Estatística: Inferência Estatística e Teorema de Cramér-Rao, Notas de aula de Estatística

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Inferência Estatística

Professor: Pedro M. Almeida-Junior

14 de dezembro de 2021

Departamento de Estatística (UEPB)

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Eciência

ˆ Seja Ωθ o conjunto dos estimadores não viesados para o parâmetro θ. Se quisermos escolher dentre os estimadores em Ωθ o que seja mais preciso, nós podemos decidir pelo que apresentar a menor variância.

ˆ Um conceito relacionado com isto é chamado de eciência do esti- mador.

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Função Escore

A quantidade, ∂ ∂θ log^ f^ (x, θ) =^ S(θ) é chamada de função escore.

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Condições de regularidade

(i) O suporte A(x) = {x, f (x, θ) > 0 } não depende de θ;

(ii) É possível a troca da ordem das operações de integração e derivação com relação a θ, duas vezes. Estas condições de regularidade implicam que

E [S(θ)] = 0

e I(θ) = −E

∂^2

∂θ^2 log^ f^ (x, θ)

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E

∂θ log f (x 1 ,... , xn; θ)

= −E

∂^2

∂θ^2 (log f (x 1 ,... , xn; θ))

= −E

∂^2

∂θ^2 log

Y^ n

i= 1

f (xi ; θ)

= −E

∂^2

∂θ^2

X^ n i= 1

log f (xi ; θ)

= −E

" (^) n X i= 1

∂^2

∂θ^2 log^ f^ (xi^ ;^ θ)

X^ n i= 1

−E

∂^2

∂θ^2 log f (xi ; θ)

X^ n i= 1

I(θ)

= n I(θ)

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Teorema de Cramér-Rao

O teorema de Cramér-Rao diz que sob certas condições de regularidade, se bθ é um estimador não viesado de θ, então

Var (bθ) ≥

n I(θ)

Prova: (FAZER)

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Caso Geral

ˆ Em muitas situações, o interesse é estimar uma função g (θ).

ˆ Suponha, por exemplo, que temos uma AAS da v.a. X ∼ N (μ, σ^2 ) e que desejamos estimar o desvio padrão populacional σ, neste caso, g (σ^2 ) =

σ^2 = σ.

ˆ Qualquer estatística que assuma valores somente no conjunto dos possíveis valores de g (θ) é um estimador para g (θ).

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Teorema (Cramér-Rao caso geral) : Seja θb um estimador, tal que E(θb) = g (θ). Então,

Var (bθ) ≥ [g ′(θ)]^2 n I(θ)

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Exercício 2: Sejam X 1 ,... , Xn uma amostra aleatória de tamanho n da variável aleatória X ∼ Poisson(θ), com função de probabili- dade dada por

f (x | θ) = e−θ^ θx x! , x = 0 , 1 ,... ,

verique se o estimador X¯ é eciente para θ.

Exercício 3: Sejam X 1 ,... , Xn uma amostra aleatória da variável aleatória X ∼ N

μ, σ^2

, em que σ^2 é conhecido, com função densidade dada por

f (x | μ) =

√^1

2 πσ

e−^

(x−μ)^2 2 σ^2 , −∞ < x < ∞,

verique se o estimador X¯ é eciente para μ.