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Fundac¸ ˜ao Centro de Ci ˆencias e Educac¸ ˜ao Superior a Dist ˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸ ˜ao Superior a Dist ˆancia do Estado do Rio de Janeiro
C´alculo IV – EP
Queridos alunos!
Sejam bem-vindos ao curso de C´alculo IV. O meu nome ´e Rioco Kamei Barreto e sou a coordenadora da
disciplina. O livro adotado ´e ”C´alculo Diferencial e Integral de Fun¸c˜oes de V´arias Vari´aveis”, Diomara Pinto
e Maria Cˆandida F. Morgado, Editora UFRJ. Para facilitar o estudo dos alunos, pretendo incluir nos EPs,
resumos da teoria. O conte´udo do programa ser´a dividido em 17 EPs, sendo que os EP 8, EP 16 e EP
17 ser˜ao destinados para a prepara¸c˜ao de AP1, AP2 e AP3, respectivamente. Recomendo que setudem
todos os EPs pois eles tˆem por objetivo complementar e fixar os t´opicos do livro texto. Tenho observado ao
longo desses anos, que os alunos tem tido muita dificuldade em esbo¸car regi˜oes planas que s˜ao regi˜oes de
integra¸c˜ao, e portanto, n˜ao conseguem resolver exerc´ıcios, mesmo que tenham entendido bem as t´ecnicas
de integra¸c˜ao. Por essa raz˜ao, o EP1 ser´a um pouco extenso no sentido de ajud´a-los.
Bom estudo.
Rioco K. Barreto
Coordenadora de C´alculo IV
Aula 1 – Integrais Duplas
Objetivos
- Compreender a no¸c˜ao de integral dupla;
- Estudar algumas propriedades;
- Estudar o Teorema de Fubini para retˆangulos.
No C´alculo II, vocˆe aprendeu as integrais definidas. Agora, no C´alculo IV, pretendemos estender essa id´eia
para integrais duplas e triplas de fun¸c˜oes de duas ou trˆes vari´aveis.
Ent˜ao consideremos uma fun¸c˜ao f : D ⊂ R^2 → R, onde D ´e um conjunto fechado e limitado (tamb´em
conhecido como conjunto compacto). Como D ´e limitado, ent˜ao existe um retˆangulo R = [a, b] × [c, d], tal
que D ⊂ R.
y
d = yn
yj
yj− 1
y 0 = c
∆y
a = x 0 xi− 1 xi b = xn x
∆x
D
R
Rij
(x∗ i , y j∗ )
f
R
Vamos dividir o retˆangulo R em subretˆangulos Rij da seguinte maneira: dividimos os intervalos [a, b]
e [c, d] em n subintervalos de mesmo comprimento ∆x =
b−a n e^ ∆y^ =^
d−c n ,^ respectivamente;
tra¸camos retas verticais e horizontais pelas extremidades desses subintervalos. Vamos escolher
x∗ i , y∗ j
Rij e formemos a soma
Sn =
∑^ n
j=
∑^ n
i=
f
x
∗ i , y
∗ j
∆x∆y =
∑^ n
i,j=
f
x
∗ i , y
∗ j
∆A
onde f
x∗ i , y∗ j
= 0 se
x∗ i , y j∗
∈ / D.
Esta soma ´e dita soma de Riemann de f. Se existir o lim n→∞
Sn = L, dizemos que f ´e integr´avel e o n´umero L ´e
dito integral de f sobre D e ´e indicado por
∫ ∫
D
f (x, y) dxdy ou
∫ ∫
D
f (x, y) dA
ou
∫ ∫
D
f dA. Assim, ∫ ∫
D
f (x, y) dxdy = lim n→∞
∑^ n
i,j=
f
x
∗ i , y
∗ j
∆x∆y.
OBS.:
1. Prova-se que se f ´e cont´ınua em D, ent˜ao f ´e integr´avel.
2. Se f (x, y) ≥ 0 ´e cont´ınua em D, ent˜ao o gr´afico de f (Gf ) est´a
acima do plano xy. Ent˜ao o volume do s´olido W que est´a abaixo
de Gf e acima de D ´e dado por
V (W ) =
D
f (x, y) dxdy.
Logo, para achar o volume do s´olido W , integramos f (x, y)
(o “teto”) sobre D (o “piso”).
x
y
z
W
(x∗ Rij
i , y
∗
j )
Gf : z = f (x, y) (“teto”)
(“piso”)
Primeiro calculamos a integral interna. Logo:
D
xy^2 dxdy =
0
x
[
y^3 3
] 0
− 1
0
x[0 − (−1)] dx = (^13)
0
x dx = (^13)
[
x^2 2
] 1
0
Aula 2 – C´alculo de Integrais Duplas em Regi˜oes mais Gerais
Objetivos
- Estudar uma vers˜ao mais geral do Teorema de Fubini;
- Calcular ´area e volume.
Suponhamos agora, que D seja diferente do retˆangulo [a, b] × [c, d]. Ent˜ao vamos definir dois tipos de
regi˜ao.
Defini¸c˜ao 1
Dizemos que D ´e uma regi˜ao do tipo I ou uma regi˜ao simples vertical se D for limitada `a esquerda
pela reta vertical x = a, `a direita pela reta vertical x = b, inferiormente pela curva de equa¸c˜ao
y = g 1 (x) e superiormente pela curva y = g 2 (x), onde g 1 e g 2 s˜ao cont´ınuas.
As figuras que se seguem ilustram regi˜oes do tipo I:
x x
y
y = g 1 (x)
y = g 2 (x)
D
(x, y)
a b x x
y
y = g 1 (x)
y = g 2 (x)
D
(x, y)
a b x x
y
y = g 1 (x)
y = g 2 (x)
D (x, y)
a b
Logo, D =
(x, y) ∈ R^2 | a ≤ x ≤ b e g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)
. Prova-se que:
∫ ∫
D
f (x, y) dxdy =
∫ (^) b
a
∫ (^) g 2 (x)
g 1 (x)
f (x, y) dydx.
Defini¸c˜ao 2
Dizemos que D ´e uma regi˜ao do tipo II ou uma regi˜ao simples horizontal se D for limitada inferiormente e superiormente por retas horizontais y = c e y = d, respectivamente, pela esquerda
pela curva x = h 1 (y) e pela direita pela curva x = h 2 (y), onde h 1 e h 2 s˜ao cont´ınuas.
As figuras que se seguem ilustram regi˜oes do tipo II:
x
x
y
x = h 1 (y) x = h 2 (y)
D
c
d
x
x
y
x = h 1 (y) D x = h 2 (y)
c
d
x
x
y
x = h 1 (y)
x = h 2 (y)
D
c
d
Logo, D =
(x, y) ∈ R^2 | c ≤ y ≤ d e h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y)
. Prova-se que:
∫ ∫
D
f (x, y) dxdy =
∫ (^) d
c
∫ (^) h 2 (y)
h 1 (y)
f (x, y) dxdy.
Exemplo 1
Calcule por dois m´etodos a integral de f (x, y) = xy sobre a regi˜ao D limitada pelas curvas y = x
e y = x^2.
Solu¸c˜ao:
As curvas se interceptam quando x^2 = x ou x(x − 1) = 0, logo x = 0 ou x = 1. Assim, os pontos de
interse¸c˜ao s˜ao (0, 0) e (1, 1). Logo, o esbo¸co de D ´e:
x x
y
y = x
D y = x^2
(x, y)
1
1
x
y
y = x^1 /^2
y = x^3
y = x^3
D
1
1
y =
√ x = x^1 /^2
Podemos descrever por
D :
0 ≤ x ≤ 1
x^3 ≤ y ≤ x^1 /^2
Ent˜ao:
A(D) =
D
dxdy =
0
∫ (^) x 1 / 2
x^3
dydx =
0
x^1 /^2 − x^3
dx =
[
2 3 x
3 / (^2) − x^4 4
] 1
0
2 3 −^
1 4 =^
5 12 u.a.
Exemplo 3
Calcule o volume do tetraedo W com faces nos planos coordenados e no plano x + y + z = 3.
Solu¸c˜ao:
O plano x + y + z = 3 passa pelos pontos A = (3, 0 , 0), B = (0, 3 , 0) e C = (0, 0 , 3). Assim, o esbo¸co de
W ´e:
x
y
z
A
B
C
W
teto de W
D (piso)
x
y
3
3
D
x + y = 3
y = 3 − x
y = 0
Observemos que o teto de W ´e a por¸c˜ao do plano x + y + z = 3 ou z = 3 − x − y = f (x, y) e o piso de
W ´e o triˆangulo D. Ent˜ao:
V (W ) =
D
f (x, y) dxdy
D
(3 − x − y) dxdy
0
∫ (^3) −x
0
(3 − x − y) dydx
0
[
3 y − xy −
y^2 2
] 3 −x
0
dx
0
[
3(3 − x) − x(3 − x) −
(3−x)^2 2
]
dx
0
(9 − 6 x + x^2 ) dx
[
9 x − 3 x^2 + x
3 3
] 3
0
= 92 u.v.
Exerc´ıcio 1: Calcule
∫ ∫
D
(y^2 ex^ + y sen x)dx dy, onde D ´e o retˆangulo dado por 0 ≤ x ≤ π/ 2 e 0 ≤ y ≤ 1.
Exerc´ıcio 2: Determine a regi˜ao de integra¸c˜ao e troque a ordem de integra¸c˜ao das seguintes integrais:
a)
∫ (^1)
0
∫ (^) x
0
f (x, y) dydx
b)
∫ (^1)
0
∫ (^) y
0
f (x, y) dxdy
c)
∫ (^1)
0
∫ √x
x^2
f (x, y) dydx
d)
∫ (^1)
0
∫ (^) x+
2 x
f (x, y) dydx
e)
∫ (^2)
0
∫ (^2) −y
−
√ 4 −y^2
f (x, y) dxdy
Exerc´ıcio 3: Calcule
∫ ∫
D
x^3 cos(xy) dxdy, onde D ´e a regi˜ao delimitada pelos gr´aficos de y = x^2 , y = 0 e
x = 2.
