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EMENTA DA DISCIPLINA DE ESTABILIDADE TECNICO INTEGRADO
1 – ELEMENTOS DE FÍSICA E MATEMÁTICA APLICADOS ÀS ESTRUTURAS Grandezas fundamentais: força, momento e sistema binário; Condições de equilíbrio; φ Centro de gravidade e momento de inércia; φ Deformação estrutural: lei de Hooke, diagrama tensão deformação, tensões normais e de corte, tensão normal na flexão. 2 – ANÁLISE ESTRUTURAL φ Elementos estruturais: lajes, vigas, pilares, fundações; φ Vínculos: tipos, simbologia; φ Tipos de carregamento: cargas concentradas e distribuídas; φ Reações de apoio: vigas e lajes; φ Esforços seccionais: esforço cortante, esforço normal e momento fletor em uma viga isostática; φ Diagrama de esforços cortante, normal e momento fletor. 3 – DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL φ Dimensionamento de lajes à flexão; φ Dimensionamento de vigas à flexão e ao cisalhamento; φ Dimensionamento de pilares curtos e médios; φ Dimensionamento de fundações diretas. 4 – DESENHO ESTRUTURAL φ Planta de Fundação; φ Planta de Lajes; φ Detalhamento de Fundação; φ Detalhamento de Pilares; φ Detalhamento de Vigas; φ Detalhamento de Lajes; φ Detalhamento de Escadas e Reservatórios; φ Quantitativos de armaduras e quadros de ferragem.
Parte I – Conceitos Fundamentais
Forças no plano
De maneira intuitiva associamos o termo “força” a qualquer ato de puxar ou empurrar algo. Em geral tal termo representa a ação de um corpo sobre o outro (força de contato). No ambiente da construção civil temos a força de contato que uma viga faz na outra, a força de reação normal que o chão faz na viga além da força peso. Na física newtoniana força é uma grandeza vetorial de forma que ao expressa-la, devemos fazer não apenas com um valor numérico (módulo), mas também por meio de sua direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI). A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que a mesma forma com algum eixo de referência, como indicado na Figura 2.1 abaixo. Por conveniência costuma-se descrever a força por meio de suas componentes em algum sistema de coordenadas. As direções mais comuns são a vertical e horizontal. Na parte direita da Figura 2.1 temos um exemplo da decomposição do vetor A em termos de suas componentes, paralela e perpendicular ao segmento de reta aa’.
Figura 2.1 – Vetor Força (R.C.Hibbeler)
O sentido da força indica a orientação do vetor ao longo de uma direção (esquerda, direita, cima, baixo). Na grande maioria das situações reais, um corpo está sujeito a mais de uma força. Denomina-se Grupo de forças , o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. Em boa parte dos problemas estaremos interessados no vetor força que representa a superposição (soma) de todas as forças (ou parte delas) que atuam em um corpo. Esse vetor se chama vetor resultante que está representado na Figura 2.2 juntamente com um exemplo de Grupos de força e Sistema de forças.
Figura 2.3 – Momento de uma Força (R.C.Hibbeler)
Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0 , como sendo, M 0 = ± | F |. d Onde: M 0 = momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 0 = pólo ou centro de rotação d = distância perpendicular de 0 à linha de ação de F , também chamada de braço de alavanca ou braço de força Se analisarmos o momento vetorialmente ( M 0 = F × d ) percebemos que M 0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de M 0 é definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário.
Figura 2.4 – Convenção dos Sentidos dos Momentos
No SI, como a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m), temos o momento expresso em newtons × metros (N.m).
2.1 Momento de um binário
Um caso especial ocorre quando um corpo está sujeito a duas forças, F e – F, que têm o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formando um binário ou conjugado. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar das duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. A distância d mostrada na Figura 2.5 chama-se braço binário.
Figura 2.5 – Momento Binário (R.C.Hibbeler)
Exemplo 1: A força F , de módulo 20 N, e os pontos A , B e C estão todos no plano do papel. Os pontos representam as intersecções entre o plano do papel e três eixos perpendiculares a ele.
Utilizando a convenção dos sinais dos momentos, calcule o momento escalar de F em relação a A , B e C. Resolução: Em relação a A, a força F dá tendência de rotação no sentido horário. Sendo F = 20 N e b = 3 m, temos:
- Uma pequena bola de massa 0,75 Kg está presa a uma das extremidades de uma barra de 1,25 m de comprimento e massa desprezível. A outra extremidade da barra está pendurada em um eixo, conforme a figura abaixo. Quando o pêndulo assim formado faz um ângulo de 30o^ a vertical, qual é o módulo do momento exercido pela força gravitacional em relação ao eixo?
- O comprimento do braço do pedal de uma bicicleta é de 0,152 m e uma força de 111 N é aplicada ao pedal pelo ciclista. Qual o módulo do momento em relação eixo do braço do pedal quando o braço faz um ângulo de (a) 30o, (b) 90o^ e (c) 180o^ com a vertical? 3. Centro de Gravidade
A definição de centro de gravidade é importante para se entender a estabilidade de um corpo. Analogamente ao centro de massa, que corresponde a uma média ponderada das massas das partículas que formam um determinado corpo, o centro de gravidade é um ponto de aplicação do peso total de um corpo. Entenda-se peso total como sendo a soma vetorial de todas as forças gravitacionais que agem em
cada partícula constituinte do corpo. O cálculo do centro de gravidade (xCG) de um
corpo é feito de maneira simples quando consideramos que a aceleração da gravidade que atua em um corpo é constante em todos os pontos do mesmo. Nesta situação o centro de gravidade coincide como o próprio centro de massa (xCM) com segue a
baixo:
onde xi e mi são a coordenada e massa de cada partícula do corpo. É importante notar
que a rigor a aceleração da gravidade varia com a altitude, mas para objetos comuns com essa variação é bem sutil podemos despreza-la.
∑
∑
=
N i i
N i i i N CG CM N N
m
x m
m m m
x x x m x m x m
1
1 1 2
1 1 2 2
Outra consideração importante a se fazer é que dependendo da simetria do corpo o centro de gravidade coincide com o centro geométrico do corpo. Para corpo com geometrias mais complexas podemos determinar o centro de gravidade do corpo suspendendo o mesmo por pontos diferentes e a cada suspensão são traçadas linhas verticais de forma que a interseção entre essas linhas determina o centro de gravidade (figura 3.1).
Figura 3.1 – Centro de gravidade de corpos irregulares
(http://www.infoescola.com/fisica/centro-de-gravidade/)
O centro de gravidade é importante também na estabilidade dos corpos. Nos automóvel quanto mais baixo for o seu centro de massa e quanto maior for a área de apoio do carro em relação ao chão, maior é sua estabilidade. Isso permite o carro percorrer curvas com uma determinada inclinação sem que o mesmo tombe. Para que isso ocorra a reta vertical que passa pelo centro de massa do um corpo deve sempre passar pela base de apoio (figura 3.2).
Figura 3.1 – Centro de gravidade e estabilidade
(http://www.mecatronicaatual.com.br/secoes/leitura/66)
Exemplo 1. Uma viga uniforme de comprimento L e massa M repousa sobre dois apoios deparados por uma distância D, localizados em
3.1. Momento de Inércia
A primeira lei de Newton afirma que todos os corpos devem permanecer em movimento ou em repouso a menos que uma força altere esse estado do corpo (princípio da inércia). Isto é válido para qual quer corpo, seja ele uma partícula ou um corpo rígido de dimensões não desprezíveis. O princípio da inércia é válido ainda para os corpos em rotação, um corpo que gira em torno de um eixo deve permanecer girando a menos que uma força atue sobre ele, costuma-se chamar essa propriedade de inércia rotacional. Da mesma forma que em um movimento linear a inércia do corpo depende de sua massa, no movimento de rotação ela dependerá da massa e também de como essa massa se distribui no corpo em relação ao eixo de rotação. Um corpo rígido em rotação possui associado a ele uma energia cinética K em
razão da velocidade vi de cada partícula de massa mi que forma esse corpo:
A grande dificuldade de se trabalhar com a equação acima é que para cada partícula temos uma velocidade diferente de forma que é mais conveniente substituir
vi=ωri uma vez que a velocidade angular de cada partícula é mesma, senão o corpo
não seria rígido. A grandeza ri representa a distância entre cada partícula e o eixo de
rotação do corpo. Portanto:
Essa grandeza entre parênteses é o que se define como momento de inércia (Ι):
Note que quanto maior o momento de inércia do corpo maior será sua energia cinética de rotação, ou seja, maior será o trabalho realizado para desacelerar ou acelerar esse corpo caso ele esteja em repouso. É importante notar ainda que um corpo pode ter um número infinito de momentos de inércia já que pode existir um número infinito de eixos de rotação. Desta forma é conveniente conhecer um teorema chamada de Teorema dos eixos paralelos que afirma mostra uma relação entre o momento de inércia em relação ao centro de massa Icm de um corpo de massa m e o
= 1 12 + 2 22 + 3 32 + = ∑ 2 2
...^1
K mv mv mv mi vi
( )^1
(^1) ω ω K =∑ mi ri = ∑ miri
I =∑ mi r i^2
momento de inércia Ip em relação a um eixo paralelo ao primeiro e a uma distância d
do mesmo.
OBS: Para o cálculo do momento de inércia é necessário o conhecimento do cálculo integral que não é do objetivo do curso. Abaixo segue uma tabela com momentos de inércia de alguns corpos (Figura extraída do livro Física I, Sears e Zemansky 12a^ edição).
Exemplo 2. Três massas esféricas (A = 200 g, B = 400 g e C = 450 g) são colocadas nos vértices de um triangulo isósceles de lados AB = 30 cm, BC = 40 cm e CA = 50 cm. Determine o momento de inércia em relação ao um eixo imaginário que passa pelo centro da esfera A e seja perpendicular ao plano do desenho.
I p = Icm + md^2
2
2 2 2 2 2 2 2
I Kg m
I
I miri mArA mBrB mCrC
= (^) ∑ = + + = + +
- Qual o momento de inércia necessário para que um volante de um motor transfira 650 J de energia cinética para a caixa de câmbio de um veículo para que sua velocidade angular diminua de 720 rev/min para 650 rev/min.
- Utilizando o teorema dos eixos paralelos e uma placa retangular uniforme de massa M e arestas de comprimentos a, b e c semelhante à figura (c) da tabela de momentos de inércia de diversos corpos. Determine o momento de inércia desta placa em relação a um eixo que passe por um vértice e seja perpendicular à face ab. 4. Deformação estrutural
Por conveniência os corpos têm sido trados de maneira idealizada, corpos indeformáveis. Entretanto, na prática, quando os corpos são submetidos à ação de alguma força essa rigidez dá espaço às dilatações, compressões, torções ou simplesmente deformação. O agente causador de tal deformação é grandeza tensão que representa a distribuição de forças por unidade de área. A deformação na dilatação e compressão pode ser representada pelo cociente da variação do comprimento pelo comprimento original. Existe uma lei que relaciona essas duas grandezas, entretanto sua validade é restrita aos casos onde as tensões e deformações são pequenas. É a chamada Lei de Hooke. Essa lei afirma que a deformação que um corpo sofre é diretamente proporcional a tensão aplicada á ele, a constante de proporcionalidade é conhecida como módulo de elasticidade. Podemos resumir em três equações o que foi dito acima:
Deve-se ressaltar que neste caso a força aplicada na deformação de dilatação é uma força perpendicular à superfície de seção reta do corpo (tensão normal). Para ilustrar temos o corte transversal de um cubo de área A (figura 4.1) que é tensionado nas suas extremidades de forma a garantir que o cabo não se mova para um lado ou para o outro. É interessante notar que o tratamento dado à deformação de dilatação é semelhante a deformação de compressão, basta pensar que uma é relacionada a
0
0 0
l
l l
l
l
A
F
Módulodeelasticidade E DeformaçãoTensão LeideHooke
= =∆ =^ −
σ ε
ε
σ
puxar e a outra a empurrar, respectivamente. Desta forma para muitos materiais o módulo de elasticidade, também chamado de módulo de Young, é o mesmo tanto para a tensão de deformação quanto para a tensão de compressão, com exceção dos materiais que são formados por dois ou mais componentes diferentes (materiais compósitos).
Figura 4.1 – Corpo sujeito a uma tensão normal
Existe ainda a chamada tensão e deformação de cisalhamento, que para pequenos valores da força também obedece a lei de Hook. Neste caso a costante de proporcionalidade é conhecida por módulo de cisalhamento (S). Diferentemente da
tensão normal a força aplicada ao corpo é tangencial às superfícies das extremidades opostas do objeto conforme figura 4.2. A deformação é dada pela razão entre o deslocamento x e a dimensão transversal h.
Figura 4.2 – Corpo sujeito a uma tensão de cisalhamento
Exemplo 1: Um cabo de aço de um guindaste têm 6 metros de comprimento com seção reta de 0,35 cm^2. O cabo está sustentando uma carga de 670 kg. Determine a tensão e a deformação no cabo. Considere o módulo de Young do aço 20 x 10^10 Pa.
Exercícios
- Para um determinado experimento um cabo de aço circular de 2,5 m não pode se distender além de 0,35 cm quando sujeito a uma tensão de 430 N. Qual o menor diâmetro do cabo para que ele atenda o experimento?Considere o módulo de Young do aço 20 x 10^10 Pa.
- Uma corda de Nylon usada em escaladas tem o módulo de Young de 6,8 x 10^8 Pa. Um escalador de 75 kg que fique pendurado em uma corda de 50 m e de diâmetro igual a 70 mm provocará uma dilatação de quantos centímetros?
- Dois objetos de massas mA = 8 kg e mB = 12 kg são presos no teto de uma casa. O objeto A é preso por um cabo de aço de 0,6 m de comprimento fixo no teto. O objeto B por sua vez é preso ao objeto A por um cabo semelhante que prende o objeto A ao teto. Considere que o cabo possui seção reta de 3 mm e que o o módulo de Young do aço 20 x 10^10 Pa. Determine a deformação e o alongamento do cabo.
- Determine a tensão de cisalhamento resultante quando uma força de módulo 5.10^4 N é aplicada, paralelamente a um dos quatro lados de uma placa quadrada de cobre. Considere o lado da placa de 12 cm, a espessura igual a 0,6 cm e o módulo de Cisalhamento do cobre 4,4 x 1010 Pa. Em seguida determine qual foi o
deslocamento x.
4
10
8 0
8
4
−
−
ε
ε σ
σ
σ
l
l
Pa
A
mg
A
F
5. Equilíbrio
Em geral o estudo da física se inicia pelo movimento, no intuito de se entender o deslocamento, a velocidade e aceleração dos corpos como consequência de forças aplicadas aos mesmos. Outra parte da física já tem o interesse em garantir que esses corpos permaneçam em repouso. Para que isso ocorra as forças que atuam em um corpo, devem obedecer a certas condições que chamamos de condições de equilíbrio. Condições essas que garantem que a sala que você estuda ou a casa que você mora não desmorone.
5.1 Equilíbrio de um ponto material
Ponto material é uma pequena porção de matéria, com dimensões desprezíveis, que pode ser considerada como um ponto no espaço. Um corpo modelado desta forma encontra-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que atuam sobre ele for nula. Podemos ainda dizer que essa é a primeira condição de equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante”.
Para exprimir algebricamente a primeira condição de equilíbrio de um ponto material, temos:
Onde:
A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material, bem como a decomposição dessas forças nos eixos x e y podem ser representadas por um diagrama de corpo livre, como indica a figura 3.1 ( a ) e ( b ) respectivamente.
z z
y y
x x
F R
F R
F R
F
; ; sãoasresultantesdasforçasatuantesnasdireçõesx,yez ;
; ; sãoasforçasatuantesnasdireçõesx,yez;
x y z
x y z
R R R
F F F
Exercícios
- Em cada uma das extremidades de um fio considerado ideal, que passa por duas pequenas polias também suposta ideal, está suspenso um corpo de massa igual a m. Um terceiro corpo de massa m é suspenso do ponto médio M do fio e baixado até a posição de equilíbrio. Determine, em função de l (ver figura), quanto desceu o terceiro corpo.
- Na figura, um corpo de peso 120 N encontra-se em equilíbrio, suspenso por um conjunto de três fios ideais A , B e C. Calcule as intensidades das trações TA , TB e TC , respectivamente nos fios A , B e C. Considere ainda sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8.
- Calcule a intensidade da tração no cordel, que mantém em equilíbrio um ornamento de peso 80 N como indica a figura:
- Uma pedra de 664 N de peso encontra-se em repouso, suspensa por três cordas leves A , B e C , como representa a figura. Calcule as intensidades das trações nessas cordas ( TA , Tb e Tc ). Use: sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87; sen 53° = 0,80; cos 53° = 0,60.
5.2 Equilíbrio de um corpo rígido
Para que um corpo, cujas dimensões não são desprezíveis, esteja em equilíbrio quando submetido a diferentes forças, devemos ter ainda uma segunda condição de equilíbrio. Devemos garantir que as forças não provoquem tendência à rotação, ou seja, o somatório dos momentos das forças externas que atuam no corpo deve ser igual a zero. Obviamente tendo sido atendida a primeira condição. Uma vez que a segunda condição de equilíbrio é atendida, o somatório dos momentos das forças que atuam sobre o corpo é zero, ou seja, o corpo não gira. Algebricamente temos:
- Logo, têm-se as seis equações fundamentais da estática, que devem ser satisfeitas para que um corpo esteja em equilíbrio estático. As equações da coluna da esquerda se referem à translação do corpo e as da esquerda à rotação.
z
y
x
M
M
M
z
y
x
F
F
F
z
y
x
M
M
M
