Baixe Propriedades de Resistores e Fontes de Tensão e Corrente em Circuitos Elétricos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Elementos de CircuitosElementos de Circuitos
Resistência
A resistência de qualquer material de seção reta uniforme é determinada pelos quatro fatores a seguir:
Material Comprimento Área da seção reta Temperatura A uma temperatura fixa de 20°C (temperatura ambiente), a resistência está relacionada pela seguinte equação:
Lei de Ohm
Considere a seguinte relação: efeito causa oposição
=
Em circuitos elétricos, o efeito que desejamos estabelecer é o fluxo de cargas ou corrente. A diferença de potencial ou tensão , entre dois pontos é a causa , e a oposição ao fluxo de cargas representa a resistência encontrada. Substituindo os termos apresentados na equação anterior, tem-se:
diferença de potencial
corrente
resistência
1
v t ( (^) ) = R i t ⋅ ( (^) ) ( volts V , )
Por definição, um resistor linear e invariante têm uma curva característica que é uma reta, passando pela origem, sendo que esta não muda de posição com o tempo. Assim, a relação entre a tensão instantânea e a corrente instantânea no resistor é dada pela lei de Ohm :
Assim, o valor de R (resistência) é independente do tempo. Existem dois tipos especiais de resistores lineares e invariantes: o circuito aberto e o curto-circuito. Um elemento de dois terminais é chamado de circuito aberto se, para qualquer valor da tensão entre seus terminais, sua corrente circulante é nula. Neste caso, o valor da resistência é R = ∞. Um elemento de dois terminais é chamado de curto-circuito se, qualquer que seja o valor de sua corrente circulante, a tensão entre
Resistor Linear e Invariante no Tempo
se, qualquer que seja o valor de sua corrente circulante, a tensão entre seus terminais é sempre nula. Observe os gráficos abaixo.
Resistor Linear Variável com o Tempo
A curva característica de um resistor linear e variável com o tempo é descrita pela seguinte equação:
v t ( (^) ) = R t ( (^) ) ⋅ i t ( ) 2
Fontes Independentes
A – Fonte de Tensão
Um elemento de dois terminais é dito fonte de tensão se ele mantém uma tensão especificada vS(t) nos terminais de um circuito arbitrário, ao qual está ligado. Nesse sentido, qualquer que seja a corrente i que percorra a fonte, a tensão em seus terminais é constante. Os símbolos da fonte de tensão e do circuito arbitrário ligado a ela são mostrados na figura abaixo.
PelaPela definição,definição, umauma fontefonte dede tensãotensão temtem comocomo característica,característica, parapara qualquer instante t, uma linha reta paralela ao eixo i, como mostrado abaixo.
Pode-se considerar que a fonte de tensão é um resistor não linear pois, sempre que vS(t) ≠ 0, a curva característica é uma reta que não passa pela origem. Na prática as fontes de tensão são como baterias, nas quais a tensão e a corrente dependem da carga a ela ligada, segundo a equação:
v t ( (^) ) = E 0 (^) − Rs ⋅ i t ( ) 4
Onde:
- v(t) e i(t) são respectivamente a tensão e a corrente;
- E 0 é a tensão em circuito aberto ou tensão à vazio;
- Rs é a resistência interna.
Quando o valor de Rs é muito pequeno, o ponto de interseção com o eixo i será bem distante da origem, sendo a inclinação inexistente para Rs = 0
B – Fonte de Corrente
Um elemento de dois terminais é dito ser uma fonte de corrente se, a qualquer instante t, ele mantém uma corrente iS(t) especificada entrando ee saindosaindo nosnos terminaisterminais dede umum circuitocircuito arbitrárioarbitrário aoao qualqual estáestá ligado,ligado, ouou seja, qualquer que seja a tensão v(t) na entrada do circuito a corrente será mantida constante. Podemos considerar que uma fonte de corrente é um resistor não linear pois, sempre que iS(t) é diferente de zero, sua característica é uma reta que não passa pela origem. Os símbolos da fonte de corrente e do circuito arbitrário ligado a ela, bem como sua curva característica são mostrados nas figuras a seguir.
5
Capacitores
Um capacitor é um dispositivo de dois terminais constituído por dois corpos condutores separados por um material não condutor denominado de dielétrico. Por causa do dielétrico, as cargas não podem se mover de um corpo para outro, por dentro do dispositivo. Devem, portanto, ser transportadas entre os dois corpos condutores através de um circuito externo conectado aos terminais do capacitor. Um elemento de dois terminais é chamado de capacitor se, a qualquer instante t, sua carga armazenada q(t) e sua tensão v(t) satisfizerem uma relação definida por uma curva no plano v x q , denominada de curva característica do capacitor. A curva característica dos capacitores físicos é monotonicamente crescente, isto é, quando q(t) cresce v(t) também cresce. As figuras abaixo mostram, respectivamente, o símbolo do capacitor e sua curva característica.
A razão de variação de q(t) é a corrente i(t) que circula pelo circuito onde está presente um capacitor:
( )
dq t ( )
i t
dt
onde: i(t) é dada em ampère, a carga em coulomb e o tempo em segundo dentro do sistema internacional de unidades. Se a curva acima for uma reta passando pela origem do plano v x q , o capacitor é denominado de linear e, nesse caso, a característica do capacitor é dada por:
q t ( (^) ) = C v t ⋅ (^) ( ) 7
onde C é uma constante de proporcionalidade. C é dada pela a inclinação da reta e é denominada de capacitância , sendo que sua unidade é Coulomb / volt ou farad [F]. Derivando-se a equação anterior, tem-se:
( )
dv t ( ) i t C dt
que é expressão que permite calcular a corrente em um capacitor em função do tempo. Isolando a tensão v(t) na equação acima, tem-se:
( ) ( )
dv t (^) 1 i t dt C
Integrando essa equação tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0
t (^) dv t (^) dt t (^) (^1) i t dt t (^) dv t t (^1) i t dt dt C C ∫ ⋅^ =^ ∫ ⋅^ ⋅^ →^ ∫ =^ ∫ ⋅^ ⋅ 0^ dt^ 0 C^ 0 0 C
Na equação, a integral representa a tensão acumulada no capacitor no intervalo de 0 a t. Considerando que no instante t = 0 a tensão no capacitor seja igual a v(0) e no instante t a tensão seja igual a v(t) teremos:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (^) ( )
( ) 0 ( ) 0 0 0
v t (^) t t v t v v
dv t i t dt v t i t dt
C C
∫ =^ ∫ ⋅^ ⋅^ →^ =^ ⋅^ ∫ ⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
t t v t v i t dt v t v i t dt C C
A equação acima mostra que, um capacitor linear invariável com o tempo fica bem definido como elemento de circuito, quando é dada sua capacitância C e sua tensão inicial v(0). (^8)
Integrando a equação anterior para se determinar o valor da corrente i(t), tem: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0
t di t t 1 t t 1
dt v t dt di t v t dt
dt L L
∫ ⋅^ =^ ∫ ⋅^ ⋅^ →^ ∫ =^ ∫ ⋅^ ⋅
Considerando que no instante t = 0 a corrente no indutor seja igual a i(0) e no instante t a corrente seja igual a i(t), tem-se:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (^) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
i t (^) t t i t i i t t
di t v t dt i t v t dt
L L
i t i v t dt i t i v t dt
L L
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Isolando a corrente: (^) ( ) ( )
di t v t dt
L
L 0 L 0
∫ ∫
O indutor fica bem definido, como elemento de circuito, quando são dadas sua indutância L e sua corrente inicial i(0).
10
Potência e Energia
A potência instantânea nos terminais de um elemento de circuito é dada pelo produto da tensão v(t) pela corrente i(t). Assim, p(t) é a potência instantânea (dada em watt – [W]).
p t ( ) = v t ( ) ⋅ i t ( )
A energia recebida pelo elemento de circuito é, por definição, a integral da potência desde um instante t 0 até um instante t qualquer. Assim, temos:
0 0
t t
t t
W t t = ∫ p t dt = ∫ v t ⋅ i t dt
Em um Resistor
Se o ponto de operação está no primeiro ou terceiro quadrante , ou seja v(t). i(t) > 0 a potência recebida pelo resistor é positiva. Se o ponto de operação está no segundo ou quarto quadrante a potência será negativa. Assim, diz-se que um resistor é passivo se, para qualquer instante t, a potência é p(t) > 0. Portanto, um resistor passivo nunca entrega potência para o restante do circuito. Um resistor não armazena energia recebida da fonte de energia, mas sim, a dissipa sob forma de calor.
2 2
v t
p t v t i t Mas v t R i t e i t
R
v t
Então p t ou p t R i t
R
Ambas as equações caracterizam a potência dissipada por um resistor. 11
Do indutor, tem-se que: ( ) (^ )^ ( ) ( ) (^ )
0
0 ,
t
t
di t di t v t L assim W t t i t L dt dt dt
= ⋅ = (^) ∫ ⋅ ⋅
Considerando que, para t 0 o valor da corrente no indutor é i(0), para t o valor da corrente é i(t), chega-se a:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 (^ ) 0 (^0 )
, 2
i t^ i t
i (^) i
i t W t t = L ⋅ (^) ∫ i t di t = L ⋅
Resolvendo a equação considerando que no instante t = 0 a corrente inicial no indutor é nula, ou seja, i(0) = 0 tem-se:
( ) 2 ( )
W t = ⋅ L i ⋅ t
Formas de Ondas Típicas
Nos circuitos elétricos as fontes de energia sempre estão presentes e seus
13
Nos circuitos elétricos as fontes de energia sempre estão presentes e seus sinais de saída podem ser descritos por diferentes funções matemáticas. As mais comuns são:
A função constante é a forma de onda mais simples, sendo descrita por:
f t ( ) = K
Para qualquer valor de t, a função é uma constante.
A função degrau unitário é a função que é igual a zero para todos os valores negativos de seu argumento e igual a 1, para todos os valores positivos de seu argumento.
( )
1 0 0 0
se t u t se t
^ ≥ = (^) <
Denominando a função por u(t) sua descrição matemática é dada por:
A função degrau unitário pode ser usada para representar tensões ou correntes com descontinuidades finitas. Por exemplo, um degrau de tensão de V volts é representado pelo produto V · u(t). Assim, esta tensão será igual a 0 para t < 0 e será igual V para t ≥ 0. A figura abaixo mostra a função degrau unitário.
- Função Degrau Unitário Atrasada
14
- Função Degrau Unitário Atrasada
Generalizando a definição da função degrau unitário e trocando t por t – t 0 , tem-se:
( ) 0 0 0
se t t u t t se t t
^ ≥
A função u(t – t 0 ) é a função u(t ) atrasada de um tempo de t 0 segundos. A figura abaixo mostra o gráfico de uma função degrau unitário atrasada.
Sua singularidade na origem é tal que, para qualquer ξ>0, tem-se:
( ) t dt 1
ξ
ξ
−
∫^ =
Intuitivamente, pode-se imaginar a função δ como o limite da função pulso, quando ∆→0. Fisicamente pode-se imaginar δ representando a densidade de uma carga pontual unitária localizada no eixo t, em t = 0. A figura abaixo mostra graficamente a função.
16
Se a função impulso pode ser representada por: ( ) ( )
0
δ t lim p (^) ∆ t ∆→
=
Tem-se que: (^) ( ) ( ) ( )
t ' ' ( )
x
du t u t t dt e t dt
−
= (^) ∫ =
As duas equações acima são muito utilizadas em circuitos elétricos.
As funções senoidais descrevem sinais largamente utilizados em circuitos elétricos, o que torna esses tipos de funções muito importantes na análise de circuitos. A notação a seguir representa uma função senoidal e a figura que se segue, mostra sua representação gráfica.
f (^) ( t (^) ) = A sen ⋅ (^) ( ω ⋅ + t θ)
Onde:
f(t) é a função senoidal A - é constante e denominada de amplitude da senóide;
ω - é constante e denominada de freqüência angular, dada em rad/s;
θ - é denominado de ângulo de fase.
17
