Eletronica Digital, Notas de estudo de Eletrônica

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA

UNIDADE DE JOINVILLE

CURSO TÉCNICO DE ELETRO-ELETRÔNICA

ELETRÔNICA DIGITAL

Prof. M. Sc. Mauricio Martins Taques

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Provavelmente, o primeiro sistema adotado, foi o sistema unitário baseado em um só dígito. Provavelmente um antigo pastor de ovelhas Neanderthal recorria a desenhos para saber se nenhuma cabeça havia se extraviado. Utilizava como algarismos o desenho do quadrúpede e comparava a quantidade de desenhos com a quantidade de ovelhas. Mais tarde passou a utilizar outro símbolo, pontos por exemplo, para designar uma ovelha. Nascia aí, a partir da representação concreta, a representação abstrata e com estas, novos horizontes da matemática. A partir disto, o homem atribuiu símbolos a quantidades maiores, como por exemplo, .=1 (um ponto é igual a uma unidade); ..=2 (dois pontos igual à quantidade dois); ...=3 (três pontos igual à quantidade três). Se o homem não tivesse feito isso, hoje escreveríamos o número 5 como “.....” (cinco pontos) ou “11111”. Os babilônios utilizavam grupos de luazinhas para representar grandezas de 0 a 9; Os egípcios tinham um, dois e três sinais iguais para as grandezas 1, 2 e 3 e um sinal diferente para as grandezas de 4 a 9; os romanos utilizavam sinais I, V, X, C, L, M. Estes sistemas necessitavam de outros símbolos para quantidades ainda maiores (bilhões, trilhões, etc). Presume-se que foram os indianos os que primeiramente observaram que, adotando-se uma pequena coleção de símbolos (10 no caso), a posição de um símbolo em relação a outro bastaria para indicar grandezas maiores que o número de símbolos. A idéia foi adotada e propagada pelos árabes, que denominaram símbolos de algarismos (em homenagem ao famoso matemático Al-Khowârizmê). Também foram os inventores do zero, símbolo indispensável ao sistema de numeração por ordens (também chamado de sistema de quantificação por notação posicional). Curiosamente, os árabes não utilizaram sua própria invenção. Foram eles que inventaram os signos ou símbolos (desenhos que representam as quantidades de 0 a 9) que atualmente todo o mundo ocidental usa, enquanto eles, seus inventores, não o utilizam. Nos sistemas de numeração que adotam o conceito de ordem, temos a primeira ordem representando as unidades com cada unidade representada por um símbolo diferente e em seguida, outras ordens (unitária, dezena, centena, decimal, centesimal etc). Todos eles foram inventados baseados em 2 conveniências: a) haver poucos símbolos para memorização b) possibilitar a representação de quantidades muito grandes.

1.1 Sistema Decimal

A ordem das unidades contém 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), representando as dez grandezas peculiares a este sistema. O número dez (10), formado por dois dos símbolos da ordem unitária, inaugura uma segunda ordem, a das dezenas; o 100 inaugura a 3F 0B 0 ordem, a das centenas e assim por diante. Ainda uma especulação: muito provavelmente foi o fato de termos 10 dedos nas mãos que influenciou a escolha da nossa espécie pelo sistema decimal, o que pode, sob certos aspectos, ser considerado como um fato infeliz, pois o sistema decimal não é, em absoluto, o melhor de todos. O sistema de base 12 seria muito mais vantajoso devido ao menor nímero de divisões quebradas que resulta.

1.1.1 Notação Posicional

A posição que um algarismo ocupa em relação aos demais e a base do sistema em questão nos fornece todos os subsídios necessários para o entendimento e representação de uma grandeza ou quantidade. Todos os sistemas de numeração conhecidos têm uma notação definida, igual para várias bases, que torna possível a identificação de qualquer número baseado somente nos algarismos adotados pela base e nas posições que ocupam entre si. Por exemplo: no número 1962 temos o algarismo 1 na posição que indica milhares, o 9 na posição indicativa de centenas, o 6 na de dezenas e o 2 na posição de unidades. Assim sabemos que o número 1962 é igual a:

1x1000+ 9x100+ 6x10+2x1= 1000+900+60+2=1962.

1.3 Sistema Octal

Como já diz o nome, é o sistema de base 8 e, consequentemente, contém 8 algarismos (0,1,2,3,4,5,6 e 7). É utilizado por ser um sistema que tem relação direta com o sistema binário. Veremos esta relação quando tratarmos de transformação entre bases. Neste sistema, a grandeza 8 é representada por 10 (^) 8, pois 1x8 1 +0x8 0 = 8+

1.4 Sistema Hexadecimal

Sistema numérico de base 16 (do hexa=6 e deci=10). Tem 16 algarismos que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Os símbolos A, B, C, D, E e F fazem o papel das grandezas 10,11,12,13,14,15. Usa-se as letras maiúsculas pela necessidade de termos que representar cada uma destas grandezas com um único algarismo. O sistema hexadecimal é um sistema muito utilizado em computadores. Neste sistema a grandeza 16 é representada por 10 (^) H ou 1016, pois 1x16 2 +0x16 0 = 16+1.

Exemplo: que grandeza representa o número 1ACH? Solução:1x16 2 +Ax16 1 +Cx16 0 =1x16^2 +10x16^1 +12x16^0 , uma vez que A e C representam 10 e 12 respectivamente =256+160+12=428=428 (^10)

1.5 Resumo de Sistemas Numéricos BASES NUMÉRICAS

Binária - 2 Octal - 8 Decimal - 10 Hexadecimal - 16

0 0 0 0 1 1 1 1 10 2 2 2 11 3 3 3 100 4 4 4 101 5 5 5 110 6 6 6 111 7 7 7 1000 10 8 8 1001 11 9 9 1010 12 10 A 1011 13 11 B 1100 14 12 C 1101 15 13 D 1110 16 14 E 1111 17 15 F

Sendo 2, 8 e 16 potências de 2, as conversões entre os sistemas binário, octal e hexadecimal são imediatas, como poderá ser observado a seguir.

1.8.1 Binário F 0A E Octal 8=2 3 F 0D E separa-se o número binário em grupos de 3 e transforma-se diretamente para a base 8

Ex: 10110101 2 para a base oito

10 F 0E A 110 F 0E A 1012 F 0D E 102=28; 1102=68; 101 2= 5 8 F 0D E 2658

1.8.2 Binário F 0A E Hexadecimal 16=2^4 F 0D E separa-se o número binário em grupos de 4 algarismos e transforma-se diretamente para a base 16

Ex: 10110101 2 para a base dezesseis

1011 F 0E A 01012 F 0D E 10102=A 16; 0101 2=5 16 F 0D E A5 16

1.8.3 Hexa F 0A E Binário. Cada algarismo hexadecimal gera a mesma grandeza em um grupo de 4 algarismos binários

Ex: BF1 16 F 0A E X 2

F= 1111 2

B= 1011 2 F 0A E 101111110001 2

A conversão de um número X na base genérica b1 para um em outra base b2 é efetuada através da conversão do primeiro número X (^) b1 para a base 10 e da base 10 para a base b2.

Exercícios propostos:

1) 1990 10 F 0A E X 2

2) 10101010 2 F 0A E X 10, X 8, X 16

3) 4010 F 0A E X H

4) 54128 F 0A E X 10

5) F8 H^ F 0A E X 10

6) 110111 2 F 0A E X 10

7) F8 H F 0A E X 10

8) 2010 F 0A E X 8

9) 273910 F 0A E X H

10) 1001100 2 F 0A E X 10

1.9 Vocábulos utilizados na eletrônica digital:

bitF 0A E O vocábulo surgiu da contração abreviada de “binary digit” do inglês e representa os valores possíveis que uma variável lógica (binária) pode assumir, 0 e 1.

byteF 0A E grupo ou palavra de 8 bits (ex: 010111010)

nibbleF 0A E grupo ou palavra de 4 bits (ex: 0111)

word = palavraF 0A E Palavra é qualquer conjunto de bits que contém ou representa um item de informação

2. CÓDIGO BCD

Do inglês “ Binary Coded Decimal ” ou código decimal codificado em binário. Características: Representa as grandezas decimais (0,1, ..., 9); utiliza uma palavra de 4 bits ( nibble ); Os pesos de cada posição dos bits são iguais ao sistema binário, ou seja, 2 3 ,2^2 ,2^1 .2^0 =8,4,2,1; usa-se somente 10 das 16 possíveis combinações de um nibble para representar as quantidades de zero a nove.

Decimal BCD natural - pesos 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1

3. TEOREMAS DA ÁLGEBRA BOOLEANA

3.1 Introdução

Em 1854, George Boole, escreveu um trabalho que serviu de base para a teoria matemática de proposições lógicas. Esta teoria foi utilizada em 1938 por Claude Elwood Shanon na simplificação lógica de funções usadas em telefonia. Toda esta álgebra está centrada na existência de somente 2 valores possíveis para uma variável ou função (falso-verdadeiro, certo-errado, tudo-nada, +5V-0V, ...)

3.2 Constantes e Variáveis

As variáveis da álgebra de Boole diferem das da álgebra comum por só assumirem um entre 2 valores constantes distintos (0 ou 1). Em um circuito lógico digital estes 2 valores possíveis representam a existência e a inexistência de uma determinada condição como, por exemplo, nível lógico 0 igual a 0 volt e nível lógico 1 igual a +5V (lógica positiva). Uma variável é representada por uma letra maiúscula qualquer e só pode assumir dois valores: 0 ou 1.

3.3 Expressões Booleanas Na álgebra comum podemos ter uma variável y dependente de uma ou mais variáveis independentes (x, z, ...). Diz-se, portanto, que: