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Trabalho da Equação da Continuidade
- Considere o seguinte campo de velocidade permanente, tridimensional em coordenadas
cartesianas:
v=( ax y
2
−b ) i+c y
3
j+dxy k
; onde a, b, c e d são constantes. Sob que condições esse
campo de escoamento é incompressível?
RESPOSTA :
Para um escoamento incompressível, tem-se a condição:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂ z
= 0 ∴ ( a y
2
) +( 3 c y
2
Logo, tem-se que a condição para incompressibilidade do escoamento na equação:
a y
2
2
Logo, a relação entre
a e
c :
a y
2
=− 3 c y
2
∴ a=− 3 c
Portanto, o escoamento é incompressível sob a condição de que a seja igual a − 3 c.
- Verifique se o escoamento descrito através do campo de velocidade abaixo é incompressível ou
compressível.
v=x
2
i+( x+ z) j− 2 xz k
RESPOSTA :
Como observado na questão 1, uma condição para o escoamento incompressível é que a seguinte
expressão seja satisfeita:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂ z
Assim, aplicando as componentes de velocidade:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂ z
= 0 ∴ ( 2 x ) +( 0 ) +(− 2 x )= 0
Logo:
Com essa condição, pode-se afirmar que o escoamento descrito é incompressível.
- Um fluido escoa ao longo de um duto cilíndrico com velocidade
V
z
=z
r
2
R
2
cos t
Onde
R
é o raio do duto. Elementos resfriadores e aquecedores estrategicamente colocados no
tubo produzem uma variação de densidade somente com o raio r e o tempo t. No instante t=π,
ρ=ρ
0
. Determine uma expressão para a densidade ρ.
RESPOSTA :
Em coordenadas cilíndricas, para fluidos compressíveis, tem-se:
∇ ∙ ρv=
−∂ ρ
∂ t
ρr v
r
∂ r
r
ρ v
θ
∂θ
ρ v
z
∂ z
ρ v
z
∂ z
Substituindo
v
z
−∂ ρ
∂t
ρ v
z
∂ z
∂ z
ρz
r
2
R
2
cos t
= ρ
r
2
R
2
cos t
Logo:
−∂ ρ
∂t
=ρ
r
2
R
2
cos t ∴
dρ
ρ
r
2
R
2
cos t dt ∴ ∫
ρ
dρ=
r
2
R
2
∫
cos t dt
Assim, tem-se:
ln ( ρ) =
r
2
R
2
sin t +C
Seja as condições iniciais fornecidas, logo:
ln
ρ
0
r
2
R
2
sin π +C ∴ C=ln
ρ
0
Dessa forma, substituindo
C
na equação:
ln
ρ
r
2
R
2
sin t +ln ( ρ
0
) ∴ ln
ρ
ρ
0
r
2
R
2
sin t ∴
ρ
ρ
0
=e
1 −
r
2
R
2
sint
Por fim, a expressão para a densidade ρ é encontrada:
ρ=ρ
0
e
1 −
r
2
R
2
sint
- Considere o campo de velocidade permanente, bidimensional dado por
v=( 1,3+2,8 x ) i+( 1,5−2,8 y ) j. Determine: a) a componente de velocidade na direção x; b) a
componente de velocidade na direção y e c) verifique se esse campo de escoamento é
incompressível.
RESPOSTA :
Verificando a incompressibilidade do escoamento:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂ z
Logo:
Assim, verifica-se que a expressão da continuidade para escoamentos incompressíveis é satisfeita e,
portanto, o escoamento é incompressível.
- A componente de velocidade
u (direção
x ) de um campo de escoamento permanente,
bidimensional, incompressível é
u=ax +b , onde
a e
b são constantes. A componente de velocidade
v é desconhecida. Encontre uma expressão para v.
RESPOSTA :
Seja a velocidade bidimensional e incompressível, como mencionado, assumindo que a bidimensionalidade
é referente à
x e
y , utilizando a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂ z
∂ w
∂ z
Logo, como se tem
u , resolve para
v :
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ v
∂ y
−∂ u
∂ x
∂ x
( ax+ b)=−a
Assim:
∂ v
∂ y
=−a
Integrando:
v=−ay +C
Como foi assumido que v é bidimensional em x e y, logo, pode-se assumir que:
v=−ay +C (x)
- São conhecidas duas componentes da velocidade de um campo de escoamento permanente,
bidimensional, incompressível: u=ax +bxy +c y
2
e v=axz−by z
2
, onde
a ,
b e
c são constantes. A
componente de velocidade
w é desconhecida. Encontre uma expressão para
w .
RESPOSTA :
Seja as componentes de velocidade fornecidas e um escoamento incompressível, utilizando a equação da
continuidade para escoamentos incompressíveis:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂ z
Logo, como se tem u e v, resolve para w:
∂ u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ w
∂ z
∂ w
∂ z
−∂u
∂ x
∂ v
∂ y
∂ x
( ax+bxy+c y
2
∂ y
( axz−by z
2
Assim:
∂ w
∂ z
=−( a+by )−( −b z
2
) =−a−by +b z
2
Integrando:
w=−az−byz +
b z
3
+C
Como foi assumido que o campo de escoamento é bidimensional em x e y, logo, pode-se assumir que:
w=−az−byz +
b z
3
+C
x , y
- Imagine um escoamento permanente, bidimensional, incompressível que é puramente circular no
plano
xy ou
rθ
. Em outras palavras, a componente de velocidade
v
θ
é diferente de zero, mas
v
r
é
zero em qualquer ponto. Qual a forma mais geral do componente de velocidade de
v
θ
que não viola
a equação da conservação de massa?
RESPOSTA :
No enunciado, observa-se que o escoamento é bidimensional em
xy , em coordenadas cartesianas, ou
rθ ,
em coordenadas cilíndricas. Como o problema solicita a forma mais geral da componente de velocidade
v
θ
utiliza-se coordenadas cilíndricas. Assim, tem-se para um escoamento incompressível:
r
∂(r v
r
∂ r
r
∂(v
θ
∂ θ
∂(v
z
∂ z
Como
v
r
e
v
z
são nulos, tem-se:
r
∂(v
θ
∂θ
∂( v
θ
∂ θ
Integrando:
v
θ
=C
Como o escoamento é bidimensional em r e θ, tem-se que:
v
θ
=C ( r )
- Imagine um escoamento permanente, bidimensional, incompressível que é puramente radial no
plano
xy ou
rθ
. Em outras palavras, a componente de velocidade
v
r
é diferente de zero, mas
v
θ
é
zero em qualquer ponto. Qual a forma mais geral do componente de velocidade de
v
r
que não viola
a equação da conservação de massa?
RESPOSTA :
No enunciado, observa-se que o escoamento é bidimensional em xy, em coordenadas cartesianas, ou rθ,
em coordenadas cilíndricas. Como o problema solicita a forma mais geral da componente de velocidade
v
r
utiliza-se coordenadas cilíndricas. Assim, tem-se para um escoamento incompressível:
r
∂(r v
r
∂ r
r
∂(v
θ
∂ θ
∂(v
z
∂ z
Como
v
θ
e
v
z
são nulos, tem-se:
r
∂(r v
r
∂ r
∂( r v
r
∂ r
Integrando:
r v
r
=C
Como o escoamento é bidimensional em r e θ, tem-se que:
v
r
C ( θ)
r
