, u(t)) u(t 0 ) = u 0
Mas ent˜ao novamente usando a equa¸c˜ao integral temos que:
‖un(t) − un(t′)‖ ≤ M |t − t′|
e que ‖un(t) − u 0 ‖ ≤ b. Logo un ´e uma sequˆencia uniformemente equicont´ınua e limitada. Por Arzel´a-Ascoli, existe uma subsequˆencia, que continuaremos chamando de un, e uma fun¸c˜ao u : I → Bb tal que un → u uniformemente. Por continuidade, Fn(s, un(s)) → F (s, u(s)) uniformemente, em particular as integrais convergem. Tomando limite nas equa¸c˜oes integrais:
un(t) = u 0 +
∫ (^) t
t 0
Fn(s, un(s))ds.
Mostramos que u ´e solu¸c˜ao.
O seguinte corol´ario ´e imediato do teorema de Peano:
Coroll´ario 2.8. Se Ω ´e aberto de R × E e F : Ω → E um campo C^0 , seja C ⊂ Ω tal que ‖f ‖ < M em Ω 0 onde C ⊂ Ω 0 ⊂ Ω e d(C, Ω − Ω 0 ) > 0 ent˜ao existe T tal que para todo (t 0 , u 0 ) ∈ C existe solu¸c˜ao em I = [t 0 − T, t 0 + T ] do problema: (^) { ∂tu(t) = F (t, u(t)) u(t 0 ) = u 0
(^6) Note que Ω ´e compacto, a prova disto ´e feita usando convolu¸c˜ao com aproxima¸c˜oes da identidade, por´em podemos tomar fn’s como polinˆomios pelo teorema de Weierstrass (^7) Aqui vem a for¸ca do teorema de Picard, o intervalo de solu¸c˜ao n˜ao depende mais da norma Lipschitz do campo, somente da norma C^0 , de fato, a norma Lipschitz pode explodir ao tomarmos n → ∞ fazendo os intervalos de defini¸c˜ao do mini-picard degenerarem.
2.3 Existˆencia local: O caso mensur´avel
Veremos nesta se¸c˜ao que a continuidade total do campo n˜ao ´e realmente necess´aria para existˆencia de solu¸c˜oes. Para isto, temos que estender o conceito de solu¸c˜ao neste caso. As fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas desempenhar˜ao um papel fun- damental. Defini¸c˜ao 2.9. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Uma aplica¸c˜ao ϕ : I → (X, d) definida num intervalo I ´e absolutamente cont´ınua se para todo ε > 0 existe δ tal que: ∑n
k=
|yk − xk| < ε ⇒
∑^ n
k=
d(f (yk), f (xk)).
Exerc´ıcio 2. Sejam f, g : I → R fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas. Mostre que:
- f ±g e f g s˜ao absolutamente cont´ınuas, e se f 6 = 0 ent˜ao (^1) f ´e absolutamente cont´ınua.
- f ´e uniformemente cont´ınua.
- Toda fun¸c˜ao Lipschitz ´e absolutamente cont´ınua
- f ′(t) existe para quase todo ponto t ∈ I^8
- Se X tem medida nula em R ent˜ao f (X) tem medida nula.
Como podemos derivar em quase todo ponto, faz sentido se perguntar se a equa¸c˜ao ´e satisfeita em quase todo ponto: Defini¸c˜ao 2.10. Seja Ω aberto de R × E e F : S → E uma fun¸c˜ao qualquer. Dizemos que u : I → E, definida em algum intervalo I, e solu¸c˜ao extendida da EDO gerada por F se u ´e absolutamente cont´ınua, para todo t temos (t, u(t)) ∈ Ω e para quase todo t ∈ I temos:
∂tu(t) = F (t, u(t)).
Teorema 2.11 (Carath´eodory). Seja F definida em Ω = Ia × Bb = [t 0 − a, t 0 + a] × B[u 0 , b], mensur´avel em t. cont´ınua em x e tal que existe uma fun¸c˜ao m ∈ L^1 em Ia tal que |f (t, x)| ≤ m(t) para todo (t, x) ∈ Ω. Ent˜ao existe ϕ e β > 0 uma solu¸c˜ao estendida em |t − t 0 | ≤ β com u(t 0 ) = u 0
A prova do teorema segue um argumento interessante, novamente a solu¸c˜ao ser´a obtida por limite de solu¸c˜oes aproximadas, por´em ao contr´ario do m´etodo de Picard que fabrica a pr´oxima solu¸c˜ao aproximada uma vez que tem conheci- mento da anterior, neste m´etodo a solu¸c˜ao aproximada se ”constr´oi´´ conforme se sabe a constru¸c˜ao dela em peda¸cos previamente constru´ıdos. De certa forma ´e uma constru¸c˜ao ”online´´.
(^8) Isto ´e o complementar deste conjunto tem medda de Lebesgue nula.
Passando o limite quando k → ∞ temos, a ultima integral se anula e temos:
u(t) = u 0 +
∫ (^) t
t 0
f (s, u(s))ds.
E o teorema est´a provado, pelo teorema fundamental do c´alculo para fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas.
