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Lista 2 - Bases Matem´aticas ( Ultima vers˜´ ao: 14/6/2017 - 21:00)
Elementos de L´ogica e Linguagem Matem´atica
Parte I
1 — Atribua valores verdades as seguintes proposi¸c˜oes:
a) 5 ´e primo e 4 ´e ´ımpar. b) 5 ´e primo ou 4 ´e ´ımpar. c) (N˜ao ´e verdade que 5 ´e primo) e 4 ´e par. d) N˜ao ´e verdade que ( 5 ´e primo ou 4 ´e ´ımpar).
2 — Atribua um valor verdade as seguintes proposi¸c˜oes:
a) Se 2 ´e par, ent ao˜ 3 n˜ao ´e par. b) Se 2 n˜ao ´e par, ent ao˜ 3 n˜ao ´e par. c) Se 3 n˜ao ´e par, ent ao˜ 3 n˜ao ´e ´ımpar. d) Se minha m˜ae ´e um trator ent ao˜ eu sou uma moto-serra.
3 — Negue as seguintes proposi¸c˜oes: a) 3 > 4 e 2 ´e par. b) N˜ao ´e verdade que ( 3 ´e par ou 5 ´e im- par). c) 2 ´e n´umero par e^ n˜ao ´e verdade que 3 ´e um n´umero ´ımpar. d) Se 3 > 4 , ent ao˜ 2 ´e par. e) Se 2 ´e par ent ˜ao(π = 3 ou π = 4 ). f) Se 2 ´e par ent ao˜ n˜ao ´e verdade que 3 ´e par.
4 — Em um planeta distante, a popula¸c˜ao local se divide em dois grupos distintos, por eles chamados de HI e HO (n˜ao h´a nenhum indiv´ıduo que perten¸ca a ambos os grupos). Nessa popula¸c˜ao, h´a indiv´ıduos com antenas e indiv´ıduos sem antenas. Os indiv´ıduos s˜ao coloridos, podendo ser verdes, brancos ou ver- melhos (n˜ao h´a indiv´ıduos bicolores ou trico- lores). Sabemos que: (i)Se um indiv´ıduo ´e do grupo HI, ent˜ao ele possui antena. (ii)Se um indiv´ıduo ´e verde ou branco, ent˜ao ele n˜ao possui antena. Pergunta-se: a) Se um indiv´ıduo possui antena, pode- mos saber a que grupo pertence? b) Se um indiv´ıduo n˜ao possui antena, po- demos saber a que grupo pertence? c) Se um indiv´ıduo ´e do grupo HI, o que podemos afirmar sobre sua cor? d) Se um indiv´ıduo ´e do grupo HO, o que podemos afirmar sobre sua cor? e) Se um indiv´ıduo ´e verde, podemos sa- ber a que grupo pertence? f) Se um indiv´ıduo ´e branco, podemos sa- ber a que grupo pertence? g) Se um indiv´ıduo ´e vermelho, podemos saber a que grupo pertence?
5 — Sejam p(n) e q(n) proposi¸c˜oes sobre n´umeros naturais. Assuma que a implica¸c˜ao p(n) ⇒ q(n) ´e verdadeira, para todo n natu- ral. Sabe-se que as proposi¸c˜oes p( 2 ) e q( 3 ) s˜ao verdadeiras e que as proposi¸c˜oes p( 5 ) e q( 7 ) s˜ao falsas. Podemos ent˜ao afirmar que (pode haver m´ultiplas alternativas corretas ou
mesmo nenhuma):
a) q( 2 ) ´e verdadeira b) p( 3 ) ´e verdadeira c) q( 5 ) ´e falsa d) p( 7 ) ´e falsa
6 — Observe o diagrama gen´erico abaixo:
premissa 1 premissa 2 conclus˜ao
Ele representa o seguinte argumento: as- sumindo como verdadeiras a premissa 1 e a premissa 2 , pretendemos deduzir que tamb´em ´e verdadeira a conclus˜ao. Um ar- gumento desse tipo ser´a considerado um ar- gumento v´alido, se a conclus˜ao seguir ne- cessariamente das premissas, isto ´e, se n˜ao for poss´ıvel termos as premissas verdadeiras e a conclus˜ao falsa. Com esse significado, prop˜oe-se o seguinte problema: dadas duas proposi¸c˜oes simples p e q, determine quais dos argumentos abaixo s˜ao v´alidos:
a)
p ⇒ q p q
b)
p ⇒ q q p
c)
p ⇒ q n˜ao p n˜ao q
d)
p ⇒ q n˜ao q n˜ao p
7 — Escreva cada uma das proposi¸c˜oes compostas abaixo usando somente os conec- tivos indicados a) p ⇒ q, usando ∨ e ¬ b) p Y q (ou exclusivo), usando ∧, ∨ e ¬ c) p ∧ q, usando ∨ e ¬ d) p ∧ q, usando ⇒ e ¬ e) p ∨ q, usando ∧ e ¬ f) p ∨ q, usando ⇒ e ¬
8 — Ache a contrapositiva, a rec´ıproca e a inversa das seguintes frases: a) ¬p ⇒ q b) ¬p ⇒ ¬q c) p ⇒ ¬q d) Se chove, ent˜ao eu n˜ao vou trabalhar. e) Se x ´e par, ent˜ao x + 1 ´e ´ımpar. f) Se minha m˜ae ´e um trator, ent˜ao eu sou uma moto-serra. g) Se 2 k^ + 1 ´e primo, ent˜ao k ´e uma potˆencia de 2. h) Se x^2 + y^2 = 0 , ent˜ao x e y s˜ao iguais a
9 — Para os pares de proposi¸c˜oes p e q, diga se p ´e condi¸c˜ao necess´aria ou suficiente para q. Em todos os itens em que ´e mencio- nado, x denota um n´umero natural. a) p : x > 2 q : x > 3 b) p : x > 2 q : x ≥ 2 c) p : x > 0 e x < 2 q : x < 2 d) p : x > 0 e x < 2 q : x = 1 e) p : ∆ ´e um triˆangulo is´osceles q : ∆ ´e um triˆangulo equil´atero f) p : M ´e uma matriz com determinante diferente de 0 q : “M ´e uma matriz invers´ıvel
17 — Interprete cada proposi¸c˜ao abaixo (isto ´e, escreva em linguagem natural) e de- termine seu valor-verdade. O universo de dis- curso ´e o conjunto dos n´umeros naturais a) ∀n ∀m (n + 1 > m) b) ∀n ∃m (n + 1 > m) c) ∃n ∀m (n + 1 > m) d) ∀n ∀m (n, m pares ⇒ n + m par) e) ∀n ∀m (n + m par ⇒ n, m pares) f) ∀m ∃n (nm ´e ´ımpar) g) ∀m ∃n (nm ´e par) h) ∀m ∃n (m^2 = n) i) ∀m ∃n (n^2 = m)
18 — Para cada proposi¸c˜ao abaixo, diga se ´e universal ou particular e determine o valor- verdade. O universo de discurso ´e co conjunto dos n´umeros naturais a) ∀x ∃y (x < y) b) ∃y ∀x (x < y) c) ∃x ∀y (x < y) d) ∀y ∃x (x < y) e) ∃x ∃y (x < y) f) ∀x ∀y (x < y)
19 — Determine o valor-verdade das se- guintes proposi¸c˜oes. O universo de discurso ´e o conjunto dos n´umeros reais.
a) ∀x ∃y ( 2 x − y = 0 ) b) ∃y ∀x ( 2 x − y = 0 ) c) ∃y ∃z (y + z = 100 ) d) ∀y ∃x (x^2 − 4 x + y = 0 ) e) ∃y ∃x (x^2 − 4 x + y = 0 ) f) ∃y ∀x (x^2 − 4 x + y > 0 )
20 — Transcreva as seguintes proposi¸c˜oes para a forma simb´olica a) Existe um n´umero real n tal que n^2 = 2. b) N˜ao existe n´umero racional x tal que x^2 = 2. c) Existe um n´umero inteiro x tal que x^2 ´e par e divis´ıvel por 3.
d) N˜ao existe n´umero inteiro x tal que x^2 ´e primo ou x^2 ´e negativo. e) Existe um n´umero inteiro x tal que x^2 ´e par ou x^2 ´e ´ımpar. f) Para cada n´umero real x existe um n´umero real y tal que x + y = 0. g) Todo elemento do conjunto A ´e ele- mento do conjunto B. h) Todo n´umero natural ´e divis´ıvel por 2, 3, 5 ou 7. i) Para todo n´umero racional x, x ´e me- nor que 1 /x. j) Existem dois n´umeros inteiros cuja soma ´e 1000. k) N˜ao existe n´umero racional cujo qua- drado ´e 2. l) Para todos n´umeros a e b reais, h´a um n´umero c que ´e menor que b e maior que a.
21 — Para cada uma das proposi¸c˜oes do exerc´ıcio anterior, escreva a sua nega¸c˜ao em linguagem simb´olica e em linguagem natural
22 — Reescreva cada afirma¸c˜ao a seguir em linguagem natural, sem usar nota¸c˜ao simb´olica a) ∀n ∈ R, n < n^2. b) ∃n ∈ R, n^2 = n. c) ∃!n ∈ R, n^2 = n. d) ∃n ∈ R, n^2 = n^3. e) ∀n ∈ N, ∃k ∈ N : k < n. f) ∀a, b ∈ R, ∃c, d ∈ R : a < c + d < b. g) ∀a, b ∈ Z, ∃c ∈ Z | (a/b)c ∈ Z. h) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R | ∀c ∈ R, ab = c i) ∀a ∈ R, ∀c ∈ R, ∃b ∈ R | ab = c
23 — A F´ormula de Bhaskara ´e uma pro- posi¸c˜ao universal. Identifique as suas vari´aveis (e seus universos) e descreva-a em linguagem simb´olica.
Parte III
Nos exerc´ıcios de 24 a 28, diga que tipo de t´ecnica de demonstra¸c˜ao foi usada para pro- var a proposi¸c˜ao e explique como a t´ecnica foi aplicada.
24 — Proposi¸c˜ao^1 : a | b e a | c ⇒ a | (b + c). Prova: como a | b, ∃k 1 : ak 1 = b; e como a | c, ∃k 2 : ak 2 = c. Assim, b + c = ak 1 + ak 2 = a(k 1 + k 2 ), o que significa que existe k (k = k 1 + k 2 ) tal que b + c = ak, ou seja, a | (b + c).
25 — Proposi¸c˜ao: log 2 3 ´e irracional. Prova: suponha que existam a, b ∈ Z tais que log 2 3 = a/b. Assim, 2 a/b^ = 3 e ( 2 a/b)b^ = 3 b. Como ( 2 a/b)b^ = 2 , ter´ıamos 2 a^ = 3 b. Mas 2 elevado a qualquer inteiro deve ser par, e 3 elevado a qualquer inteiro deve ser ´ımpar. Como um n´umero n˜ao pode ser par e ´ımpar ao mesmo tempo, temos que concluir que log 2 3 ´e irracional.
26 — Proposi¸c˜ao: Se a e b s˜ao n´umeros reais tais que ab ´e irracio- nal, ent˜ao pelo menos um dentre a e b deve ser irracional. Prova: se tanto a como b fossem racionais, ent˜ao existiriam k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ Z tais que a = k 1 /k 2 e b = k 3 /k 4. Ent˜ao, ab = (k 1 /k 2 )(k 3 /k 4 ) = (^) ((kk 21 k k^34 ) ) – o que significa que ab poderia ser escrito como quo- ciente de dois inteiros, sendo assim racional. Portanto, se ab ´e irracional, ou a ou b deve ser irracional.
27 — Proposi¸c˜ao: Se a ´e irracional, ent˜ao
a tamb´em ´e irracional. Prova: Se
a for racional, ent˜ao existem inteiros m e n tais que
a = m/n. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos a = m^2 /n^2. Como m^2 e n^2 s˜ao inteiros, a ´e racional.
28 — Proposi¸c˜ao: A soma das me- didas dos catetos de um triˆangulo retˆangulo ´e maior do que a medida da hipotenusa. Prova: dado um triˆangulo retˆangulo qualquer, sejam a e b os compri- mentos de seus catetos e c o comprimento de sua hipotenusa. Suponha que a + b ≤ c. Elevando ambos os lados ao quadrado temos (a + b)^2 ≤ c^2 , ou ainda, a^2 + 2 ab + b^2 ≤ c^2. Como as medidas dos lados s˜ao todas positi- vas, resulta a^2 + b^2 < a^2 + 2 ab + b^2 ≤ c^2 , e portanto a^2 + b^2 < c^2. No entanto, o Teorema de Pit´agoras afirma que a^2 + b^2 = c^2 , e a prova est´a completa.
Nos exerc´ıcios de 29 a 32, as demonstra¸c˜oes apresentadas est˜ao incorretas. Aponte o erro em cada uma delas.
Prova: Seja um n´umero real x < 1. Aplicando o logaritmo em ambos os lados da desigual- dade, temos log x < log 1. Como sabemos que log 1 = 0 , ent˜ao log x < 0. Agora dividimos ambos os lados por log x e obtemos 1 < 0. A
30 — Todo n´umero inteiro tem raiz qua- drada inteira. Prova: Provemos a contrapositiva de “∀n ∈ Z,
n ∈ Z”. Seja a =
n. Temos que a^2 = n, e como o quadrado de um inteiro ´e sempre outro inteiro, n tamb´em ´e inteiro. A
31 — Se 5 |ab ent˜ao 5 |a ou 5 |b. Prova: Se 5 |ab ent˜ao ab ´e da forma 5 k para algum k. Portanto, ou a = 5 m ou b = 5 m para algum m. Assim, conclu´ımos que 5 |a ou 5 |b. A (^1) A nota¸c˜ao a | b significa que a divide b, isto ´e, que existe um inteiro k tal que b = ka.
Respostas dos Exerc´ıcios
1 a.) F b.) V c.) F d.) F
2 a.) V b.) V c.) F d.) V
3 a.) 3 ≤ 4 ou 2 ´e impar. d.) 3 > 4 e 2 ´e ´ımpar. e.) 2 ´e par e^ π , 3 e^ π , 4.
4 a.) N˜ao, pode ser HI ou HO c.) Certamente ´e vermelho d.) Nada f.) Sim, ´e HO
5 a.) Sim, q( 2 ) ´e verdadeira c.) N˜ao podemos concluir nada sobre q( 5 )
6 a.) v´alido b.) inv´alido
7 a.) ¬p ∨ q b.) (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) d.) ¬(p ⇒ ¬q)
8 [contrapositiva / rec´ıproca / inversa] a.) ¬q ⇒ p / q ⇒ ¬p / p ⇒ ¬q b.) q ⇒ p / n ao q˜ ⇒ n ao p˜ / p ⇒ q d.) Se vou trabalhar, ent˜ao n˜ao chove. / Se n˜ao vou trabalhar, ent˜ao chove. / Se n˜ao chove, ent˜ao vou trabalhar. e.) Se x + 1 ´e par, ent˜ao x ´e ´ımpar. / Se x + 1 ´e ´ımpar, ent˜ao x ´e par. / Se x ´e ´ımpar, ent˜ao x + 1 ´e par. h.) Se x , 0 ou y , 0 , ent˜ao x^2 + y^2 , 0 / Se x = 0 = y, ent˜ao x^2 + y^2 = 0 / Se x^2 + y^2 , 0 , ent˜ao x , 0 ou y , 0
9 a.) Condi¸c˜ao necess´aria, mas n˜ao suficiente. d.) Condi¸c˜ao necess´aria e suficiente. e.) Condi¸c˜ao necess´aria, mas n˜ao suficiente. f.) Condi¸c˜ao necess´aria e suficiente.
10 a.) { 0 , 1 , 2 , 3 } c.) { 4 , 5 , 6 , 7 } e.) { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 }
12 a.) Exemplo: x = 7 (poderia ser qualquer n´umero real maior que 1). Contra-exemplo: x = − 5 (poderia ser qualquer n´umero real menor ou igual a 1). b.) Exemplo: letra ”a”(n˜ao h´a outro). Contra- exemplo: letra ”b”(poderia ser a letra ”n”). d.) Exemplo: x = π (poderia ser qualquer n´umero real menor que 2 ou entre 3 e 5). Contra- exemplo: x =
√ 7 (poderia ser qualquer n´umero real 2 ≤ x ≤ 3 ou x ≥ 5 ). e.) Exemplo: 11 (poderia ser qualquer n´umero primo). Contra-exemplo: 18 (poderia ser qual- quer n´umero composto ou 0 ou 1 ).
13 a.) (F) Para todo n´umero natural n, n + 1 > 2 (ou, de forma mais clara: o sucessor de qualquer n´umero natural ´e sempre maior do que 2). d.) (V) Existe (pelo menos) um n´umero natural que satisfa¸ca n < 2 ou 3 < n < 5. e.) (V) Para todo n´umero natural, se tal n´umero ´e par, seu sucessor ´e ´ımpar (ou, de forma mais clara: o sucessor de qualquer n´umero par ´e um n´umero ´ımpar). g.) (V) Existe um n´umero primo cujo sucessor ´e ´ımpar.
14 b.) F c.) F
15 a.) Vari´avel livre: m. Conjunto-verdade: { 0 } b.) Vari´avel livre: m. Conjunto-verdade: ´e o con- junto dos n´umeros naturais ´ımpares. c.) Vari´avel livre: n. Conjunto-verdade: N. d.) Vari´avel livre: m. Conjunto-verdade: ´e o con- junto dos n´umeros naturais ´ımpares.
16 a.) Exemplo: m = 0 (´e o ´unico exemplo para a vari´avel m). Contra-exemplo: m = 4 e n = 1 (n^2 < m). b.) Exemplo: n = − 5 e m = 3. Contra-exemplo: n˜ao h´a, pois a proposi¸c˜ao ´e verdadeira. c.) Exemplo: x =
√ 3 , n = 2. Contra-exemplo: n˜ao h´a, pois a proposi¸c˜ao ´e verdadeira. d.) Exemplo: n˜ao h´a, pois a proposi¸c˜ao ´e falsa. Contra-exemplo: qualquer par de n´umeros dis- tintos. e.) Exemplo: qualquer par de n´umeros naturais com mesma paridade. COntra-exemplos: qual- quer par de n´umeros naturais com paridades distintas. f.) Exemplo: m = 2 e n = 4 ou m = 6 e n = 8. Contra-exemplos: n˜ao h´a, pois a proposi¸c˜ao ´e verdadeira. g.) Exemplo: m = 2 , n = 18 , tem-se m + n = 20 (a soma ´e par e cada uma das parcelas tamb´em ´e par). Contra-exemplo: m = 3 e n = 5 , tem-se m + n = 8 (a soma ´e par, mas as parcelas n˜ao s˜ao pares).
17 a.) (F) Para todo par de n´umeros naturais n e m, n + 1 > m (ou, de forma um pouco mais clara: dados dois n´umeros naturais, o sucessor de um deles ´e maior do que o outro). b.) (V) Para todo n´umero natural n, existe um n´umero natural m que seja menor do que o su- cessor de n. c.) (F) Existe (pelo menos) um n´umero natural n cujo sucessor ´e maior do que qualquer outro n´umero natural. d.) (V) A soma de dois n´umeros naturais pares ´e par. e.) (F) Se a soma de dois n´umeros naturais ´e par, ent˜ao esses n´umeros s˜ao pares. f.) (F) Dado qualquer n´umero natural m, existe um n´umero natural n que, multiplicado por m, resulta em um n´umero ´ımpar. g.) (V) Dado qualquer n´umero natural m, existe um n´umero natural n que, multiplicado por m, resulta em um n´umero par. h.) (V) O quadrado de todo n´umero natural ´e um n´umero natural. i.) (F) Todo n´umero natural ´e o quadrado de um n´umero natural.
18 a.) Universal. Verdadeira. c.) Particular. Falsa. d.) Universal. Falsa. e.) Particular. Verdadeira.
19 a.) V b.) F c.) V d.) F e.) V f.) V
20 b.) ¬(∃x ∈ Q | x^2 = 2 ) c.) ∃x ∈ Z | (∃k, h ∈ Z | x^2 = 2 k ∧ x^2 = 3 h)
- simplificado: ∃x ∈ Z | x^2 ´e par e divis´ıvel por 3 d.) ¬
( [ ∃x^ ∈^ Z^ | ∀d ∈ N, d | x^2 ⇒ (d = 1 ∨ d = x^2 )
] ∨ x^2 < 0
)
- simplificado: ¬(∃x ∈ Z | x^2 ´e primo ∨ x^2 ´e ´ımpar) e.) ∃x ∈ Z | (∃k ∈ Z | x^2 = 2 k) ∨ (∃h ∈ Z | x^2 = 2 h + 1 )
- simplificado: ∃x ∈ Z | x^2 ´e par ou x^2 ´e ´ımpar. g.) ∀x ∈ A, x ∈ B 0 < |x − a| < δ ⇒ | f (x) − f (l))| < ε h.) ∀x ∈ N, (∃ k ∈ Z | x = 2 k) ∨ (∃ k ∈ Z | x = 3 k) ∨ (∃ k ∈ Z | x = 5 k) ∨ (∃ k ∈ Z | x = 7 k) k.) ¬(∃x ∈ Q | x^2 = 2
- alternativa: ∀x ∈ Q, x^2 , 2 l.) ∀a, b ∈ R, ∃c ∈ R | c < b ∧ c > a
21 a.) ∀n ∈ Rn^2 , 2. Para todo n´umero real n, n^2 , 2. b.) ∃x ∈ Q | x^2 = 2. Existe um n´umero racional cujo quadrado ´e igual a 2. c.) ∀x ∈ Z¬(∃k, h ∈ Z | x^2 = 2 k ∧ x^2 = 3 h) (* simplificado: ∀x ∈ Z, x^2 ´e ´ımpar ou n˜ao ´e di- vis´ıvel por 3) Para todo n´umero inteiro, seu quadrado ´e ´ımpar ou n˜ao ´e divis´ıvel por 3. e.) ∀x ∈ Z(x^2 , 2 k∀k ∈ Z) ∧ (x^2 , 2 h + 1 ∀h ∈ Z) (* simplificado: ∀x ∈ Z, x^2 ´e ´ımpar e x^2 ´e par.) Existe um n´umero inteiro cujo quadrado ´e ao mesmo tempo par e ´ımpar. f.) ∃x ∈ R | ∀y ∈ R | x + y , 0. Existe um n´umero real x que n˜ao tem oposto. g.) ∃x ∈ A | x < B Existe um elemento de A que n˜ao est´a em B. h.) ∃n ∈ N | 2 - n ∧ 3 - n ∧ 5 - n ∧ 7 - n Existe um n´umero natural que n˜ao ´e divis´ıvel por 2, 3 5 e 7. Existe um n´umero racional que ´e maior ou igual ao seu inverso. j.) ∀m, n ∈ Z, m + n , 1000 A soma de quaisquer dois inteiros ´e sempre dife- rente de 1000. Existe um n´umero racional cujo quadrado ´e igual a 2.
