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Cap´ıtulo 2
EQUIL´IBRIO
2.1 Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo, faz-se uma apresenta¸c˜ao das abordagens newtoniana e anal´ıtica para o tratamento de problemas de mecˆanica. Posteriormente, consideram-se conven¸c˜oes diagram´aticas para suportes e car- regamentos. Finalmente, estuda-se o equil´ıbrio de part´ıculas e corpos segundo o Princ´ıpio da Potˆencia Virtual (PPV) comparando-se com as condi¸c˜oes de equil´ıbrio dadas pelas lei de Newton. Antes de ini- ciar o conte´udo deste cap´ıtulo, torna-se essencial estudar nota¸c˜ao inidicial e revisar o conceito de vetor abordados nos Apˆendices ?? e B.
2.2 Objetivos da Mecˆanica do Cont´ınuo
Como se sabe a mat´eria n˜ao ´e cont´ınua, sendo formada de mol´eculas as quais s˜ao constitu´ıdas de part´ıculas. No entanto, v´arios fenˆomenos f´ısicos podem ser analisados sem se preocupar com a estrutura molecular dos materiais. Para isso, aplica-se a teoria dos meios cont´ınuos, a qual trata da descri¸c˜ao dos fenˆomenos f´ısicos como um todo, negligenciando o comportamento do material em menor escala. A teoria do cont´ınuo considera a mat´eria como indefinidamente divis´ıvel, sendo aceita a id´eia de um volume infinitesimal de material, o qual ´e denominado part´ıcula. Desta maneira, em qualquer vizinhan¸ca de uma part´ıcula, existe sempre material presente. A validade desta hip´otese depende da situa¸c˜ao con- siderada e deve ser comprovada atrav´es de testes e ensaios. No entanto, a aplica¸c˜ao dos conceitos de mecˆanica do cont´ınuo ´e plenamente justific´avel para v´arios casos, como por exemplo os problemas que ser˜ao analisados posteriormente neste texto. Basicamente, a mecˆanica do cont´ınuo estuda a resposta de materiais para diferentes condi¸c˜oes de carregamento. Esta teoria pode ser dividida em duas partes principais:
- princ´ıpios gerais comuns aos v´arios meios,
- equa¸c˜oes constitutivas para materiais idealizados.
Os princ´ıpios gerais s˜ao axiomas obtidos a partir da observa¸c˜ao dos fenˆomenos f´ısicos, podendo-se citar a conserva¸c˜ao de massa e energia, assim como os princ´ıpios da quantidade de momento linear e angular. Na segunda parte da teoria, tem-se as equa¸c˜oes constitutivas, as quais s˜ao empregadas para definir o comportamento de materiais idealizados, tais como o caso de um s´olido el´astico linear.
2.3. Defini¸c˜ao de Corpos 2-
2.3 Defini¸c˜ao de Corpos
Todo corpo tem como caracter´ıstica f´ısica o fato de ocupar regi˜oes do espa¸co euclidiano E. Assim, um corpo qualquer pode ocupar diferentes regi˜oes em tempos distintos. Embora nenhuma destas regi˜oes possa ser associada ao corpo, torna-se conveniente selecionar uma delas, denominada configura¸c˜ao de referˆencia B, identificando pontos do corpo com as suas posi¸c˜oes em B. Desta maneira, um corpo B passa a ser uma regi˜ao regular de E, sendo os pontos X ∈ B denominados pontos materiais. Qualquer subregi˜ao regular limitada de B ´e chamada parte. Estes conceitos est˜ao ilustrados na Figura 2.1.
Figura 2.1: Configura¸c˜ao de referˆencia B e seu contorno ∂B.
Como um corpo pode ocupar diferentes regi˜oes ao longo de um movimento, torna-se necess´ario a introdu¸c˜ao de um parˆametro t ∈ [t 0 , tf ], designando uma certa configura¸c˜ao Bt do corpo. Observa-se que em v´arios problemas t n˜ao representa necessariamente o tempo.
2.4 Abordagens Newtoniana e Anal´ıtica
Uma das maiores dificuldades ao longo da hist´oria da Mecˆanica tem sido encontrar uma representa¸c˜ao f´ısico-matem´atica satisfat´oria para o conceito de a¸c˜ao de um determinado corpo sobre a configura¸c˜ao (estado) de outro. A partir dos postulados de movimento estabelecidos por Newton, a mecˆanica desenvolveu-se ao longo de duas linhas principais. A primeira, denominada mecˆanica vetorial, parte diretamente das leis de Newton e representa a a¸c˜ao atrav´es de for¸cas, dadas por vetores segundo um certo sistema de referˆencia. Desta forma, o conceito de for¸ca surge como um ente abstrato, definido de forma totalmente desvinculada da cinem´atica adotada para modelar o problema. Essa abordagem ´e aplicada no desenvolvimento da f´ısica newtoniana, sendo a an´alise e s´ıntese de for¸cas e momentos a sua principal preocupa¸c˜ao. Leibniz, um contemporˆaneo de Newton, introduziu uma segunda linha de abordagem denominada mecˆanica anal´ıtica, a qual baseia o estudo do equil´ıbrio e do movimento em duas grandezas escalares b´asicas, ou seja, as energias cin´etica e potencial. Aparentemente mais abstrato, este tratamento traduz a experiˆencia concreta di´aria. Adota-se como elementos principais da caracteriza¸c˜ao de a¸c˜ao entre corpos o movimento e a potˆencia (trabalho) dispendida para efetu´a-lo. A partir da´ı, o conceito de for¸ca surge naturalmente, n˜ao como uma defini¸c˜ao abstrata a-priori, mas como um elemento de liga¸c˜ao entre a a¸c˜ao de movimento do corpo e a potˆencia dispendida para realiz´a-la. Esta segunda descri¸c˜ao ´e, ao contr´ario do que possa parecer, t˜ao antiga quanto a pr´opria Mecˆanica. De fato, desde os primeiros passos no sentido de dar uma estrutura matem´atica formal `a Mecˆanica, o conceito de potˆencia surgiu como algo b´asico e fundamental. Neste sentido, destacam-se os trabalhos de pioneiros como J. Bernoulli (1717), definitivamente consagrados por D’Alembert (1743). Essa descri¸c˜ao ´e tamb´em mais natural pois representa, na verdade, o enunciado matem´atico de uma experiˆencia f´ısica
2.4. Abordagens Newtoniana e Anal´Itica 2-
A lei fundamental de movimento estabelecida por Newton, ou seja, massa vezes acelera¸c˜ao ´e igual a for¸ca, ´e v´alida em primeira instˆancia apenas para uma ´unica part´ıcula. Esta lei foi deduzida para o movimento de uma part´ıcula no campo gravitacional da Terra e aplicada ao movimento de planetas sob a a¸c˜ao do sol. Nestes dois problemas, o corpo em movimento pode ser idealizado como uma part´ıcula, ou seja, um ponto simples no qual associa-se uma massa. A lei de Newton fornece uma equa¸c˜ao diferencial de movimento e atrav´es da sua integra¸c˜ao ´e poss´ıvel resolver o problema dinˆamico. Entretanto, no caso de um corpo s´olido ou fluido, as part´ıculas est˜ao associadas entre si, devendo- se tomar algumas precau¸c˜oes para aplicar a lei de Newton. Deve-se isolar uma part´ıcula das demais e determinar as for¸cas exercidas pelas part´ıculas vizinhas. Desta forma, cada part´ıcula ´e uma unidade independente seguindo a lei de movimento. Esta an´alise em termos de for¸cas torna-se trabalhosa, pois n˜ao se conhece em geral a natureza das for¸cas de intera¸c˜ao. Para resolver esta limita¸c˜ao, Newton introduziu o princ´ıpio da a¸c˜ao e rea¸c˜ao como a terceira lei de movimento. Entretanto, nem todos os problemas podem ser resolvidos atrav´es deste postulado, sendo necess´arias novas hip´oteses, como por exemplo no caso do estudo de corpos r´ıgidos. Verifica-se ainda que a abordagem newtoniana falha em fornecer uma ´unica resposta para problemas mais complexos. A mecˆanica anal´ıtica trata os problemas de uma forma diferente. A part´ıcula n˜ao ´e mais isolada, fazendo parte de um sistema como todo. Um sistema mecˆanico ´e uma montagem de part´ıculas, as quais interagem entre si. Desta maneira, uma part´ıcula simples n˜ao tem significˆancia, mas sim o sistema como um todo, n˜ao havendo a necessidade de desmembrar o sistema em partes. Ao contr´ario do tratamento vetorial, onde cada part´ıcula deve ser considerada de forma especial e a for¸ca atuante determinada independentemente das outras part´ıculas, na abordagem anal´ıtica tem-se uma ´unica fun¸c˜ao descrevendo as for¸cas atuantes nas part´ıculas do sistema. Uma outra diferen¸ca fundamental refere-se ao tratamento de condi¸c˜oes auxiliares, como no caso de rela¸c˜oes cinem´aticas conhecidas para o sistema em estudo. Por exemplo, as part´ıculas de um s´olido podem se mover como se o corpo fosse r´ıgido, ou seja, a distˆancia entre dois pontos quaisquer permanece fixa. No caso da mecˆanica newtoniana, h´a a necessidade de for¸cas para manter esta condi¸c˜ao. J´a na abordagem anal´ıtica n˜ao ´e necess´ario o conhecimento destas for¸cas, sendo levada em conta apenas a condi¸c˜ao cinem´atica estabelecida. Analogamente, para o caso de fluidos n˜ao ´e necess´ario conhecer o tipo de for¸cas presentes entre as part´ıculas. Leva-se em conta apenas o fato emp´ırico de que um fluido resiste consideravelmente a qualquer tentativa de alterar o seu volume, enquanto tem-se uma resistˆencia menor a a¸c˜oes que alterem a forma e n˜ao o volume do fluido. Logo, despreza-se a natureza das for¸cas entre as part´ıculas, estabelecendo-se condi¸c˜oes cinem´aticas tais que durante uma a¸c˜ao de movimento, o volume de qualquer parte do fluido deve ser preservada. No entanto, a principal diferen¸ca entre as duas abordagens est´a no fato de um princ´ıpio ´unico sobre o qual est´a fundamentada a mecˆanica anal´ıtica. Para um sistema complexo, o n´umero de equa¸c˜oes de movimento pode ser bastante grande. Os princ´ıpios variacionais da mecˆanica anal´ıtica permitem uma base ´unica a partir da qual derivam-se todas as equa¸c˜oes. Dado o conceito fundamental de a¸c˜ao, o princ´ıpio de estacionariedade desta a¸c˜ao resulta no conjunto de equa¸c˜oes diferenciais do sistema. Al´em disso, esta formula¸c˜ao ´e invariante com respeito a qualquer transforma¸c˜ao de coordenadas. Logo, as quatro principais diferen¸cas entre os tratamentos vetorial e anal´ıtico podem ser resumidas como:
- a mecˆanica vetorial isola a part´ıcula, tratando-a de forma individual; j´a o caso anal´ıtico considera o sistema como um todo;
- a mecˆanica vetorial constr´oi uma resultante de for¸cas para cada part´ıcula; o tratamento anal´ıtico considera uma ´unica fun¸c˜ao (energia potencial) contendo todas as for¸cas necess´arias;
- o caso vetorial deve considerar o conjunto de for¸cas necess´arias para manter qualquer rela¸c˜ao esta-
2.5. Conven¸c˜oes Diagram´aticas 2-
belecida entre as coordenadas de um sistema; na mecˆanica anal´ıtica qualquer condi¸c˜ao cinem´atica representa mais um parˆametro conhecido do sistema;
- na abordagem anal´ıtica, todo o conjunto de equa¸c˜oes pode ser desenvolvido a partir de um ´unico princ´ıpio, o qual toma a forma de minimizar uma certa a¸c˜ao. Este princ´ıpio ´e independente de qualquer sistema de coordenadas empregado, sendo poss´ıvel escolher aquele mais natural a cada problema analisado.
Ao longo deste cap´ıtulo, pretende-se mostrar estas duas abordagens para o caso de equil´ıbrio de corpos r´ıgidos. Nos cap´ıtulo seguintes, considera-se a caracteriza¸c˜ao da deforma¸c˜ao em modelos de barra, eixo e viga, procurando ressaltar as vantagens do tratamento anal´ıtico ou variacional.
2.5 Conven¸c˜oes Diagram´aticas
Como mencionado anteriormente, o objetivo b´asico da resistˆencia dos materiais ´e determinar o n´ıvel de solicita¸c˜ao de uma estrutura mecˆanica e estabelecer crit´erios para a valida¸c˜ao de seu projeto atual. Desta maneira, todo carregamento aplicado causa apenas deforma¸c˜ao na estrutura. Para isso, deve existir um n´umero suficiente de restri¸c˜oes ou suportes para evitar movimentos de corpo r´ıgido. Assim, tem-se um conjunto de restri¸c˜oes cinem´aticas, as quais devem ser satisfeitas para qualquer a¸c˜ao desenvolvida pela estrutura.
(a) Articula¸c˜ao. (b) Pino. (c) Rolete.
(d) Pino fixo. (e) Engaste.
Figura 2.4: Suportes.
2.5.1 Suportes
Torna-se essencial estabelecer algumas conven¸c˜oes para representar os suportes respons´aveis por manter uma estrutura em repouso quando submetida a carregamentos externos. Basicamente, os suportes
2.5. Conven¸c˜oes Diagram´aticas 2-
engastamento, onde al´em dos deslocamentos, tamb´em a rota¸c˜ao ´e nula. Da mesma forma, este suporte resiste a uma for¸ca em qualquer dire¸c˜ao, al´em de um momento puro. Como exemplo t´ıpico, tem-se um engastamento de uma viga num bloco de concreto. A Figura 2.5 resume as diferen¸cas entre os suportes discutidos, enfatizando as restri¸c˜oes cinem´aticas presentes, assim como as rea¸c˜oes impostas. Um outro tipo de v´ınculo encontrado frequentemente em v´arios problemas de mecˆanica, tais como contato e conforma¸c˜ao, est´a ilustrado na Figura 2.6. Esta restri¸c˜ao ´e denominada unilateral, sendo caracterizada pelo fato de que se a a¸c˜ao de movimento estiver impedida numa dire¸c˜ao, n˜ao estar´a na dire¸c˜ao oposta. Este caso induz uma n˜ao-linearidade ao problema estando fora do escopo desse texto.
(a) Real. (b) Idealizado.
Figura 2.7: Carregamento concentrado numa viga.
(a) Real. (b) Idealizado (carrega- mento constante).
(c) Real. (d) Idealizado (carrega- mento linear).
Figura 2.8: For¸cas distribu´ıdas constante e linear.
2.5.2 Carregamentos
Os carregamentos aplicados sobre uma estrutura podem ser idealizados como for¸cas concentradas, distribu´ıdas e de volume. No caso de uma viga, os carregamentos concentrados podem ser aplicados por exemplo atrav´es de um pilar, uma alavanca ou um componente rebitado como mostrado na Figura 2.7(a). Observa-se que estes arranjos aplicam a for¸ca numa parcela limitada da viga e s˜ao idealizados como for¸cas concentradas, conforme o diagrama da Figura 2.7(b).
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
(a) Real. (b) Idealizado. (c) Sistema equivalente.
Figura 2.9: Momento concentrado numa viga.
Em outros casos, as for¸cas s˜ao aplicadas ao longo de uma por¸c˜ao maior da estrutura, sendo denomina- dos carregamentos distribu´ıdos. A Figura 2.8 ilustra for¸cas distribu´ıdas uniformes e vari´aveis juntamente com as suas idealiza¸c˜oes. Como ´ultimo caso, pode-se carregar uma viga com um momento concentrado num ponto, conforme mostrado na Figura 2.9.
2.6 Equil´ıbrio de Part´ıculas e Corpos R´ıgidos
2.6.1 Mecˆanica anal´ıtica
Part´ıcula
Uma part´ıcula ´e um ponto material com uma certa massa associada e cujas dimens˜oes n˜ao s˜ao relevan- tes. Considere a part´ıcula P livre de qualquer restri¸c˜ao cinem´atica, localizada no espa¸co tridimensional cartesiano <^3 , conforme ilustrado na da Figura 2.10. Dessa forma, qualquer a¸c˜ao de movimento de P ´e dada por um vetor v de <^3. A potˆencia externa Pe associada a uma a¸c˜ao de movimento v ´e dada de forma geral por
f : <^3 → < v → f (v) = Pe
ou seja, potˆencia Pe ´e uma fun¸c˜ao f que opera sobre um vetor v de <^3 e fornece um escalar. Como a cinem´atica de P ´e descrita por um vetor v, a ´unica opera¸c˜ao sobre v resultando num escalar, ou seja, na potˆencia, ´e um produto escalar de vetores. Logo, associado `a potˆencia Pe e a a¸c˜ao de movimento v, existe um vetor F de <^3 de tal forma que a potˆencia Pe pode ser escrita como
Pe = f (v) = 〈F, v〉 = F · v. (2.1)
O vetor F ´e denominado resultante das for¸cas externas na part´ıcula P. Isso mostra que a partir do conceito de potˆencia, recupera-se a id´eia cl´assica de for¸ca. Logo, os esfor¸cos externos compat´ıveis com a cinem´atica da part´ıcula s˜ao vetores for¸ca descritos aqui pela resultante de for¸cas F.
Alguns Aspectos sobre a Defini¸c˜ao de Potˆencia
Uma fun¸c˜ao, tal como a potˆencia externa Pe, que associa a cada elemento de um espa¸co vetorial um escalar ´e chamada funcional. A potˆencia ´e linear em v,ou seja, quanto maior o m´odulo do vetor velocidade v,
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
Figura 2.11: Rela¸c˜ao de dualidade entre a¸c˜oes de movimento e for¸cas numa part´ıcula.
(a) Ponto o como referˆencia. (b) Ponto q como referˆencia. (c) Rela¸c˜ao entre os pontos o e q.
Figura 2.12: A¸c˜ao de movimento de um corpo r´ıgido.
Para descrever o movimento do corpo, adota-se um sistema de coordenadas e seleciona-se um ponto arbitr´ario do corpo. A Figura 2.12(a) ilustra o sistema de referˆencia cartesiano xyz e o ponto o adotado para descrever o movimento do corpo. A partir da´ı, o vetor posi¸c˜ao de qualquer ponto p ´e dado por
rp = ro + rpo. (2.3)
Quando o corpo se movimenta, os vetores posi¸c˜ao rp, ro e rpo variam ao longo do tempo. A taxa de varia¸c˜ao destes vetores representa a velocidade instantˆanea. Derivando a express˜ao anterior em rela¸c˜ao ao tempo, obt´em-se a velocidade vp do ponto p (a rela¸c˜ao seguinte ser´a mostrada posteriormente)
vp = vo + ω × rpo,
sendo vo a velocidade do ponto o representando a transla¸c˜ao de B; ω ´e o vetor velocidade angular descrevendo a rota¸c˜ao instantˆanea do corpo e × representa o produto vetorial (ver Apˆendice B). Decompondo os vetores vo e ω, segundo o sistema cartesiano ilustrado na Figura 2.12, tem-se no total seis componentes para representar uma a¸c˜ao de movimento de um corpo r´ıgido. Trˆes delas est˜ao associadas a transla¸c˜oes dadas pelas componentes vox , voy e voz de vo. As demais 3 componentes s˜ao dadas pelas proje¸c˜oes , ωx, ωy e ωz da rota¸c˜ao ω. A Figura 2.13 ilustra as 3 componentes de transla¸c˜ao e as 3 componentes de rota¸c˜ao de um corpo r´ıgido. A express˜ao da potˆencia associada a a¸c˜ao de movimento de corpo r´ıgido ´e dada a partir de (2.1) por
Pe = f (v) = f (vo + ω × rpo). (2.4)
Logo, como a velocidade de cada ponto do corpo r´ıgido ´e descrita por um vetor velocidade v e a potˆencia Pe associada a v ´e escalar, tem-se, de forma an´aloga ao caso da part´ıcula, um vetor Fo, de tal forma que a potˆencia Pe ´e dada pelo seguinte produto escalar dos vetores v e Fo, ou seja,
Pe = f (v) = 〈Fo, v〉 = Fo · v = Fo · [vo + ω × rpo]. (2.5)
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
(a) Transla¸c˜oes em x, y e z. (b) Rota¸c˜oes em x, y e z.
Figura 2.13: Movimentos de um corpo r´ıgido.
Como o produto escalar de vetores ´e distributivo (ver Apˆendice B), a express˜ao anterior pode ser reescrita como
Pe = (Fo · vo) + Fo · [ω × rpo]. (2.6)
Pode-se comutar a ordem dos produtos escalar e vetorial de 3 vetores (ver Apˆendice B). De forma geral, dados 3 vetores a, b e c a seguinte rela¸c˜ao ´e v´alida
a · (b × c) = (c × a) · b = (b × c) · a.
Aplicando a propriedade anterior `a equa¸c˜ao (2.3) vem que
Pe = (Fo · vo) + [rpo × Fo] · ω = (Fo · vo) + (mo · ω). (2.7)
Os vetores Fo e mo representam, respectivamente, a resultante de for¸cas e a resultante de momentos em rela¸c˜ao ao ponto o gerados pela resultante Fo. Observa-se que a escolha do ponto o para representar a a¸c˜ao de movimento de B foi inteiramente arbitr´aria. Tomando-se um ponto q distinto de o, tem-se a seguinte rela¸c˜ao para o vetor de posi¸c˜ao do ponto p (ver Figura 2.12(b))
rp = rq + rpq,
e consequentemente a velocidade instan˜tˆanea p passa a ser dada por
vp = vq + ω × rpq.
Seguindo o mesmo procedimento anterior, a potˆencia Pe associada `a a¸c˜ao de movimento tomando-se o ponto q como referˆencia ser´a
Pe = (Fq · vq ) + (mq · ω) =(Fq · vq) + Fq · (ω × rpq). (2.8)
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
Figura 2.14: Corpo sujeito `a a¸c˜ao de um conjunto de for¸cas.
part´ıcula em rela¸c˜ao ao seu estado de equil´ıbrio. Logo, pelo PPV a potˆencia Pe associada a δv ´e nula, ou seja,
Pe = F · δv = 0. (2.10)
Logo, a resultante das for¸cas F sobre a part´ıcula deve ser nula pois a varia¸c˜ao δv ´e arbitr´aria. Recupera-se assim a condi¸c˜ao de equil´ıbrio dada pelas leis de Newton, ou seja, a resultante das for¸cas externas F deve ser nula para uma part´ıcula em equil´ıbrio. Observa-se que a condi¸c˜ao anterior ´e necess´aria e suficiente. Se a potˆencia ´e nula para qualquer a¸c˜ao virtual δv, ent˜ao o produto escalar F · δv ´e nulo, implicando que a resultante das for¸cas F deve ser zero, pois δv ´e arbitr´ario. Da mesma maneira, se o ponto est´a em equil´ıbrio, a resultante das for¸cas ´e nula e portanto a potˆencia virtual tamb´em ´e nula. No caso da an´alise de corpos em equil´ıbrio est´atico, como n˜ao est˜ao envolvidas velocidades, o princ´ıpio das potˆencias virtuais ´e aplicado em termos de deslocamentos virtuais, sendo ent˜ao chamado de princ´ıpio dos trabalhos virtuais (PTV). O PTV para um ponto material estabelece que, se o ponto est´a em equil´ıbrio, o trabalho virtual total das for¸cas aplicadas ´e zero, para qualquer deslocamento virtual. Tomando-se o exemplo ilustrado na Figura 2.2 para avaliar o peso do objeto, verifica-se que n˜ao ´e necess´ario impor um grande deslocamento ao objeto para ter uma id´eia do seu peso. Observa-se que na iminˆencia de se deslocar o objeto, pode-se avaliar o seu peso. Isto implica que as a¸c˜oes de movimento podem ser arbitrariamente pequenas ou diferenciis visando avaliar o estado de equilibrio de uma part´ıcula ou corpo r´ıgido. Para o caso de um corpo r´ıgido, tomando-se uma a¸c˜ao virtual de movimento r´ıgida δv = δvo + δω × r, tem-se que no equil´ıbrio a potˆencia ´e nula. Logo, a partir da se¸c˜ao anterior, a potˆencia ´e dada por
Pe = Fo · δvo + mo · δω = 0, (2.11)
implicando que as resultantes em termos de for¸cas e momentos devem ser nulas para qualquer a¸c˜ao virtual. Observa-se que a potˆencia das for¸cas internas num corpo r´ıgido ´e nula, como ilustrado na Figura 2.15. Tomando-se os pontos A e B, as for¸cas exercidas entre si s˜ao F e −F. Mesmo considerando a¸c˜oes virtuais distintas δv e δv′, as componentes destas a¸c˜oes ao longo de AB devem ser iguais, pois como o corpo ´e r´ıgido, a distˆancia entre os pontos deve ser constante. Logo, a potˆencia associada `as for¸cas internas ser´a nula. Da mesma maneira, como as a¸c˜oes virtuais s˜ao compat´ıveis com a cinem´atica do corpo, as rea¸c˜oes de apoio n˜ao realizam trabalho.
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
Figura 2.15: Potˆencia das for¸cas internas.
Torna-se interessante interpretar fisicamente o princ´ıpio dos trabalhos virtuais, tomando-se o caso do equil´ıbrio de uma part´ıcula. De acordo com a mecˆanica de Newton, no estado de equil´ıbrio, a resultante das for¸cas, expressa como a soma das for¸cas externas e de rea¸c˜ao, agindo sobre qualquer part´ıcula do sistema ´e nula. Como no equil´ıbrio, o princ´ıpio requer que o trabalho destas for¸cas seja nulo, verifica-se que o trabalho virtual das for¸cas externas pode ser substitu´ıdo pelo trabalho virtual das for¸cas de rea¸c˜ao. Logo, o PTV pode ser reformulado como o seguinte postulado: o trabalho virtual das for¸cas de rea¸c˜ao ´e sempre nulo para qualquer deslocamento virtual compat´ıvel com as restri¸c˜oes cinem´aticas. Este postulado n˜ao ´e restrito a est´atica, mas aplica-se igualmentea dinˆamica, onde o PTV ´e ge- neralizado por meio do princ´ıpio de d’Alembert. Como todos os outros princ´ıpios variacionais (Euler, Lagrange, Jacobi, Hamilton) da mecˆanica anal´ıtica s˜ao formula¸c˜oes matem´aticas alternativas do princ´ıpio de d’Alembert, o enunciado acima ´e o ´unico postulado na mecˆanica anal´ıtica, sendo portanto de funda- mental importˆancia.
Exemplo 2.1 Considere a alavanca articulada mostrada na Figura 2.16(a). Deseja-se determinar a for¸ca exercida pela alavanca no bloco quando um certa for¸ca F ´e aplicada em C (supondo que n˜ao h´a atrito) usando o conceito de trabalho virtual.
(a) Alavanca. (b) Diagrama de corpo livre.
Figura 2.16: Alavanca articulada com for¸ca F.
Objetivo:
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
Expandindo sin(θ + δθ) e cos(θ + δθ) vem que
xB + δxB = 2 l [sin θ cos δθ + cos θ sin δθ] , yC − δyC = l [cos θ cos δθ − sin θ sin δθ].
Supondo que o incremento δθ ´e pequeno, tem-se que cos δθ ≈ 1 e sin δθ ≈ δθ. Logo
xB + δxB = 2 l sin θ + 2l cos θ(δθ), yC − δyC = l cos θ − l sin θ(δθ).
Substituindo (2.12), obt´em-se as express˜oes finais para os incrementos virtuais δxB e δyC , ou seja,
δxB = 2 l cos θ(δθ), δyC = l sin θ(δθ).
Uma outra forma de se obter express˜oes para δxB e δyC ´e empregando a s´erie de Taylor. Observa- se que as posi¸c˜oes xB e yC dos pontos B e C s˜ao fun¸c˜oes do ˆangulo θ. Esta dependˆencia pode ser indicada de forma expl´ıcita reescrevendo as rela¸c˜oes anteriores como
xB = xB (θ) = 2 l sin θ, yC = yC (θ) = l cos θ.
Dada uma fun¸c˜ao f (y), lembre-se que a expans˜ao em s´erie de Taylor em torno de x ´e dada por
f (y) = f (x) + f ′(x) + (y − x) + f ”(x)(y − x) + · · ·.
Expandindo sin(θ + δθ) e cos(θ + δθ) dados em (1.13) em s´erie de Taylor e desprezando os termos a partir da derivada segunda vem que
sin(θ + δθ) = sin θ + cos θ(θ + δθ − θ) = sin θ + cos θ(δθ), cos(θ + δθ) = cos θ − sin(θ + δθ − θ) = cos θ − sin θ(δθ).
Substituindo estas rela¸c˜oes em (2.13) vem que
xB + δxB = 2 l sin θ + 2l cos θ(δθ) = xB + 2l cos θ(δθ) → δxB = 2l cos θ(δθ), yC − δyC = l cos θ − l sin θ(δθ) = yC − l sin θ(δθ) → δyC = l sin θ(δθ).
Assim, observa-se que calcular as varia¸c˜oes virtuais δxB e δyC ´e an´alogo ao c´alculo dos diferenciais de xB e yC. Por este motivo, muito autores definem um deslocamento virtual como um diferencial de primeira ordem da posi¸c˜ao. Mas um deslocamento virtual n˜ao ´e necessariamente pequeno ou um diferencial da posi¸c˜ao.
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
- Escrever a express˜ao do trabalho virtual para o deslocamento do sistema Como RBx e δxB tˆem sentidos opostos, o trabalho virtual ´e negativo, ou seja, δTRBx = − (RBx) δxB. Como F e o incremento δyC tˆem mesmo sentido, seu trabalho virtual ´e δTF = F δyC. O trabalho virtual total das for¸cas do sistema ´e ent˜ao
δTe = δTRBx + δTF = −RBxδxB + F δyC = − 2 RBxl cos θδθ + F l sin θδθ.
Da Figura (1.18), ogtem-se as seguintes rela¸c˜oes
xB + δxB = 2l sin(θ + δθ), yC + δyC = l cos(θ + δθ).
Expandindo sin(θ + δθ) e cos(θ + δθ) vem que
xB + δxB = 2 l[sin θ cos δθ − cos θ sin δθ, yC − δyC = l[cos θ cos δθ − sin θ sin δθ.
Supondo que o incremento δθ ´e pequeno tem-se que cos δθ ≈ 1 e sin δθ ≈ δθ. Logo, as express˜oes anteriores se simplificam como:
xB + δxB = 2l sin θ + 2l cos θδθ, yC + δyC = l cos θ − l sin θδθ.
Substituindo(1.12), obt´em-se as express˜oes finais para os incrementos virtuais δxB e δyC , ou seja
δxB = 2 l cos θδθ, δyC = l sin θδθ.
- Solu¸c˜ao das equa¸c˜oes Fazendo δTe = 0 (corpo em equil´ıbrio), obtem-se
2 RBxl cos θδθ = F l sin θ → RBx =
F tan θ.
Para calcular a rea¸c˜ao de apoio RBy , basta impor um deslocamento virtual δyB na dire¸c˜ao de RBy , mantendo o ponto A fixo. O resultado deste deslocamento est´a mostrado na Figura 2.18, observando-se que o ponto C sofre um deslocamento δyC. Como as duas ´unicas for¸cas realizando trabalho s˜ao F e RBy, pelo PTV vem que
δTe = RBy δyB − F δyC = 0.
Assumindo que δyB e δyC s˜ao pequenos, tem-se a partir da Figura 2.18, por semelhan¸ca de triˆangulos, que δy δyCB = 12. Portanto
RBx =
F
Logo, para calcular uma rea¸c˜ao de apoio, imp˜oe-se um deslocamento virtual na dire¸c˜ao da rea¸c˜ao. O mesmo procedimento pode ser aplicado para a determina¸c˜ao de RAx e RBx. 2
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
(a) Treli¸ca. (b) Equil´ıbrio de um n´o.
Figura 2.19: For¸cas sobre um ponto material.
Observa-se novamente que estas condi¸c˜oes de equil´ıbrio foram as mesmas obtidas atrav´es do PPV. A diferen¸ca b´asica ´e que na mecˆanica anal´ıtica, parte-se da a¸c˜ao de movimento e atrav´es do conceito de potˆencia, determinam-se os esfor¸cos externos compat´ıveis com a cinem´atica da part´ıcula e de corpo r´ıgido. Neste sentido, os conceitos de cinem´atica e de potˆencia s˜ao mais naturais (lembre-se dos exemplos do peso do objeto e da tens˜ao na correia), podendo serem observados nos sistemas mecˆanicos em geral. J´a na mecˆanica newtoniana, considera-se como defini¸c˜ao b´asica o conceito de for¸ca. Assim, supondo um ve´ıculo em movimento, o que se observa ´e a a¸c˜ao de movimento e n˜ao for¸cas e momentos atuantes no ve´ıculo. Tomando-se um corpo plano, a Figura 2.20 apresenta os movimentos de corpo r´ıgido poss´ıveis, ou seja, transla¸c˜oes em x e y e rota¸c˜ao segundo o eixo z. Neste caso, as condi¸c˜oes de equil´ıbrio resumem-se em
∑ Fx = 0,
∑ Fy = 0,
∑ Mz = 0. (2.16)
Figura 2.20: Movimentos de corpo r´ıgido num plano.
Exemplo 2.2 Resolver o Exemplo 2.1 empregando a abordagem newtoniana.
Objetivos:
- Exemplificar an´alise das condi¸c˜oes de equil´ıbrio pela abordagem newtoniana.
2.6. Equil´Ibrio de Part´Iculas e Corpos R´Igidos 2-
Etapas:
- Constru¸c˜ao do diagrama de corpo livre do sistema.
- Determina¸c˜ao das equa¸c˜oes de equil´ıbrio do sistema.
- Solu¸c˜ao das equa¸c˜oes e determina¸c˜ao das inc´ognitas do problema.
Solu¸c˜ao:
- Constru¸c˜ao do diagrama de corpo livre O diagrama de corpo livre foi constru´ıdo no exemplo anterior (ver Figura 2.16(b)).
- Determina¸c˜ao das equa¸c˜oes de equil´ıbrio do sistema A partir do diagrama de corpo livre, pode-se escrever as condi¸c˜oes de equil´ıbrio da alavanca, ou seja,
i)
∑ Fx = 0 → RAx − RBx = 0, ii) ∑ Fy = 0 → RAy + RBy − F = 0, iii)
∑ MzA = 0 → 2 l sin θRBy − l sin θF = 0.
Observa-se que a alavanca constitui um sistema hiperest´atico, ou seja, o n´umero de inc´ognitas (RAx, RBx, RAy, RBy ) ´e maior que o n´umero de condi¸c˜oes de equilibrio. Ao se empregar a mecˆanica anal´ıtica no exemplo 2.1, o fato do sistema ser hiperest´atico n˜ao constituiu uma dificuldade. No caso da abordagem newtoniana, deve-se ter uma condi¸c˜ao auxiliar (em geral em termos da geometria ou deforma¸c˜ao do componente) para se resolver o problema. Considerando a alavanca articulada como constitu´ıda de dois elementos de barra AC e BC, tem-se apenas for¸cas axiais resultantes ao longo de AC e BC. A partir da geometria do problema tem-se a rela¸c˜ao
iv) tan θ =
RBx RBy
- Solu¸c˜ao das equa¸c˜oes e determina¸c˜ao das inc´ognitas Das equa¸c˜oes iii) e iv), obt´em-se, respectivamente
RBy = F 2 e RBx =
( F 2
) tan θ.
sendo RBx a inc´ognita procurada. As demais rea¸c˜oes s˜ao determinadas, a partir de RBy e RBx dados acima, empregando i) e ii). Logo
RAx =
( F 2
) tan θ e RAy = F 2.
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