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LIC¸ ˜AO 2
CONDICIONAL
2.1 Implica¸c˜ao
E comum formarmos proposic^ ´ ¸ ˜oes da forma “se p ent˜ao q”, por exemplo:
(a) Se o meu sal´ario for pago hoje, ent˜ao eu irei ao cinema.
(b) Se o desconto for de dez porcento, ent˜ao eu comprarei este tˆenis.
(c) Se o pagamento for `a vista, ent˜ao vocˆe ter´a dez porcento de desconto.
(d) Se vocˆe decidir sair hoje, ent˜ao ligue para mim.
Seguindo o nosso senso comum, podemos fazer as seguintes an´alises:
(a) Se o meu sal´ario for pago hoje, ent˜ao eu irei ao cinema. An´alise: Se o sal´ario foi pago, ent˜ao todos n ´os esperamos que a pes- soa cumpra o que prometeu, ou seja, de ir ao cinema. Caso contr´ario, diremos que a pessoa n˜ao disse a verdade e, neste caso, a condicional e dita ser falsa. Por outro lado, se o pagamento n˜´ ao foi feito, ningu´em espera que a pessoa v´a ao cinema, isto ´e, ela n˜ao tem a obrigac¸ ˜ao de ir ao cinema. Neste caso, ela pode ir ou n˜ao. Note que, em ambos os casos n˜ao mais diremos que a pessoa n˜ao disse a verdade, j´a que o pagamento n˜ao foi feito e, consequentemente, a condicional ´e consi- derada verdadeira.
(b) Se o desconto for de dez porcento, ent˜ao eu comprarei este tˆenis. An´alise: Se o vendedor faz o desconto de 10%, todos n ´os esperamos que o cliente realmente cumpra o que prometeu, ou seja, de comprar o tˆenis. Caso contr´ario, afirmaremos com toda certeza que o cliente n˜ao disse a verdade e, neste caso, a condicional ´e considerada falsa. Por outro lado, se o vendedor n˜ao faz o desconto de 10%, ningu´em espera que o cliente compre o tˆenis, ou seja, ele n˜ao tem a obrigac¸ ˜ao de comprar. Por´em, o cliente pode comprar ou n˜ao. Note que em ambos os casos, a condicional n˜ao ser´a considerada falsa, uma vez que, o desconto pedido pelo cliente n˜ao foi concedido pelo vendedor.
(c) Se o pagamento for a vista, ent˜ao vocˆe ter´a dez porcento de desconto. An´alise: Se o cliente decide comprara vista, com certeza ele vai exigir o desconto de 10% prometido pelo vendedor. E evidente que se o´ cliente paga a vista e o vendedor n˜ao concede o desconto de 10%, o cliente dir´a que ele foi enganado, ou seja, a condicional dita pelo vendedor ser´a considerada falsa. Se o cliente n˜ao tem dinheiro para comprar `a vista, ent˜ao ningu´em espera que o cliente obtenha 10% de desconto. Neste caso, o vendedor pode ou n˜ao conseguir com o gerente algum desconto. E muito importante observar que no caso´ do pagamento n˜ao ser a vista, ningu´em dir´a que a condicional dita pelo vendedor foi enganosa, deste modo, a condicional ´e dita ser verdadeira.
(d) Se vocˆe for sair hoje, ent˜ao ligue para mim. An´alise: Se a pessoa decide ficar em casa, ela n˜ao precisa ligar avi- sando. Por´em ela pode ligar para o amigo dizendo que realmente n˜ao vai sair. Por outro lado, se a pessoa resolve sair, ela tem a obrigac¸ ˜ao de ligar para o amigo avisando. Caso contr´ario, a amizade pode n˜ao ser mais a mesma!
Em resumo, na condicional, “se p ent˜ao q”, sempre que ocorre a vera- cidade de p, ´e obrigat ´orio a ocorrˆencia da veracidade de q. E, sempre que n˜ao ocorre a veracidade de p, aceitamos a ocorrˆencia ou n˜ao da veracidade de q. Diz ent˜ao o senso comum que a condicional, “se p ent˜ao q”, somente ser´a falsa se p for verdadeira e q falsa. Com estes fatos em mente, vamos apresentar a definic¸ ˜ao de uma condicional.
Defini¸c˜ao 2.1 (Condicional). Sejam p e q proposi¸c˜oes, a condicional das pro- posi¸c˜oes p e q ´e a proposi¸c˜ao composta dada por: “se p ent˜ao q”, denotada por:
E importante observar que numa condicional verdadeira, o consequente´ pode ser tanto falso como verdadeiro (Exemplo 2.1, itens a), c) ou d)). Con- tudo, se uma implicac¸ ˜ao ´e verdadeira e o antecedente ´e verdadeiro, ent˜ao o consequente necessariamente deve ser verdadeiro. Esse ´e o princ´ıpio b´asico por tr´as de um teorema matem´atico: Se sabemos que um teorema (uma condicional) ´e correto (verdadeiro) e as hip ´oteses do teorema foram satisfeitas (o antecedente ´e verdadeiro), ent˜ao podemos aceitar a conclus˜ao do teorema como verdadeira.
Observa¸c˜ao 2.1. Existem muitas formas de expressar a condicional p → q em portuguˆes. Abaixo s˜ao apresentados alguns exemplos, todos equiva- lentes:
(a) Se p, ent˜ao q.
(b) p implica q.
(c) q se p.
(d) p e suficiente para´ q.
De fato, se a condicional p → q e verdadeira, ent˜´ ao a veracidade de p e suficiente para garantir a veracidade de ´ q.
(e) q e necess´´ ario para p. Com efeito, se p → q e verdadeira e a proposic´ ¸ ˜ao q tamb´em ´e verda- deira, ent˜ao a proposic¸ ˜ao p necessariamente deve ser verdadeira.
(f) Uma condic¸ ˜ao necess´aria para p e´ q.
(g) Uma condic¸ ˜ao suficiente para q e´ p.
2.2 Rec´ıproca, Contrapositiva e Inversa de uma
Condicional
Dada uma condicional p → q, podemos formar as seguintes condicionais:
(i) q → p, chamada rec´ıproca.
(ii) ¬q → ¬p, chamada contrapositiva.
(iii) ¬p → ¬q, chamada inversa.
p q q → p V V V V F V F V F F F V
p q ¬q → ¬p V V V V F F F V V F F V
p q ¬q → ¬p V V V V F V F V F F F V
Tabela 2.2: Tabela-verdade da rec´ıproca q → p, contrapositiva ¬q → ¬p e da inversa ¬p → ¬q.
A tabela-verdade da rec´ıproca, contrapositiva e inversa da condicional p → q s˜ao apresentadas na Tabela 2.2.
Exemplo 2.2. Considere a condicional “Se chover, ent˜ao o quintal fica mo- lhado”. A rec´ıproca, contrapositiva e inversa dessa proposic¸ ˜ao s˜ao:
Rec´ıproca: Se o quintal est´a molhado, ent˜ao choveu. Nesse exemplo, a rec´ıproca tem uma interpretac¸ ˜ao l ´ogica muito di- ferente da condicional original. De fato, ela ´e falsa se algu´em lavar o quintal num dia de sol!
Contrapositiva: Se no quintal n˜ao est´a molhado, ent˜ao n˜ao choveu. A contrapositiva apresenta uma conclus˜ao verdadeira e, do ponto de vista l ´ogico, ´e equivalente a proposic¸ ˜ao original. Retornaremos a esse assunto nas pr ´oximas lic¸ ˜oes.
Inversa: Se n˜ao choveu, o quintal n˜ao fica molhado. Assim com a rec´ıproca, a inversa tamb´em tem uma interpretac¸ ˜ao l ´ogica muito diferente da condicional original. Com efeito, a inversa tamb´em ´e falsa se um cano estourar e molhar o quintal num dia de sol!
Um erro muito comum em l ´ogica ´e confundir a condicional com sua rec´ıproca ou inversa.
Exemplo 2.3. Em seu livro sobre os fundamentos da matem´atica abstrata, David Kurtz descreve a seguinte conversa [13]:
Um amigo meu lembrou-se que sentia sono sempre que estu- dava l ´ogica. Respondi que ele parecia com sono no momento
Contrapositiva: Se eu n˜ao for ao cinema, ent˜ao meu sal´ario n˜ao foi pago hoje.
Inversa: Se meu sal´ario n˜ao for pago hoje, ent˜ao eu n˜ao irei ao cinema.
(b) Condicional: Se o desconto for de 10%, ent˜ao comprarei o tˆenis.
Rec´ıproca: Se eu comprar o tˆenis, ent˜ao o desconto ser´a de 10%.
Contrapositiva: Se eu n˜ao comprar o tˆenis, ent˜ao o desconto n˜ao foi de 10%.
Inversa: Se o desconto n˜ao for de 10%, ent˜ao n˜ao comprarei o tˆenis.
(c) Condicional: Se o pagamento for `a vista, ent˜ao vocˆe ter´a 10% de des- conto.
Rec´ıproca: Se o desconto for de 10%, ent˜ao o pagamento dever´a ser `a vista.
Contrapositiva: Se o desconto n˜ao for de 10%, ent˜ao o pagamento n˜ao foi `a vista.
Inversa: Se o pagamento n˜ao for `a vista, ent˜ao vocˆe n˜ao ter´a 10% de desconto.
(d) Condicional: Se vocˆe for sair hoje, ligue para mim.
Rec´ıproca: Se vocˆe ligar para mim, ent˜ao vocˆe decidiu sair hoje.
Contrapositiva: Se vocˆe n˜ao ligar para mim, ent˜ao vocˆe decidiu n˜ao sair hoje.
Inversa: Se vocˆe decidiu n˜ao sair hoje, ent˜ao n˜ao ligue para mim.
2.3 Bicondicional
Na Matem´atica, formarmos proposic¸ ˜oes da forma “p se, e somente se, q”. Este fato ocorre quando a condicional p → q e sua rec´ıproca q → p s˜ao simultaneamente verdadeiras. Neste caso, devemos ter ambas p e q ver- dadeiras, ou ambas p e q falsas. Formalmente, temos a definic¸ ˜ao:
p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V
Tabela 2.3: Valores l ´ogicos da bicondicional p ↔ q.
Defini¸c˜ao 2.2 (Bicondicional). Sejam p e q proposi¸c˜oes, a bicondicional das pro- posi¸c˜oes p e q ´e a proposi¸c˜ao composta dada por, “p se, e somente se, q”, denotada por: p ↔ q, que se lˆe: “p bicondiciona q”, assume o valor l´ogico verdadeiro so- mente quando p e q forem verdadeiras ou p e q forem falsas, e ser´a falsa nos demais casos.
A Tabela 2.3 apresenta todos os valores l ´ogicos da bicondicional.
Exemplo 2.6. Para ser aprovado diretamente (sem a necessidade de fa- zer exame) no curso de elementos, um aluno de nossa universidade deve concluir a disciplina com nota final maior ou igual a 6,0. Em termos ma- tem´aticos, aplicamos a condicional “Se a nota final for maior ou igual a 6,0, ent˜ao o aluno ´e aprovado diretamente”. Todavia, se o aluno n˜ao tirar nota maior ou igual 6,0, ele n˜ao ´e aprovado diretamente. Portanto, a rec´ıproca da condicional tamb´em ´e empregada. Em outras palavras, podemos dizer que “O aluno ´e aprovado diretamente se, e somente se, sua nota final ´e maior ou igual a 6,0.”
Observa¸c˜ao 2.2. Em portuguˆes, podemos expressar a bicondicional p ↔ q como segue:
(a) p se, e somente se, q.
Essa express˜ao pode ser abreviada da seguinte forma: p sse q.
(b) p e necess´´ ario e suficiente para q.
(c) p e q s˜ao equivalentes.
2.4 Exerc´ıcios Propostos
Exerc´ıcio 2.1. Determine o valor l ´ogico das seguintes condicionais:
Exerc´ıcio 2.4. Escreva em s´ımbolos: “p sempre que q”.
Exerc´ıcio 2.5. Suponha que p, ¬q e r s˜ao proposic¸ ˜oes verdadeiras. Deter- mine o valor l ´ogico das seguintes proposic¸ ˜oes compostas:
(a) p → q.
(b) q → p.
(c) p → (q ∨ r).
(d) p ↔ q.
(e) p ↔ r.
(f) (p ∨ q) → p.
(g) (p ∧ q) → q.
(h) (p → q) → r.
(i) (p ∨ q) → (p ∧ q).
(j) (p ∧ r) ↔ ¬q.
