Divisão Euclidiana e Máximo Divisor Comum em Anéis e Polinômios, Manuais, Projetos, Pesquisas de Álgebra

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TÓPICOS

DE

ÁLGEBRA

1 a^ Edição - 2008

Sumário

• Bloco 1: Teoria de Números e Polinômios
• Tema 1: Números Inteiros e Congruências
• Números Inteiros
  • 1.1 Sistemas de Numeração
    • 1.1.1 O Processo de Contagem.
    • 1.1.2 A Representação de um Número em uma Base
  • 1.2 Princípios da Indução e Boa Ordenação
    • 1.2.1 Primeira Forma do Princípio da Indução
    • 1.2.2 Segunda Forma do Princípio da Indução
    • 1.2.3 O Princípio da Boa Ordenação
    • 1.2.4 Exercícios Propostos
  • 1.3 Divisão Euclidiana e Critérios de Divisibilidade
    • 1.3.1 O Algoritmo da Divisão
    • 1.3.2 Mudança de Base
    • 1.3.3 Critérios de Divisibilidade
    • 1.3.4 Exercícios Propostos
  • 1.4 Números Primos e o Teorema Fundamental da Aritmética
    • 1.4.1 Números Primos
    • 1.4.2 Crivo de Eratóstenes
    • 1.4.3 O Teorema Fundamental da Aritmética
    • 1.4.4 Exercícios Propostos
  • 1.5 MMC e MDC
    • 1.5.1 Máximo Divisor Comum
    • 1.5.2 Mínimo Múltiplo Comum
    • 1.5.3 Exercícios Propostos
  • 1.6 Introdução
  • 1.7 Definição e Propriedades
    • 1.7.1 Exercícios Propostos
  • 1.8 Classes de Congruência
    • 1.8.1 Exercícios Propostos
• Tema 2: Polinômios
• Divisão de Polinômios
  • 2.1 Corpos
    • 2.1.1 Exercícios Propostos
  • 2.2 Definições e Operações
    • 2.2.1 Exercícios Propostos
  • 2.3 Lema da Divisão de Euclides
    • 2.3.1 Exercícios Propostos
  • 2.4 MDC e MMC
    • 2.4.1 Máximo Divisor Comum
    • 2.4.2 Mínimo Múltiplo Comum
    • 2.4.3 Exercícios Propostos
      • TÓPICOS DE ÁLGEBRA
  • 2.5 Raízes e Fatoração
    • 2.5.1 O Algoritmo de Briot-Ruffini
    • 2.5.2 Exercícios Propostos
  • 2.6 O Teorema Fundamental da Álgebra
    • 2.6.1 Exercícios Propostos
  • 2.7 Fatoração em Polinômios Irredutíveis
    • 2.7.1 Exercícios Propostos
• Bloco 2: Grupos
• Tema 3: Grupos, Subgrupos e Homomorfismos.
• Teoria de Grupos
  • 3.1 Grupos
    • 3.1.1 Exercícios Propostos
  • 3.2 Subgrupos
    • 3.2.1 Exercícios Propostos
  • 3.3 Homomorfismo
    • 3.3.1 Exercícios Propostos
  • 3.4 Isomorfismo
    • 3.4.1 Exercícios Propostos
• Tema 4: Outros Tipos de Grupos
• Grupos Cíclicos
  • 4.1 Potências e Múltiplos
    • 4.1.1 Exercícios Propostos
  • 4.2 Grupos Cíclicos
    • 4.2.1 Grupos Cíclicos Infinitos
    • 4.2.2 Grupos Cíclicos Finitos
    • 4.2.3 Exercícios Propostos
  • 4.3 Grupos Gerados Por Subconjuntos
  • 4.4 Classes Laterais
    • 4.4.1 Proposições Sobre Classes Laterais
    • 4.4.2 Teorema de Lagrange
    • 4.4.3 Exercícios Propostos
  • 4.5 Subgrupos Normais
    • 4.5.1 Exercícios Propostos
  • 4.6 Grupos Quocientes
    • 4.6.1 Exercícios Propostos
  • 4.7 Teorema do Isomorfismo
    • 4.7.1 Exercícios Propostos
  • 4.8 Anel
  • 4.9 Exemplos Importantes de Anéis
• Referências Bibliográficas

BLOCO 01 Teoria de Números e Polinômios

TEMA 01 Números Inteiros e Congruências

Números Inteiros

1.1 Sistemas de Numeração

1.1.1 O Processo de Contagem

O conceito de número, com o qual estamos acostumados, evoluiu muito lentamente. Para o homem civi- lizado de hoje, o numero natural é um ente puramente matemático, uma conquista de seu pensamento. Todos os tipos de sociedades foram obrigadas a desenvolver um conceito de número e, associado a este, algum processo de contagem. O processo de contagem passou a ser definido, então, a partir de um conjunto familiar ao qual se fazia corresponder os objetos a serem contados.Estes conjuntos eram chamados conjuntos de contagem e poderiam estar associados, por exemplo, aos dedos da mão, do pé, pedras e etc. Com a evolução da humanidade, o homem sentiu que era necessário sistematizar o processo de contagem, e os povos de diversas partes do mundo desenvolveram vários tipos de sistema de contagem. Estabelecia-se então um conjunto de símbolos juntamente com algumas regras que permitem contar, representar e enunciar os números. Alguns desses conjuntos continham cinco, outros dez, doze, vinte ou até sessenta símbolos, chamados “símbolos básicos”. Hoje, o processo de contagem consiste em fazer corresponder os objetos a serem contados com o conjunto N = {1, 2, 3,.. .}. A possibilidade de se estender indefinidamente a seqüência numérica e, portanto, a existência de números arbitrariamente grandes, foi uma descoberta difícil. Arquimedes (287-212 a.C.), em sua monografia “ O contador de Areia , descreve um método para enunciar um número maior do que o número de grãos de areia suficiente para encher a esfera das estrelas fixas (então considerada como “Todo” isto é, o Universo). Em outras palavras, Arquimedes descreveu um número maior do que o número de elementos do maior conjunto de contagem possível: o Universo. Tendo sido escolhido o conjunto de símbolos básicos, os primeiros sistemas de numeração, em grande maioria, tinha por regra formar os numerais pela repetição de símbolos básicos e pela soma de seus valores. Assim eram os sistemas egípcio, grego e romano. Por volta de 3000 a.C. os egípcios usavam figuras para representar seus numerais. Tinham então um sistema que consistia em separar os objetos a serem contados em grupos de dez, mas não tinham um símbolo para zero. Portanto, pra representar cada múltiplo de dez, eles utilizavam um símbolo diferente dos básicos. Por volta de 400 a.C., os gregos utilizavam letras para representar os números. Como essas notações eram aditiva apresentavam um grande inconveniente: à medida que os números

6 FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

maiores são escritos, mais símbolos devam representá-los (já que utilizar apenas os símbolos antes empre- gados torna a representação do número demasiadamente extensa). Entretanto, essa dificuldade é superada atribuindo-se importância à posição que um símbolo ocupa na representação de um número. Assim já era o sistema desenvolvido pelos babilônios por volta de 1800 a.C. Estes usavam grupos de 60 elementos e seus símbolos eram combinações de cunhas verticais ( representando a unidade) e angulares (representando a dezena), dando origem ao que se chama sistema sexagesimal - ainda nos tempos de hoje utilizamos esse sistema ao medir o tempo em horas, minutos e segundos e os ângulos em graus. Um símbolo em uma seqüên- cia fica então multiplicado por 60 cada vez que avançamos uma casa à esquerda. Estes sistemas posicionais serão estudados mais adiante, a partir do conceito de base de numeração.

Os babilônios também não tinham um símbolo que representasse o zero, mas nas posições em que ele deveria aparecer era deixado um espaço em branco, ficando a cargo do leitor a tarefa de adivinhar, pelo contexto o valor correto que estava sendo representado.

A origem do zero é incerta; entretanto, os maias da América central, que possuíam um sistema vigesimal posicional, já faziam uso dele por volta de 300 d.C.

Atualmente, quase todos os povos do mundo usam o mesmo sistema de numeração e aproximadamente os mesmos algoritmos para efetuar as operações básicas da aritmética. Esse sistema quase que universalmente adotado é conhecido como sistema numérico hindu-arábico, por acreditar-se ter sido ele inventado pelos indi- anos e introduzido na Europa pelos árabes.

Esse sistema é decimal posicional. Ele é decimal, pois faz uso de dez símbolos (chamados algarismo): nove para representar os números de um a nove e outro para representar posições vazias ou o número zero. Usamos os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. É posicional, pois todos os números podem ser expressos por meio desses algarismos, que têm valor alterado à medida que eles avançam para a esquerda na representação do número: cada mudança para a esquerda multiplica seu valor por dez. É o que passaremos a explicar.

1.1.2 A Representação de um Número em uma Base

Vimos, na seção anterior que a cada sistema de numeração posicional está associado um conjunto de símbolos (algarismos), a partir dos quais escrevemos todos os outros números. Chamamos de base do sistema à quantidade destes símbolos. Por exemplo, os babilônios usavam um sistema sexagesimal (isto é, de base 60), e hoje utilizamos o sistema decimal, ou seja, de base 10.

A razão de utilizarmos base 10 é convencional e, provavelmente, é conseqüência do fato de quase todos os povos terem usado os dedos das mãos para contar. Temos então que no nosso sistema todo número pode ser representado por uma seqüência anan− 1 ...a 1 a 0 ,

em que cada algarismo ai ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. O que cada algarismo representa depende de sua posição nessa seqüência, de acordo com a seguinte regra: cada vez que deslocamos uma casa para a esquerda na seqüência anterior, o valor do algarismo fica multiplicado por dez.

Generalizando: se o número de elementos de um conjunto é representado por uma seqüência anan− 1... a 1 a 0 , esse conjunto tem an grupos de 10 n^ elementos, mais an− 1 grupos de 10 n−^1 e assim por diante, até a 1 grupos de 10 mais a 0 elementos; ou seja, ele tem

an · 10 n^ + an− 1 · 10 n−^1 +... + a 1 · 10 + a 0

elementos.

De forma análoga, podemos escrever qualquer número natural em outra base, bastando para isso tomar quantidades de símbolos maior ou menor que dez e escrevermos o número com a mesma notação acima, sendo que, ao invés de usarmos grupos de dez usaríamos grupos com outro número de elementos.

TÓPICOS DE ÁLGEBRA 7

indução, ou seja, a partir dos axiomas dados acima ( para detalhes, o leitor pode consultar...). O terceiro axioma é, exatamente, o Princípio da Indução e o enunciaremos de outra forma, a qual será mais conveniente para se trabalhar.

1.2.1 Primeira Forma do Princípio da Indução

Suponhamos que uma afirmação seja válida em muitos casos particulares e que seja impossível considerar todos os casos possíveis - por exemplo, uma afirmativa a respeito de todos os números naturais. Como se pode determinar se essa afirmativa é válida em geral? Na maior parte das vezes podemos resolver essa questão aplicando um método de indução matemática (indução completa), baseado no

Princípio da Indução Matemática - primeira forma: Suponha que para cada número natural n se tenha uma afirmativa P(n) que satisfaça as seguintes pro- priedades:

(i)P(1) é verdadeira; (ii) sempre que a afirmativa for válida para um número natural arbitrário n = k, ela será válida para o seu sucessor n = k + 1 (ou seja, P(k) verdadeira implica P(k + 1) verdadeira).

Então P(n) é verdadeira para todo número natural n.

As hipóteses do Princípio da Indução (quer dizer, os ítens 1 e 2 acima) possuem significados específicos. A primeira hipótese cria, digamos assim, a base para se fazer a indução. A segunda hipótese nos dá o direito de passar de um número inteiro para o seu sucessor (de k para k + 1), ou seja, o direito de uma extensão ilimitada desta base. Observe que o item ii é uma implicação possuindo uma hipótese (P(k) é verdadeira) e uma tese (P(k + 1) é verdadeira). Assim, provar o item ii significa provar que a hipótese acarreta a tese. A hipótese do item ii é chamada hipótese de indução.

ER 1****. Calcular a soma Sn = (^1 1) · 2 + (^2 1) · 3 + (^3 1) · 4 + · · · + (^) n(n 1 + 1).

Solução: Sabemos que S 1 =^12 , S 2 =^23 , S 3 =^34 , S 4 =^45. Observando os valores das somas S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , tentaremos provar, usando o método de indução matemática que Sn = (^) n + 1n

para todo natural n.A afirmação vale para n = 1, pois S 1 =^12. Supondo válido para n = k, isto é,

Sk = (^1 1) · 2 + (^2 1) · 3 + · · · + (^) k(k 1 + 1) = (^) k + 1 k.

Provaremos que vale para n = k + 1, ou seja,

Sk+1 = k k^ + 1+ 2.

De fato, Sk+1 = (^1 1) · 2 + (^2 1) · 3 + · · · + (^) k(k 1 + 1) + (^) (k + 1)(^1 k + 2) = Sk + (^) (k + 1)(^1 k + 2).

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Pela hipótese de indução, Sk = (^) k k+ 1. Logo,

Sk+1 = Sk + (^) (k + 1)(^1 k + 2) = (^) k k+ 1 + (^) (k + 1)(^1 k + 2) = k

(^2) + 2k + 1 (k + 1)(k + 2) =^

k + 1 k + 2

Verificadas as hipóteses do Princípio da Indução Matemática, podemos então afirmar que, para todo natural n. Sn = (^) n + 1n

O método de indução matemática se baseia no fato de que, depois de cada número inteiro k, existe um sucessor (k + 1) e que cada número inteiro maior do que 1 pode ser alcançado mediante um número finito de passos, a partir de 1.

Nota 1****. Muitas vezes uma afirmação sobre números inteiros é aceita a partir de um número n 0 fixo (não necessariamente n = 1). Assim, podemos reescrever o Princípio da Indução Matemática da seguinte forma:

1.1 Teorema. [Formulação equivalente do Princípio da Indução] Suponha que, para cada número inteiro n ≥ n 0 , se tenha uma afirmativa P(n) satisfazendo as seguintes propriedades:

(i)P(n 0 ) é verdadeira;

(ii) sempre que a afirmativa for válida para um inteiro n = k ≥ n 0 ela também será válida para n = k + 1. Então P(n) é verdadeira para todo número inteiro n ≥ n 0.

1.2.2 Segunda Forma do Princípio da Indução

Algumas vezes no princípio da indução a validade de P(k + 1) não pode ser obtida facilmente apenas da validade de P(k), dependendo também da validade de algum P(r ) tal que 1 ≤ r ≤ k. Nesses casos podemos usar uma outra forma do princípio da indução, a qual apresentamos a seguir.

1.2 Teorema. (Princípio da Indução Matemática - segunda forma) Seja r um número inteiro. Suponha que, para todo inteiro n ≥ r , se tenha uma afirmativa P(n) que satisfaça as seguintes propriedades:

(i) P(r ) é verdadeira;

(ii) P(m) verdadeira para todo natural m com r ≤ m ≤ k implica P(k + 1) verdadeira.

Então P(n) é verdadeira para todo n ≥ r

Nota 2****. Note que aqui também a condição (ii) consiste em uma implicação. Sua hipótese, como antes, é chamada hipótese de indução. A diferença entre as duas formas do Princípio da Indução Matemática está exatamente na hipótese de Indução: na primeira forma, supõe-se que P(k) seja verdadeira e, na segunda, supõe-se que P(k), P(k − 1), ..., P(r + 1), P(r )

sejam todas verdadeiras.

10 FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

mostrar que Q+^ não possui menor elemento. Suponha, por absurdo, que a ∈ Q+^ seja o menor elemento de Q+. Como a 2 também pertence a Q+^ e 2 a < a chegamos a uma contradição.

Em geral, qualquer resultado sobre os números inteiros que pode ser demonstrado usando-se o Princípio da Indução, também pode ser demonstrado usando-se o Princípio da Boa Ordenação. A seguir daremos uma demonstração do princípio da boa ordenação utilizando a segunda forma do princípio da indução. A melhor forma de se obter tal resultado é considerarmos um conjunto S ⊂ Z de inteiros maiores do que o inteiro a e supormos que S não possui menor elemento. Então provaremos que este conjunto só pode ser o conjunto vazio e desta forma podemos concluir que, se S for um conjunto de inteiros maiores do que o inteiro a e S 6 = ∅, então S possui menor elemento. Vejamos, então a prova: Demonstração do Princípio da Boa Ordenação: Seja S ⊂ Z um conjunto não-vazio e limitado inferiormente. seja a ∈ Z uma cota inferior para S. Suponhamos que S não possua menor elemento. Temos então que a ∈/ S pois, caso contrário, a seria o menor elemento de S. Suponhamos que a, a + 1, a + 2,... , a + k não estejam em S (segunda forma do Princípio da Indução). Afirmamos que a + (k + 1) ∈/ S. De fato, se a + (k + 1) ∈ S então a + (k + 1) seria o menor elemento de S, pois todos os inteiros maiores do que a e menores do que a+(k +1) não estão em S; como S não possui menor elemento, concluímos que a+(k +1) ∈/ S. Logo, pela segunda forma do Principio da Indução, nenhum elemento de Z maior do que a está em S. Como S ⊂ Z é um conjunto de números maiores do que a, só podemos ter S = ∅. Concluímos que a única possibilidade de S não possuir menor elemento é quando S = ∅ o que mostra o Princípio da Boa Ordenação. A segunda forma do Princípio da Indução e o Princípio da Boa Ordenação foram apresentados como teo- remas: a segunda forma do Princípio da Indução foi provada utilizando-se a primeira forma, enquanto que o Princípio da Boa Ordenação resultou da segunda forma do Princípio da Indução. Dizemos que duas afirmações A e B são equivalentes se A implica B (notação: A ⇒ B) e, reciprocamente, B implica A (notação: B ⇒ A) e escrevemos A ⇔ B, que se lê: A se, e somente se, B. Observe que já demonstramos que a primeira forma do Princípio da Indução implica a segunda forma, e que esta implica o Princípio da Boa Ordenação. Assim, para completarmos a verificação que esses Princípios são todos equivalentes, basta mostrarmos que o Princípio da Boa Ordenação implica a primeira forma do Princípio da Indução. É o que faremos a seguir.

1.4 Teorema. O Princípio da Boa Ordenação implica a primeira forma do Princípio da Indução.

Prova: Seja P(n) uma afirmativa à respeito dos números inteiros, tais que

(a) P(n 0 ) é verdadeira;

(b) Se k ≥ n 0 , P(k) verdadeira implica P(k + 1) verdadeira.

Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ≤ n 0. Para isso, definimos o conjunto

S = {n ∈ Z; n ≥ n 0 e P(n) é falsa}.

Vamos mostrar, usando o Princípio da Boa Ordenação, que S = ∅, donde podemos concluir o desejado. Claramente S é um conjunto limitado inferiormente. Suponhamos que S não seja vazio. Então, pelo Princípio da Boa Ordenação, S tem um menor elemento k 0 ∈ S. Temos que k 0 6 = n 0 pois, por hipótese, P(n 0 ) é uma afirmação verdadeira. Logo, k 0 > n 0. Isso quer dizer que k 0 − 1 ∈/ S e também que P(k 0 − 1) é uma afirmação verdadeira (pois k 0 é a primeira afirmativa falsa). Mas isso é uma contradição com a hipótese (b):P(k 0 − 1) verdadeira implica P(k 0 ) verdadeira. ✷

12 FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

1.2.4 Exercícios Propostos

EP 1.1. Mostre, por indução, a validade de

1 + 2^3 + 3^3 +... + n^3 =

 n(n + 1)

EP 1.2. Prove, usando o princípio da indução, que o número de diagonais dn de um polígono convexo de n

lados é dado por

dn = n(n^2 − 3).

EP 1.3. Encontre a lei geral sugerida para as somas abaixo e, em seguida, mostre tal lei por indução.

1 +^12 = 2 − 12 ,

1 +^12 +^14 = 2 − 14 ,

1 +^12 +^14 +^18 = 2 − 18.

1.3 Divisão Euclidiana e Critérios de Divisibilidade

Por volta de 300 a.C., Euclides de Alexandria (325-265 a.C.) escreveu o mais antigo texto matemático grego conhecido até nossos dias, denominado Os elementos. Alguns capítulos da obra são sobre teoria de números. Para os gregos, a palavra número significava o que hoje denominamos número natural e se refere a um número como AB e não usa as expressões “é múltiplo de” ou “é dividido por”, mas “é medido por” ou “mede”, respectivamente. O modelo concreto de número utilizado por Euclides era um segmento de reta de comprimento igual a esse número, sendo a unidade de medida u escolhida arbitrariamente; por exemplo, o número 7 era entendido como o seguimento AB, como na seguinte figura:

A B

u

Uma característica dos inteiros é que um número nem sempre divide o outro, e Euclides interessava-se particularmente pelo estudo dessa relação, ou seja, pela teoria da divisibilidade. Resultados sobre os inteiros já eram encontrados na obra de Euclides, com demonstrações que são utilizadas até hoje, apenas reescritas numa notação moderna.

Nesta seção apresentaremos o importante resultado sobre números inteiros conhecido como o Lema da Divisão de Euclides e mostraremos também outros teoremas como conseqüência desse lema, além de alguns critérios de divisibilidade.

1.3.1 O Algoritmo da Divisão

Utilizando o modelo de número utilizado por Euclides, sejam os segmentos AB e C D de forma que o comprimento de C D seja maior do que o comprimento de AB e suponhamos que o segmento C D possa ser obtido pela justaposição do segmento AB num certo número de vezes. Dessa forma, podemos dizer que C D possui AB como parte exata ou que AB pode servir para medir C D. A partir dessa idéia podemos obter a definição abstrata de múltiplo.

1.5 Definição. Dados os números naturais a e b, dizemos que a é múltiplo de b, se existe um número natural

n tal que a = nb.

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naturais tais que a = q′b + r ′, a = q′′b + r ′′,

com 0 ≤ r ′^ < b e 0 ≤ r ′′^ < b. Queremos concluir que q′^ = q′′^ e r ′^ = r ′′. Se tivéssemos q′^ > q′′, obteríamos após subtrair membro a membro as equações acima que (q′^ − q′′)b = r ′′^ − r ′, e como q′^ − q′′^ é um número natural não-nulo, q′^ − q′′^ ≥ 1 e, portanto, (q′^ − q′′)b ≥ b. Logo, obteríamos r ′′^ − r ′^ ≥ b, o que é absurdo, já que 0 ≤ r ′^ < b e 0 ≤ r ′′^ < b. Assim, não podemos ter q′^ > q′′. Analogamente, não podemos ter q′′^ > q′^ e, portanto ,q′^ = q′′. Como

r ′^ = a − q′b = a − q′′b = r ′′,

está provada, então, a unicidade no Lema da Divisão de Euclides. Queremos, agora, estender o Lema de Euclides para o conjunto dos inteiros

Z = {... , −2, −1, 0, 1, 2,.. .}.

Estes podem ser representados sobre uma reta escolhendo um ponto arbitrário como posição do zero (chamado origem) e associando os pontos à direita do zero aos números naturais e os pontos à esquerda do zero aos números inteiros negativos:

Temos, então, que o ponto correspondente a 2 fica à direita da origem e a duas unidades dessa, enquanto que o número − 2 fica à esquerda da origem, também a duas unidades dessa. Assim a cada inteiro b está associado um número natural que é a distância de b à origem chamado valor absoluto de b. ✷

1.7 Definição. O valor absoluto de um número inteiro b, denotado por |b|, é

|b| =

b , se b ≥ 0 −b , se b < 0.

Nota 4****. Para todo b ∈ Z, |b| é um número natural. Além disso, |b| = | − b|.

Podemos, agora, estender a definição de múltiplo para os inteiros.

1.8 Definição. Dados dois inteiros a e b, dizemos que a é múltiplo de b, se existe um inteiro q tal a = qb.

Exemplo 1.4. 8 é múltiplo de 4 , pois 8 = 2 · 4 ; 8 também é múltiplo de − 4 pois 8 = (−2)(−4); − 8 é múltiplo

de 4 e de − 4 , pois −8 = (−2)4 = 2(−4).

Dado um inteiro b 6 = 0, destacando na reta os múltiplos deste, temos que, para todo inteiro a, ou a é múltiplo de b ou a está entre dois múltiplos consecutivos de b:

q|b| a^ (q + 1)|b|

Como estamos agora considerando também números negativos, podemos exprimir o fato de a estar entre

TÓPICOS DE ÁLGEBRA 15

os múltiplos consecutivos de b, q|b| e (q + 1)|b|, de duas maneiras: a = q|b| + r , com 0 < r < |b|, ou a = (q + 1)|b| + r , com − |b| < r < 0.

Trabalharemos sempre com a primeira forma exigindo, assim, que o resto seja não-negativo.

Exemplo 1.5. Se a = 8 e b = 3, escreveremos 8 = 2 · 3 + 2 ao invés de 8 = 3 · 3 + (−1). Dessa forma, o quociente da divisão de 8 por 3 é 2 e o resto também é 2.

Se a = − 8 e b = 3, escreveremos −8 = (−3)3 + 1 e não −8 = (−2)3 − 2 , ou seja, o quociente da divisão de − 8 por 3 é − 3 e o resto é 1. Quais são os quocientes e os restos das divisões de 8 por − 3 e de − 8 por − 3?

Enunciaremos agora o Lema da Divisão de Euclides para números inteiros.

1.9 Teorema. (Lema da Divisão de Euclides para inteiros) Sejam a e b inteiros, com b 6 = 0. Então existem inteiros q e r , com 0 ≤ r < |b|, tais que a = qb + r. Além disso, são únicos os inteiros q e r satisfazendo essas condições.

Prova: Supondo a existência do quociente q e do resto r , podemos considerar quatro casos:

1. a ≥ 0 e b > 0 ; 2. a ≥ 0 e b < 0 ; 3. a < 0 e b > 0 ; (^) 4. a < 0 e b < 0.

Observe que o caso 1 é uma repetição do Lema de Euclides para os naturais. Os outros casos possuem demonstrações análogas e por isso mostraremos apenas o caso 4 deixando os outros a cargo do leitor. Como a < 0 e b < 0 , temos −a > 0, −b > 0 e |b| = −b. Pelo Lema de Euclides para naturais, existem q′, r ′^ ∈ N tais que −a = q′(−b) + r ′, com 0 ≤ r ′^ < −b. Se r ′^ = 0, temos a = q′b e, então, basta fazer q = q′^ e r = 0. Se r ′^ > 0 , temos a = q′b + (−r ′) e, portanto,

a = q′b + b − b + (−r ′) = (q′^ + 1)b + (−b − r ′)

e, então, basta fazer q = q′^ + 1 e r = −b − r ′, pois, como 0 < r ′^ < −b, temos, após adicionar b a todos os membros, b < b + r ′^ < 0 ⇒ 0 < −b − r ′^ < −b = |b|, uma vez que, por hipótese, b < 0. ✷

A unicidade de q e r pode ser provada de forma similar àquela feita para números naturais e também deixamos a cargo do leitor.

Exemplo 1.6. Se a ∈ Z, então a = 2q + r , em que q, r ∈ Z e 0 ≤ r < 2. Assim, a = 2q ou a = 2q + 1. Os números da primeira forma são chamados pares e os da segunda forma ímpares.

ER 2****. Mostre que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3 k ou 3 k + 1, com k ∈ N.

Solução: De fato, usando o Lema de Euclides concluímos que qualquer inteiro a pode ser escrito na forma a = 3q + r , em que r ∈ 0, 1, 2. Portanto, a^2 = 9q^2 + 6qr + r 2 = 3(3q^2 + 2qr ) + r 2. Analisando a expressão acima, temos os seguintes casos a considerar:

(i) se r = 0, então a^2 = 3(3q^2 + 2qr ) = 3k, em que k = 3q^2 + 2qr ; (observe que k ∈ N pois a^2 ≥ 0, ∀ a ∈ Z)

(ii) se r = 1, então a^2 = 3(3q^2 + 2qr ) + 1 = 3k + 1, em que k = 3q^2 + 2qr ;

(iii) se r = 2, então a^2 = 3(3q^2 + 2qr ) + 4 = 3(3q^2 + 2qr + 1) + 1 = 3k + 1, em que k = 3q^2 + 2qr + 1, k ∈ N

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ER 3****. Represente 32 na base 5.

Solução: Para representar 32 na base 5 , de acordo com o raciocínio utilizado na seção 1.1.2, devemos efetuar as seguintes divisões: 32 = 6 · 5 + 2 6 = 1 · 5 + 1 1 = 0 · 5 + 1

Dessa forma, temos que

32 = 6 · 5 + 2 = (1 · 5 + 1) · 5 + 2 = 1 · 52 + 1 · 5 + 2,

isto é, a representação de 32 na base 5 é (112) 5 , sendo que os algarismos 1 , 1 e 2 são exatamente os restos das divisões efetuadas, tomados de baixo para cima.

Generalizando, podemos obter um algoritmo para a representação de um número natural a qualquer numa base b através de sucessivas divisões e obtenções dos restos das mesmas, da seguinte forma: a = q 0 b + a 0 , 0 ≤ a 0 < b q 0 = q 1 b + a 1 , 0 ≤ a 1 < b .. . qn− 1 = 0 · b + an, 0 ≤ an < b

Observe que qn− 1 é o último quociente não nulo e, como os quocientes vão decrescendo, necessariamente, devemos ter qn = 0, para algum n. De acordo com o exercício resolvido anteriormente, a representação de a na base b é, então, (anan− 1... a 1 a 0 )b.

1.11 Teorema. Dado um número natural a ≥ 0 e um natural b ≥ 2 , existe e é única a representação de a na base b.

Prova: A afirmação é claramente válida para a = 0. Seja a > 0 e suponhamos, por indução, que o resultado seja válido para para todo natural c, com 0 ≤ c < a. Ou seja, vamos supor que c possa ser escrito de forma única como c = anbn^ + an− 1 bn−^1 + ... + a 1 b + a 0 ,

em que 0 ≤ ai < b. Vamos mostrar que o resultado vale para o natural a. Pelo Lema de Euclides, existem e são únicos os naturais q ≥ 0 e 0 ≤ r < b, tais que a = qb + r. Se q = 0, então a = r e a coincide com sua representação na base b. Considerando agora q > 0 , uma vez que b ≥ 2 , teremos que a = qb + r ≥ 2 q + r ≥ 2 q > q.

Assim, pela hipótese de indução, podemos escrever de modo único

q = anbn^ + an− 1 bn−^1 + ... + a 1 b + a 0

e, portanto, a = qb + r = anbn+1^ + an− 1 bn^ + ... + a 1 b^2 + a 0 b + r ,

18 FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

com 0 ≤ r < b. Conseguimos, assim, uma representação de a na base b. A unicidade segue imediatamente da unicidade de q e r , dadas pelo Lema da Divisão de Euclides, e da unicidade da representação de q na base b, de acordo com a hipótese de indução. ✷

1.3.3 Critérios de Divisibilidade

Nesta parte apresentaremos algumas idéias sobre como deduzir critérios de divisibilidade de números na base 10. Os resultados usam, basicamente, as definições de múltiplos e divisores e suas respectivas pro- priedades. Eventualmente, precisaremos lembrar do desenvolvimento do binômio de Newton para a conclusão de certas multiplicidades nas deduções desses critérios.

1.12 Proposição. (Critério de divisibilidade por 2) Um número natural a é divisível por 2 se, e somente se, o

algarismo das unidades for divisível por 2.

Prova: Seja anan− 1... a 2 a 1 a 0 a representação de a ∈ N na base 10. Assim,

a = an 10 n^ +... + a 2102 + a 1 10 + a 0 ,

em que os algarismos ai assumem valores de 0 a 9. Colocando o número 10 em evidência a partir da segunda parcela, teremos:

a = 10

an 10 n−^1 +... + a 2 10 + a 1

• a 0 = 10m + a 0 ,

em que m = an 10 n−^1 +... + a 2 10 + a 1 é um inteiro. Se 2 | a = 10m + a 0 e uma vez que 2 | 10 m temos pelo item (iii) da proposição anterior que 2 | a 0. Reciprocamente, suponhamos que o algarismo das unidades de a seja divisível por 2 , isto é, suponhamos que 2 | a 0. Como a = 10m + a 0 temos , pela mesma proposição item (ii), que 2 | a. ✷

1.3.4 Exercícios Propostos

EP 1.4. Prove os itens (i), (iii) e (iv) da Proposição 1.10.

EP 1.5. Seja a ∈ Z. Mostre que, na divisão de a^2 por 8 , os restos possíveis são 0, 1 ou 4.

EP 1.6. Se m e n forem inteiros ímpares, mostre que m^2 − n^2 é divisível por 8.

EP 1.7. Mostre que, dados 3 inteiros consecutivos, um deles é múltiplo de 3.

EP 1.8. Transforme para a base 10 os seguintes números

(a) (2351) 7 (b) (1001110) 2

EP 1.9. Expresse o número 274 na base 5.

EP 1.10. Mostre critérios de divisibilidade por 5 e por 3. Para isso, use raciocínios similares aos critérios de

divisibilidade por 2 e por 9 , respectivamente.

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