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EQUAÇÕES EM DIFERENÇA
1. Introdução as equações em diferença
Nas equações diferenciais ordinárias a variável independente, é continua de forma que a
variável dependente pode ser observada a cada variação infinitesimal da variável
independente, essas variações são incorporadas ou descritas na equação como derivadas de
1ª, 2ª , .., nª ordem.
Quando a variável independente ao invés de contínua for discreta, isto é, seus valores
variarem discretamente, dando saltos de um ponto a outro sem passar pelos pontos
intermediários, o operador diferencial não faz mais sentido, ao invés dele (
dy
dt
) usa-se o
operador à diferença
Δyy
Δyt
Cada valor da variável independente é um ponto e a diferença entre um valor e o
imediatamente anterior é chamado de período. Os períodos podem ser iguais, ou não, inteiros,
ou não. No caso particular, tratado aqui, trabalha-se com o caso mais simples, onde os
períodos são iguais e inteiros, mais particularmente, trabalha-se com períodos de uma
unidade.
Como a variável independente varia discretamente a variável dependente só mudaria
teoricamente de valor, quando a independente mudar, isso não significa que a variável
dependente, deve ser discreta ou assumir valores inteiros.
A variável independente por ser inteira representa geralmente um tempo discreto
como por exemplo um ano, ou uma semana, ou um semestre, ou um mês, etc.
Modelagem: Descubra o Método Recursivo para determinar o número máximo de regiões
de um plano dividido por 100 rectas.Vamos de princípio, considerar algumas divisões que se
pode obter com 1, 2, 3,... Rectas no plano.
Assim, um quadro de relações entre o número de rectas colocadas no plano e as regiões que
surgem pode ser estabelecida, isto é:
Número de
rectas
Núnero de regiões
Ainda
mais
notamos que
Então, podemos tencionar que
a
n + 1
= a
n
a
1
, é uma Forma Recursiva que nos permite
encontrar o número de regiões
a
n
ao serem colocados no plano n rectas.
a
n + 1
dá-nos a
informação do que acontece ao colocar no plano mais uma recta uma vez sabendo que
acontece com n rectas.
Às expressões como estas de
a
n + 1
chama-se lei dinâmica ou equações de diferença ou a
diferença , uma vez que podem ser escritas da seguinte forma:
a
n + 1
− a
n
= n = 1 ou ainda ( ∆ a )
n
= n +1.Á fórmula recursiva
a
n + 1
− a
n
= n + 1
a
1
, é chamado de
modelo dinâmico e a expressão de
a
1
de condições iniciais.
Contudo, à nossa fórmula recursiva para determinar o número de regiões subsequentes pela
colocação de n rectas no plano, várias inquietações podem surgir. Para evitar tudo isso, a
nossa fórmula carece de ser garantida a sua veracidade e as respectivas soluções.
Exercício: Mostre que a fórmula recursiva da tarefa 1 (procure garantir a veracidade da lei
dinâmica
a
n + 1
− a
n
= n + 1 ), tem como solução a
n
n ( n + 1 )
Observe que para resolver o exercício precisamos observar o comportamento de
a
n
quando n
varia.
Como t é inteira e unitária, então, t = 1 logo,
Δyx
Δyt
= y = y t + 1
; y t
é chamado a
primeira diferença de y no período t.
Supondo que E é o operador à diferença. Quando aplicado a uma função faz com que esta
avance em um período, ou seja, faz uma translação na função. É o equivalente ao operador
diferencial D , que quando aplicado a uma função transforma ela em sua primeira derivada.
Exemplo 1 : y t +
= 2 => ( E - 1)y t
2 : y t +
= 0 => ( E - 0,9)y t
t + 1 é o primeiro período após o período t
t - 1 é o período imediatamente anterior ao período t
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EM DIFERENÇA DA PRIMEIRA ORDEM
MÉTODO GERAL
Seja dada a equação em diferença da primeira ordem
y
t + 1
t
= c , a e c
constantes.
A solução geral será a soma de dois componentes: uma solução particular
y
p
que é qualquer
solução não – homogénea completa e outra função complementar
y
c
, que é a solução geral da
equação reduzida
y
t + 1
t
Assim, para encontrarmos
y
c
supomos y
t
= Ab
t
onde, substituimos em
y
t + 1
t
= 0 obtemos :
Ab
t + 1
t
= 0 ↔ Ab
t
b + a
e, como Ab
t
≠ 0 → b + a = 0 ↔ b =− a ,
logo teremos y
c
= A (− a )
t
Para acharmos
y
p
em
y
t + 1
t
= c , procuramos:
- As soluções constantes, isto é,
y
t
= k logo
y
t + 1
= k e, substituindo na nossa equação
teremos:
k + ak = c ↔ k ( 1 + a )= c ↔ k =
c
1 + a
; a ≠ −1. Se asim for, teremos
y
p
= k =
c
1 + a
- Se a =− 1 então
y
p
c
1 + a
não é definida. Neste caso, devemos tentar uma outra solução
da equação não – homogénea. Supõe-se neste caso que
y
t
= kt o que equivale a
y
t + 1
= k ( t + 1 ) e, substituindo na equação obtemos;
k ( t + 1 )+ akt = c ↔ k ( 1 + t + at )= c ↔ k =
c
1 + t + at
Como, pela hipótese
a =− 1 então k = c → kt = ct donde teremos como y
p
= kt = ct.
Assim, a solução geral
y
t + 1
t
= c será
y
t
= y
c
p
Exemplo:
Resolva as equações em diferenças de primeira ordem.
y
t + 1
− 5 y
t
= 1 ; y
0
y
t
= k → k − 5 k = 1 ↔ k =
→ y
p
Tomando a equação homogénea
y
t + 1
− 5 y
t
Se
y
t
= Ab
t
→ Ab
t
( b − 5 )= 0 ↔ b − 5 = 0 ↔ b = 5 → y
c
= A 5
t
Donde concluimos que
y
t
= y
c
p
teremos como solução geral
y
t
= A 5
t
e, como
y
0
temos que
= A 5
0
↔ A =2.
Portanto, a solução será
y
t
t
Exercício 1:
Converta as seguintes equações em diferença e resolva-as.
∆ y
t
∆ y
t
=0,2 y
t
∆ y
t
= 2 y
t
Exercício 2:
Use o método geral para resolver cada uma das equações em diferenças
seguintes:
a)
y
t + 1
t
= 4 ; y
0
b)
2 y
t + 1
− y
t
= 2 ; y
0
c)
y
t + 1
=0,2 y
t
0
Exercícios 2: Escreva a solução de:
y
t + 1
− y
t
=− 5 ; y
0
y
t + 1
− y
t
− 3 = 0 ; y
0
y
t + 1
− 10 y
t
= 0 ; y
0
y
t + 1
= 9 y
t
; y
0
Exercício 3 :Resolva por iteração as sguintes equações:
a)
y
t + 1
= y
t
0
b)
y
t + 1
= αyy
t
; y
0
= β
c)
y
t + 1
= αyy
t
− β
