Introdução à Física Eletromagnética: Cargas Elétricas e Interações, Resumos de Física

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ELETROSTÁTICA (Carga elétrica)

Professor Cleomacio Miguel da Silva

1. CARGA ELÉTRICA

Verifica-se experimentalmente que certas substâncias, quando atritadas, adquirem a propriedade de atrair ou

repelir outros corpos atritados. Esta observação remonta à Grécia Antiga, pois o filósofo grego Tales de Mileto (540 –

546 a.C.) já tinha observado que, ao atritar um pedaço do material âmbar, esse atraía pequenos objetos, tais como

palhas e penas.

Suponhamos que dois bastões de vidro tenham sido atritados individualmente com pedaços de seda. Ao

aproximá-los, constata-se a existência de forças agindo nos bastões no sentido de repeli-los, conforme indica a

Figura 1.

Figura 1 - Forças de repulsão

Vamos a seguir aproximar um bastão de vidro atritado com seda de uma ebonite (borracha enrijecida)

atritado com lã. Neste caso, constata-se a existência de forças agindo nos bastões no sentido de aproximá-los

conforme mostra a Figura 2.

Figura 2 - Força de atração

Analisando essas experiências, concluímos que as forças, no primeiro caso de repulsão e no segundo de

atração, não são gravitacionais, uma vez que, elas somente existem depois de os bastões terem sido atritados e

ainda porque as forças gravitacionais são sempre atrativas.

Podemos então admitir que os bastões depois de atritados adquirem “algo” que é responsável pelo

aparecimento de forças. A esse “algo” denominamos de carga elétrica. Hoje, podemos afirmar que o âmbar adquiria

uma carga elétrica ou se tornava carregada. O termo “elétrico” deriva-se da palavra elektrom , que significa âmbar.

Então, quando corpos se atraem ou se repelem, pelo fato de terem sido atritados, dizemos que possuem cargas

elétricas ou que estão eletrizados.

Da constatação da existência de forças de repulsão e forças de atração, dependendo do caso, somos levados

a admitir a existência de dois tipos de cargas elétricas. Esta conclusão, já há muito tempo houvera sido tirada por

Charles François DuFay (1688 – 1739), através de uma experiência em que utilizou uma folha de ouro e um bastão

de vidro, previamente atritados, Benjamin Franklin (1706 – 1790) sugeriu denominar, respectivamente, de carga

negativa e de carga positiva esses dois tipos de carga elétrica. De acordo com esta nomenclatura e com as

experiências dos bastões, pode-se anunciar o princípio da atração e repulsão das cargas do seguinte modo:

“Corpos eletrizados com cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e corpos eletrizados com cargas de sinais

diferentes se atraem.”

1.1. MATÉRIA E CARGA ELÉTRICA

Para explicarmos a eletrização dos bastões, devemos recorrer à análise dos átomos constituintes dos mesmos,

isto é, a teoria atômica da matéria, a matéria é constituída de átomos. Os átomos têm uma parte central chamada

núcleo e uma região periférica chamada eletrosfera. O núcleo é formado fundamentalmente de dois tipos de

seja, que não troque cargas com nenhum outro corpo, podendo apenas haver transferência de carga de um dos

corpos para o outro.

Vamos admitir que os corpos estejam inicialmente eletrizados com as cargas 𝑞

1

e 𝑞

2

, respectivamente, conforme

mostra a Figura 4.

Figura 4 - Corpos eletricamente isolados

Suponhamos que, por um processo qualquer, houve transferência de carga de um corpo para o outro até

que as cargas ficassem sendo, respectivamente 𝑄 1

e 𝑄

2

, ocasião em que a transferência foi interrompida.

Figura 5 - Corpos elétricos após o contato

Ocorrendo transferência de carga e sendo o sistema isolado, se a carga de um dos corpos aumentou a do

outro necessariamente diminuiu da mesma quantidade. Assim, a carga total do sistema antes e após a transferência,

é a mesma, isto é:

𝑞

1

• 𝑞

2

= 𝑄

1

• 𝑄

2

(2)

O resultado dado pela Equação 2 traduz matematicamente o princípio da conservação das cargas elétricas

que pode ser assim enunciado:

“A soma algébrica das cargas dos corpos constituintes de um sistema eletricamente isolado é constante.”

1.4. CONDUTORES E ISOLANTES

Os materiais podem ser classificados em duas categorias em relação às cargas elétricas: condutores e

isolantes ou dielétricos. A separação dos materiais em condutores e isolantes é gradual, existindo desde os bons

condutores até os muito bons isolantes. Os materiais que ocupam uma posição intermediária nessa classificação

são chamados de semicondutores. São bons condutores os metais e o carbono, bons isolantes a mica, a ebonite,

o plástico e o vidro, e semicondutores o silício, o germânio e a madeira.

Os materiais sólidos e condutores apresentam a seguinte característica:

“Os átomos dos sólidos condutores possuem elétrons livres que são elétrons que não estão presos aos núcleos

dos átomos. Os elétrons livres, mesmo sob a ação de uma força de pequena intensidade, abandonam o átomo e

movem-se pelos espaços interatômicos.” A movimentação desses elétrons produz a transferência da carga

elétrica através do metal.

Quando um condutor suportado por um isolante é eletrizado, a sua carga se distribui por toda a superfície

externa, pois tratando-se de cargas de mesmo sinal, elas se repelem, e sendo livres, procuram o maior

afastamento relativo possível, o que corresponde à distribuição na superfície externa. Várias experiências

confirmam esta afirmação. Consideremos dois condutores conforme mostra a Figura 6.

Figura 6 - Condutores carregados

Se eletrizarmos um condutor e o ligarmos à Terra por meio de um fio metálico, portanto condutor, as suas

cargas elétricas se distribuirão por ele, pelo fio metálico e pela Terra, que são todos condutores. Sendo assim, o

condutor ficará com uma quantidade de carga tão pequena, pelo fato de suas dimensões serem muito pequenas

quando comparadas à com a Terra, que pode ser considerado como não eletrizado. A Figura 7 mostra o

movimento dos elétrons no caso de um condutor carregado negativamente ligado à Terra.

Figura 7 - Condutor eletricamente carregado com carga negativa ligado à Terra

Como pode ser observado na Figura 7, se um condutor eletrizado com carga negativa for ligado à Terra, os

elétrons em excesso escoam para a Terra. No caso de um condutor carregado positivamente ligado à Terra, a Terra

envia elétrons ao condutor em quantidade suficiente para torná-lo neutro. Isto é mostrado na Figura 8.

Figura 8 - Condutor eletricamente carregado com carga positiva ligado à Terra

Os isolantes são caracterizados pelo fato dos elétrons de seus átomos ficarem presos ao núcleo e

dificilmente são dele arrancados. Num isolante, praticamente, não existe nenhum elétron livre , e a carga não pode

ser transferida através do material. Quando se eletriza um isolante atritando-o com outro material, a carga por ele

adquirida permanece estática na região de aquisição, como mostra a Figura 9.

Figura 9 - Isolante atritado

1.5. TIPOS DE ELETRIZAÇÃO

A seguir abordaremos sobre três modalidades de eletrização dos corpos: eletrização por atrito, por contato e por

indução.

a) Eletrização por atrito

Por meio do atrito conseguimos eletrizar dois corpos que estejam inicialmente neutros. O atrito é o agente que

propicia a passagem de elétrons de um corpo para outro, de modo que aquele que recebe elétrons fica com excesso

c) Eletrização por indução

Este processo, assim como o processo por contato é aplicável a condutores. Para analisar este processo,

comecemos por considerar um corpo qualquer A, eletrizado positivamente, e um corpo condutor B, inicialmente

neutro, o qual queremos eletrizar.

Aproximando o corpo A do B, elétrons livres de B são atraídos pelas cargas positivas de A e vão se localizar na

região mais próxima de A. Deste modo, na região B mais afastada de A verifica-se um excesso de cargas positivas,

conforme mostra a Figura 11.

Figura 11 - Indução eletrostática

Portanto, o simples fato de estar o corpo eletrizado Ana proximidade do condutor B, provocou a separação

de cargas em B. Este fenômeno é denominado indução eletrostática. Neste caso, o corpo eletrizado A é denominado

indutor e sua carga é a carga indutora. O condutor B, que sofre o processo da separação das cargas é chamado

induzido.

Observe que até então o condutor B ainda continua neutro, pois o excesso de elétrons na região mais

próxima de A é numericamente igual ao excesso de cargas positivas da região mais afastada de A. De fato, se 𝑄 1

é a

carga total de elétrons da região mais próxima de A e se 𝑄

2

é a carga total positiva da região oposta, pelo princípio

da conservação das cargas da Equação 2, temos:

𝑞

1

• 𝑞

2

= 𝑄

1

• 𝑄

2

Como 𝑞

1

= 𝑞

2

= 0 , pois o condutor B estava inicialmente neutro. Sendo assim, temos:

0 = 𝑄

1

• 𝑄

2

∴ 𝑄

1

= −𝑄

2

Este resultado nos mostra que até então ocorreu uma distribuição espontânea de cargas, ou seja, houve

uma separação de cargas positivas e negativas em regiões distintas do induzido, de modo que ele continua neutro.

Se neste estágio da sequencia de operações que devemos realizar para conseguirmos a eletrização de B, afastamos o

indutor A, a separação das cargas do condutor B deixa de existir, isto é, deixa de existir o acúmulo de elétrons livres

em uma região B e o consequente excesso de cargas positivas na região oposta. Porém, neste estágio não iremos

afastar A e B, e sim, realizaremos mais uma operação no sentido de obter a eletrização de B. Ligaremos B à Terra por

meio de um fio condutor. Isto feito, verifica-se que B fica eletrizado com carga de sinal oposto à do indutor A,

portanto negativa, de valor 𝑄 1

. Para que isto acontecesse elétrons livres da Terra se movimentaram ao longo do fio

condutor indo até A em número suficiente para anular o excesso de cargas positivas, ou seja, para anular a carga

positiva 𝑄

2

. A Figura 12 ilustra esta situação:

Figura 12 - Indução eletrostática ligada à Terra

A seguir, ainda na presença do indutor A, isto é, sem afastá-lo, desligamos B da Terra. Nessas condições, a

situação é apresentada na Figura 13.

Figura 13 - Indução eletrotática desligada da Terra

Finalmente, afastamos o indutor A do induzido B. Em consequência, os elétrons livres de B se distribuirão

sobre a superfície externa. Portanto, B fica eletrizado negativamente, ou seja, com carga de sinal oposto à do

indutor.

O conjunto das operações descritas que culminaram com a eletrização do condutor inicialmente neutro B,

constitui a eletrização por indução.

Quando a carga do indutor A é negativa, constata-se que, após a sequencia de operações de eletrização por

indução, o condutor B fica eletrizado positivamente, ou seja, com carga de sinal oposto à do indutor A. Note que

esta eletrização decorre da movimentação dos elétrons livres de B para a Terra, pois, estes elétrons foram repelidos

pela carga negativa de A. Sendo assim, podemos afirmar que:

“Sempre que um condutor for eletrizado pelo processo de indução a sua carga será de sinal contrário ao do indutor”.

1.6. APLICAÇÕES INDUSTRIAIS

A atração e repulsão entre corpos eletricamente carregados têm muitas aplicações industriais, como a pintura

eletrostática e a xerografia.

No caso do processo de pintura eletrostática usada na indústria automotiva (ver Figura 14). Um objeto de metal

a ser pintado é conectado à Terra (indicada como “solo”) e as gotículas de tinta recebem uma carga elétrica ao

serem borrifadas. Cargas induzidas de sinal contrário surgem no objeto ante a aproximação das gotículas, e elas

atraem as gotículas para a superfície. Esse processo minimiza o excesso causado por nuvens de partículas de tinta

desgarradas e produz um acabamento especialmente uniforme.

Figura 14 - Processo de pintura eletrostática

As impressoras a laser constituem um exemplo de aplicação tecnológica das forças entre objetos carregados (ver

Figura 15). Inicialmente, o cilindro fotossensível da impressora recebe uma carga positiva. Quando o cilindro gira, um

raio laser ilumina as áreas selecionadas do cilindro, deixando-as com carga negativa. As partículas com cargas

positivas do toner aderem somente às áreas do cilindro “escritas a laser”. Quando uma folha de papel entra em

contato com o cilindro, as partículas de pó aderem à folha, reproduzindo a imagem.

𝐹𝛼

1

𝑟

2

(3)

Posteriormente, chegou-se à conclusão de que a intensidade da força 𝐹

⃗

era diretamente proporcional ao

produto das cargas 𝑞

1

e 𝑞

2

que participam da interação, isto é:

𝐹𝛼𝑞

1

𝑞

2

( 4 )

Este resultado pode ser obtido, considerando duas cargas puntiformes 𝑞

1

e 𝑞

2

de mesmo sinal em esferas

pequenas de pesos 𝑃 1

e 𝑃

2

conhecidos, estando 𝑞

1

fixa em um suporte isolante e 𝑞

2

suspensa por um fio isolante

que tem a outra extremidade fixa. Aproximando estas cargas, ocorre um deslocamento da carga 𝑞 2

devido à força 𝐹

⃗

de repulsão, de tal modo que ela fica em equilíbrio numa posição que faz um ângulo 𝜃 com a vertical, como mostra a

Figura 16.

Figura 16 - Condições de equilíbrio entre duas cargas positivas

Como 𝑞

2

está em equilíbrio na posição indicada na Figura 16, temos:

𝐹 − 𝑇 sin 𝜃 = 0 ∴ 𝐹 = 𝑇 sin 𝜃

𝑇 cos 𝜃 − 𝑃

2

= 0 ∴ 𝑃

2

= 𝑇 cos 𝜃

∴ 𝐹 = 𝑃

2

tan 𝜃

(5)

Como o peso 𝑃

2

da carga 𝑞

2

é conhecido, basta medir o ângulo 𝜃 e aplicar a Equação 5 para obter o valor de F.

Numa segunda experiência, duplica-se a carga suportada pelo isolante, que passa a ser 2 𝑞

1

, e verifica-se que a

nova posição de equilíbrio da carga 𝑞 2

ocorre para um ângulo 𝜃′ > 𝜃. Aplicando a Equação 5 para a nova posição de

equilíbrio, temos:

𝐹

′

= 𝑃

2

tan 𝜃′ (6)

Comparando-se os valores de 𝐹 e 𝐹′, concluímos que:

𝐹

′

= 2 𝐹 ( 7 )

Procedendo de modo análogo com 3 𝑞

1

, 4 𝑞

1

, etc., verifica-se que a força passa a ter intensidade 3 𝐹, 4 𝐹, etc.

Deste modo, resulta que 𝐹𝛼𝑞

1

𝑞

2

. Ora sabemos que se uma grandeza é proporcional à varias outras, é proporcional

ao produto delas. Aplicando esta propriedade à interação eletrostática, podemos escrever:

𝐹𝛼

1

𝑟

2

e 𝐹𝛼𝑞

1

𝑞

2

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

2

( 8 )

Para transformar esta proporcionalidade numa igualdade, utilizaremos uma constante de proporcionalidade.

Representando esta constante pelo símbolo K, podemos escrever:

𝐹 = 𝐾

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

2

( 9 )

A Equação 9 é conhecida como Lei de Coulomb que pode ser assim enunciada:

“A intensidade da força de interação (atração ou repulsão) entre duas cargas puntiformes é diretamente

proporcional ao produto destas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa”.

Observe que, embora sejam conhecidas as unidades de força e distância no Sistema Internacional (S.I.) que

são, respectivamente, Newton (N) e metro (m), está ainda por ser definida a unidade de carga nesse sistema. Antes

de defini-la não é possível determinarmos experimentalmente a constante K. por outro lado, fixando-se um valor

para K, no S.I., resulta a unidade de carga nesse sistema. Estudos subsequentes de Magnetismo mostraram que no

S.I., o valor conveniente a ser adotado para a constante K quando as duas cargas situam-se no vácuo é:

𝐾 = 9 × 10

9

. Adotando-se esse valor, temos:

𝐹 = 9 × 10

9

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

2

∴ 𝑞

1

𝑞

2

=

𝐹𝑟²

9 × 10

9

( 10 )

A partir da Equação 10, podemos definir a unidade de carga no S.I. Esta unidade recebe o nome de Coulomb

e sua definição é a seguinte:

“O Coulomb é a carga que, ao ser localizada no vácuo, à distância de 1m de outra carga igual, também no vácuo,

repele-se com uma força de intensidade 9 × 10

9

𝑁".

Como efeito, fazendo 𝐹 = 9 × 10

9

N e r = 1m, resulta:

𝑞

1

𝑞

2

=

9 × 10

9

. 1²

9 × 10

9

= 1

E sendo 𝑞

1

= 𝑞

2

, resulta:

∴ 𝑞

1

= 𝑞

2

= 1 𝐶

O Coulomb é uma unidade muito grande, isto é, para que um corpo tenha a carga de 1C ele deverá ter um

excesso de cargas positivas muito elevado. Por isso, na pratica, usam-se os seguintes submúltiplos dessa unidade:

1 microcoulomb

( 1 𝜇𝐶

) = 10

− 6

𝐶

1 nanocoulomb

( 1 𝑛𝐶

) = 10

− 9

𝐶

1 picocoulomb( 1 𝑝𝐶) = 10

− 12

𝐶

Usando a Equação 10, pode-se determinar a unidade de K no S.I. Assim, temos:

𝐾 =

𝐹𝑟²

𝑞

1

𝑞

2

=

𝑁. 𝑚²

𝐶. 𝐶

=

𝑁. 𝑚²

𝐶²

∴ 𝐾 =

𝑁. 𝑚²

𝐶²

Geralmente escreve-se:

𝐾 =

1

4 𝜋𝜀

Assim, a Lei de Coulomb assume a seguinte forma:

𝐹 =

1

4 𝜋𝜀

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

2

Onde 𝜀 é denominada de permissividade do espaço livre. O fator 4 𝜋 é introduzido no denominador para

simplificar fórmulas subsequentes.

Quando o meio é o vácuo, a permissividade elétrica é representada por 𝜀

0

. Como,

𝐾 =

1

4 𝜋𝜀

= 9 × 10

9

N. m²/C²

temos:

𝜀

0

=

1

4 𝜋 × 9 × 10

9

N. m²/C²

∴ 𝜀

0

= 8 , 85 × 10

− 12

𝐶²/𝑁. 𝑚²

Portanto, quando as duas cargas puntiformes estão situadas no vácuo, a expressão matemática da Lei de

Coulomb utilizando o valor de 𝜀

0

, é:

𝐹 =

1

4 𝜋𝜀

0

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

2

( 11 )

Assim, de acordo com a Equação 11, podemos afirmar que a intensidade da força de interação entre duas

cargas puntiformes situadas a uma fixada distância, depende do meio em que estão localizadas as cargas. O módulo

da força na Lei de Coulomb se torna:

𝐹 =

1

4 𝜋𝜀

0

|𝑞

1

| |𝑞

2

|

𝑟

2

( 12 )

1.8. SUPERPOSIÇÃO DAS FORÇAS ELÉTRICAS

A Lei de Coulomb, conforme foi enunciada, descreve apenas a interação entre duas cargas puntiformes.

Quando duas cargas exercem forças sobre uma terceira carga, a experiência mostra que a força total exercida sobre

a terceira carga é dada pela soma vetorial das forças que as duas cargas exercem individualmente. Essa importante

propriedade denominada princípio da superposição das forças , pode ser aplicada para um número qualquer de

cargas. Usando esse princípio, podemos aplicar a Lei de Coulomb para qualquer conjunto de cargas.

Teoricamente, a Lei de Coulomb só poderia ser usada para cargas puntiformes no vácuo. Quando existe

matéria no espaço entre as cargas a força resultante sobre cada carga se altera porque ocorre o fenômeno da

indução de cargas elétricas nas moléculas do material do meio considerado. Contudo, na prática, podemos usar a Lei

de Coulomb sem nenhuma alteração para cargas puntiformes no ar. Para a pressão atmosférica normal, a presença

do ar altera o valor da força elétrica no vácuo em apenas uma parte em 2000.

Sendo assim, a força elétrica é dada por:

𝐹

⃗

= 𝐾

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

2

𝑟̂ = 𝐾

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

2

(

𝑥

𝑖⃗

• 𝑦

𝑗⃗

• 𝑧

𝑘

⃗⃗

𝑟

)

Porém, deve-se levar em consideração as devidas simplificações em cada caso.

∴ 𝐹

⃗

= 𝐾

𝑞

1

𝑞

2

𝑟

3

𝑟⃗

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dois condutores de mesma dimensão, eletrizados com cargas 𝒒

𝟏

e 𝒒

𝟐

, são colocados em

contato. Determine o valor da carga de cada condutor após o contato.

SOLUÇÃO

Suponhamos as seguintes situações:

Usando a lei de conservação da carga, como mostra a Equação 2, temos:

𝑞

1

• 𝑞

2

= 𝑄

1

• 𝑄

2

Como 𝑄

1

= 𝑄

2

, vem

𝑞

1

• 𝑞

2

= 𝑄

1

• 𝑄

1

∴ 𝑄

1

=

𝑞

1

• 𝑞

2

2

Assim, finalmente,

𝑄

1

= 𝑄

2

=

𝑞

1

• 𝑞

2

2

2. Duas esferas condutoras de mesmo raio foram eletrizadas separadamente e adquiriram,

respectivamente, as seguintes cargas: positiva 𝒒 e negativa −𝟑𝒒. A seguir foram colocadas em

contato até que não mais ocorresse transferência de cargas de uma para outra. Determine as

cargas por elas armazenadas após a transferência.

SOLUÇÃO

1

= 𝑞 e 𝑞

2

A carga comum após a troca de cargas por contato, é:

𝑄

1

= 𝑄

2

=

𝑞

1

• 𝑞

2

2

=

𝑞 − 3 𝑞

2

∴ 𝑄

1

= 𝑄

2

= −𝑞

Logo, no final, cada esfera condutora estará armazenando a carga negativa q.

3. Três esferas metálicas A, B, C são de dimensões idênticas. Inicialmente a esfera A está

eletrizada com uma carga negativa de módulo 𝟒𝑸 , a esfera B está eletrizada com uma

carga positiva de módulo 𝟐𝑸 e a esfera C está neutra. Colocam-se em contato as esferas A

e C, B e A e B e C, sucessivamente, nesta ordem. Determine a carga final da esfera C.

SOLUÇÃO

As esferas são condutoras por serem metálicas. Inicialmente, temos:

𝐴

𝐵

𝑐

Sendo as esferas idênticas, temos:

𝐴

𝐶

𝐴

𝐶

𝐴

𝐶

A seguir é feito o contato de B com A, portanto:

𝐵

𝐴

𝐵

𝐴

𝐵

𝐴

Finalmente, é feito o contato de B com C, resultando:

𝐵

𝐶

𝐵

𝐶

𝐶

Deste modo, após estes sucessivos contatos, a carga armazenada pela esfera metálica C é

negativa e de módulo Q.

4. A massa de um nêutron é maior que a do próton, de tal forma que a diferença 𝒎

𝒏

𝒑

= 𝟗, 𝟏 × 𝟏𝟎

−𝟑𝟏

kg. Quando o nêutron se apresenta fora do núcleo, ele se dissocia num

próton e num elétron (o nêutron é estável quando esta no núcleo do átomo). Calcule a

massa do nêutron. Dado: 𝒎

𝒑

𝒆

SOLUÇÃO

O nêutron decai pela reação:

1

1

1

1

− 1

0

Pela conservação da massa, vem:

𝑛

𝑝

𝑒

𝑒

𝑒

𝑛

𝑒

Como,

𝑛

𝑝

= 9 , 1 × 10

− 31

𝑒

𝑛

= 1841 × 10

− 31

𝑛

≅ 1 , 67 × 10

− 27

kq

5. Calcule o número de Coulombs de carga positiva que estão presentes em 25 cm³ de água

(neutra). (Sugestão: um átomo de hidrogênio contém um próton; um átomo de oxigênio

contém oito prótons).

SOLUÇÃO

Como um átomo de 𝐻 = 1 𝑝𝑟ó𝑡𝑜𝑛 e um átomo de 𝑂 = 8 𝑝𝑟ó𝑡𝑜𝑛𝑠, então, uma molécula de

2

𝑂 tem 10 prótons. Como V = 250cm³, temos:

3

Massa molar da água: 18g.

O número de moles é:

′

1

1

2

1

2

2

1

2

2

2 × 10

− 2

2

⇒ 2 , 25 × 10

− 5

9 × 10

9

1

2

4 × 10

− 4

1

2

² = 4 × 10

− 18

1

2

= 2 × 10

− 9

Substituindo ① em ②, temos:

− 1 , 6 × 10

− 18

2

2

= 2 × 10

− 9

Resolvendo a equação e calculando os valores de 𝑞

1

e 𝑞

2

, temos:

1

× 10

− 9

1

× 10

− 9

2

× 10

− 9

2

× 10

− 9

7. Na Figura abaixo, a Partícula 1 de carga +4e, está a uma distância 𝒅

𝟏

= 𝟐 mm do solo e a

Partícula 2, de carga +6e, está sobre o solo, a uma distancia horizontal 𝒅

𝟏

= 𝟔 mm da

Partícula 1. Qual é a componente x da força eletrostática exercida pela Partícula 1 sobre a

Partícula 2?

SOLUÇÃO

Fazendo uma análise vetorial, temos:

Em relação aos vetores unitários, temos:

21

21

21

Em relação a x, vem:

21 𝑥

21 𝑥

21 𝑥

Mas,

21

21

Semelhante, temos:

21 𝑥

21 𝑥

21 𝑥

Porém, é necessário verificar as componentes do vetor 𝑟⃗.

Fazendo isto, temos, em relação ao posicionamento de y, um vetor unitário 𝑗 ̂de

componente – 𝑑

1

em relação ao solo. Analogamente, temos para x o vetor unitário 𝑖̂ com

componente +𝑑

2

. Sendo assim, o vetor 𝑟⃗ e – 𝑟⃗ = 𝑑

2

1

2

1

𝑗̂. Mas,

21 𝑥

21 𝑥

1

2

2

1

Tomando, 𝐹

21 𝑥

, temos:

21 𝑥

1

2

2

A multiplicação 𝐾

𝑞 1

𝑞 2

𝑟²

−𝑑 1

𝑟

) 𝑗̂ é igual a zero, pois, em relação a x, 𝑗̂ é ortogonal. Logo,

21 𝑥

1

2

2

Mas, 𝑟 = √𝑑

2

1

². Então,

21 𝑥

1

2

2

2

1

1

2

2

2

1

3 / 2

Substituindo-se os respectivos valores, temos:

21 𝑥

1 , 31 × 10

− 23

Neste caso, como 𝐹

21 𝑥

21 𝑥

𝑖̂, teremos:

21 𝑥

= 1 , 31 × 10

− 23

Porém, é possível calcular a força da interação entre as cargas 1 e 2. Para tanto, deve-se

calcular o valor da componente de y. Sendo assim, temos:

21 𝑦

21 𝑦

21 𝑦

21 𝑦

2

1

21 𝑦

21 𝑦

2

21 𝑦

1

𝐹

21 𝑦

𝑑

2

𝑖̂

𝑟

é zero, pois o vetor 𝑖̂ é ortogonal a 𝑗̂. Então:

21 𝑦

21 𝑦

1

21

1

2

1

21 𝑦

1

2

1

Substituindo os respectivos valores, temos:

21 𝑦

= (− 0 , 44 × 10

− 22

Mas,

21 𝑥

21 𝑥

21 𝑥

21 𝑥

= ( 1 , 31 × 10

− 23

𝑁)𝑖̂ − ( 0 , 44 × 10

− 22

8. De acordo com o modelo de Bohr, um átomo de hidrogênio consiste em um elétron que

gira em torno de um próton, em órbita circular. O raio da órbita eletrônica de Bohr no

hidrogênio é 𝟎, 𝟓𝟑 × 𝟏𝟎

−𝟖

cm. Determine:

a) a força entre o elétron e o próton;

SOLUÇÃO

De acordo com o modelo de Bohr, temos:

10. Na figura abaixo, indicamos duas esferas idênticas que recebem iguais cargas negativas.

As esferas são suspensas por fios de comprimento 10 cm cada um e formam entre si um

ângulo de 60 ° após a aplicação das cargas.

Calcule:

a) a intensidade da força eletrostática entre as esferas;

SOLUÇÃO

Fazendo um diagrama de força, temos:

tan 60° =

𝐸

𝐸

0 , 001 × 10

𝐸

𝐸

≅ 5 , 58 × 10

− 3

b) quantos elétrons foram adicionados a cada esfera;

SOLUÇÃO

⇒ 5 , 8 × 10

− 3

9 × 10

9

∴ 𝑞 = 0 , 8 × 10

− 7

Mas,

𝑞 = 𝑛𝑒 ⇒ 0 , 8 × 10

− 7

= 𝑛. 1 , 6 × 10

− 19

∴ 𝑛 = 5 × 10

11

𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛𝑠

c) a intensidade da força gravitacional entre as esferas. Dados: 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒂 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 =

𝟏𝒈; 𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎

−𝟏𝟏

𝑵𝒎

𝟐

𝒌𝒈

𝟐

𝒎

𝒔

𝟐

SOLUÇÃO

1

2

= 6 , 67 × 10

− 11

0 , 001 × 0 , 001

𝐹 ≅ 6 , 67 × 10

− 15

11.Nos vértices de um triangulo equilátero ABC de lado 1m, situado no vácuo, são colocados

respectivamente as cargas 𝒒

𝟏

𝟐

𝟑

= 𝟏𝟎𝝁𝑪. Calcule a intensidade

da força resultante que age na carga 𝒒

𝟑

situada no vértice C.

SOLUÇÃO

A resultante 𝑅

31

32

. Porém, é possível calcular o módulo de 𝑅

usando a lei de

Coulomb. Logo,

31

32

31

32

cos 120° = 𝐹

31

32

31

32

31

32

31

32

Mas,

31

1

2

2

9 × 10

9

× 10

− 6

× 10

− 6

× 100

2

31

= 9 × 10

− 1

32

2

3

9 × 10

9

× 10

− 6

× 10

− 6

× 100

2

32

= 9 × 10

− 1

Logo,

( 9 × 10

− 1

)² + ( 9 × 10

− 1

2

− 9 × 10

− 1

× 9 × 10

− 1

𝑅 = 9 × 10

− 1