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Requisitos
Requisitos para acompanhar a aula
I (^) Produtos de vetores I (^) Escalar; I (^) Vetorial; I (^) Misto. I (^) Resultante de forças I (^) Sistemas equivalentes de forças
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Equilíbrio em três dimensões TÓPICOS
Equilíbrio em três dimensões Equilíbrio de corpos rígidos tridimensionais Reações em vínculos tridimensionais Tarefa mínima
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Equilíbrio em três dimensões Equilíbrio de corpos rígidos tridimensionais
Equilíbrio de corpos rígidos tridimensionais
Para o equilíbrio de corpos rígidos tridimensionais deve-se fazer
~Fx = 0 ∑^ ~Fy = 0
~Fz = 0
M~x = 0 ∑^ M~y = 0
M~z = 0
ou, na forma vetorial,
F~ = 0
M~O =
~r × F~ = 0
Equilíbrio em três dimensões Reações em vínculos tridimensionais Reações em vínculos tridimensionais
Equilíbrio em três dimensões Reações em vínculos tridimensionais
Reações em vínculos tridimensionais
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Equilíbrio em três dimensões Reações em vínculos tridimensionais Reações em vínculos tridimensionais
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Equilíbrio em três dimensões Reações em vínculos tridimensionais
Reações em vínculos tridimensionais
Exercícos sobre Equilíbrio em três Dimensões Exercícos sobre Equilíbrio em 3 D
Um sarrilho é utilizado para erguer uma carga de 750 N. Determine:
a) o módulo da força horizontal P que deve ser aplicada a C para manter o equilíbrio e
b) as reações em A e B, supondo que o mancal em B não exerça empuxo axial.
Projeção de um vetor
λ - versor da direção de projeção
e seu vetor unitário λ
λ = cosθxˆi + cosθyˆj + cosθz kˆ
(cosθx , cosθy , cosθz )
seus cossenos diretores
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Projeção de um vetor λ - versor da direção de projeção
e seu vetor unitário λ
λ = cosθxˆi + cosθyˆj + cosθz kˆ
(cosθx , cosθy , cosθz )
seus cossenos diretores
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Projeção de um vetor
Projeção de um vetor
A projeção de um vetor P sobre OL:
P · λ = (Px , Py , Pz )(cosθx , cosθy , cosθz )
= Px cosθx + Py cosθy + Pz cosθz
= P OL
Produto Misto
O produto misto de S , P e Q é:
S · ( P × Q ) =
Sx Sy Sz
Px Py Pz
Qx Qy Qz
Os elementos do determinante, são as componentes cartesianas dos três vetores.
Momento de uma força
TÓPICOS
Projeção de um vetor Produto Misto Momento de uma força Definição e Cálculo Exercícios sobre Produto Escalar e Produto Misto Binário de uma força Definição e Cálculo Binários equivalentes Sistema força-binário Requisitos Treliça Plana Treliças simples Método dos Nós Exercícios - Método dos Nós Método das Seções Exercícios - Método das Seções Treliça Espacial Tarefa Mínima Exercícios Tarefa mínima INTRODUÇÃO MODELAGEM-GEOMETRIA MODELAGEM-RESTRIÇÕES MODELAGEM-FORÇAS RESULTADOS EXEMPLO-I EXEMPLO-II
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Momento de uma força Definição e Cálculo Momento de uma força em relação a um eixo
O momento de uma força F em relação a um eixo OL, é.
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Momento de uma força Definição e Cálculo
Momento de uma força em relação a um eixo
O momento de uma força F em relação a um eixo OL, é o momento
MO da força F em relação ao ponto O.
Momento de uma força Definição e Cálculo Momento de uma força em relação a um eixo
O momento de uma força F em relação a um eixo OL, é o momento
MO da força F em relação ao ponto O projetado sobre OL.
Momento de uma força Exercícios sobre Produto Escalar e Produto Misto
P3-42 O suporte ACD está articulado em A e D e é sustentado por um cabo que passa através do anel em B e que está preso nos ganchos em G e H.
Sabendo que a tração no cabo é de 450 N, de- termine o momento, em relação a diagonal AD, da força aplicada no su- porte pelo segmento BH do cabo.
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Binário de uma força TÓPICOS Projeção de um vetor Produto Misto Momento de uma força Definição e Cálculo Exercícios sobre Produto Escalar e Produto Misto Binário de uma força Definição e Cálculo Binários equivalentes Sistema força-binário Requisitos Treliça Plana Treliças simples Método dos Nós Exercícios - Método dos Nós Método das Seções Exercícios - Método das Seções Treliça Espacial Tarefa Mínima Exercícios Tarefa mínima INTRODUÇÃO MODELAGEM-GEOMETRIA MODELAGEM-RESTRIÇÕES MODELAGEM-FORÇAS RESULTADOS EXEMPLO-I EXEMPLO-II
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Binário de uma força Definição e Cálculo
Binário de uma força
Duas forças F e − F de mesma intensidade, retas de ação paralelas e
sentidos opostos, formam um binário.
O momento de um binário é independente do ponto de aplicação
(escolha da origem) vetor livre M.
Binário de uma força Definição e Cálculo Binário de uma força
Este vetor M é perpendicular ao plano formado pelas duas forças F e
− F e sua intensidade é igual ao produto Fd.
Binário de uma força Binários equivalentes
Representação vetorial de um binário
Dois binários que têm o mesmo momento M , são equivalentes (ele
provocam o mesmo efeito sobre um corpo rígido dado).
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Binário de uma força Binários equivalentes Representação vetorial de um binário
Dois binários que têm o mesmo momento M , são equivalentes (ele
provocam o mesmo efeito sobre um corpo rígido dado).
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Binário de uma força Binários equivalentes
Representação vetorial de um binário
Dois binários que têm o mesmo [email protected] (UFPR)^ Estática^ M , são equivalentes (ele^2012 23 / 177
Binário de uma força Sistema força-binário Sistema força-binário
Qualquer força F que age em um ponto A de um corpo rígi- do, pode ser substituída por um sistema força-binário em
um ponto arbitrário O.
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Binário de uma força Sistema força-binário
Sistema força-binário de um sistema de forças
Primeiro, cada uma das forças é substituída por um sistema equivalente força-binário em O;
M i = OAi × F i
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Binário de uma força Sistema força-binário Sistema força-binário de um sistema de forças
Então,
R =
F i M RO =
M i
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Binário de uma força Sistema força-binário
Sistema força-binário de um sistema de forças
Em geral, os vetores da força resultante R e do binário resultante M RO
não são perpendiculares entre si.
Binário de uma força Sistema força-binário Equivalência de sistema de forças
Dois sistemas de forças, F 1 , F 2 , F 3 ... , e F ′ 1 , F ′ 2 , F ′ 3 ... são equivalentes,
se e somente se:
F =
F ′^ e
M O =
M ′ O
Binário de uma força Sistema força-binário
Sistema de forças reduzida a uma única força
Se os vetores R e M O forem perpendiculares entre si, o sistema
força-binário em O pode também ser reduzido a uma única força resultante. Dentre estes casos tem-se: a) Forças concorrentes, b) Forças coplanares, ou c) Forças paralelas.
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Binário de uma força Exercícios sobre Sistema Equivalentes Força-Binário
P3-53 Duas forças de 60 N são aplicadas, como ilustrado, aos vértices A e C de uma placa quadrada de 200 mm de lado. Determine o momento do binário formado pelas duas forças: a) multiplicando o módulo das forças pela distância entre suas linhas de ação; e b) decompondo cada força segundo as direções horizontal e vertical e somando os momentos dos dois binários resultantes.
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Binário de uma força Exercícios sobre Sistema Equivalentes Força-Binário
P3-63 A força P tem intensidade de 250 N e está aplicada à extremidade C da haste AC de 500 mm que está presa a um suporte em A e B.
Supondo α = 30 ◦^ e β = 60 ◦,
substitua P por: a) um sistema força-binário, equivalente, em B; e b) um sistema equivalente formado por duas forças paralelas aplicadas em A e em B.
Binário de uma força Exercícios sobre Sistema Equivalentes Força-Binário
P3-71 Uma força de 11,6 kN é aplicada ao ponto D do suporte de ferro fundido da figura. Substitua a força por um sistema força-binário equivalente no centro A da seção da base.
Treliça Plana Treliças simples
Uma treliça é dita ser rígida se for projetada de tal maneira que não sofrerá grandes deformações e nem se desmoronará sob uma carga pequena.
Um treliça triangular que consiste em três membros conectados em três junções é claramente uma treliça rígida.
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Treliça Plana Treliças simples
Uma treliça obtida adicionando dois membros novos ao primeiro e conectando-os a uma nova junção será também rígida. As treliças obtidas repetindo este procedimento são chamadas de treliças simples. Pode-se se certificar de que uma treliça é simples se o número total dos barras é m = 2 n − 3, onde n é o número total das junções.
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Treliça Plana Método dos Nós
As forças nos vários membros de uma treliça podem ser determinadas pelo método dos nós:
- as reações nas sustentações são obtidas considerando a treliça inteira como um corpo livre;
- O diagrama do corpo livre de cada pino é extraído, então, mostrando as forças exercidas no pino pelos membros ou sustentações que conecta.
Treliça Plana Método dos Nós
- as reações nas sustentações são obtidas considerando a treliça inteira como um corpo livre;
- O diagrama do corpo livre de cada pino é extraído, então, mostrando as forças exercidas no pino pelos membros ou sustentações que conecta.
Treliça Plana Método dos Nós
Como
I (^) os membros são membros retos com duas-forças, I (^) a força exercida por um membro no pino é dirigida ao longo desse membro, e I (^) somente o valor da força é desconhecido
É sempre possível no exemplo de uma treliça simples extrair os diagramas do livre-corpo dos pinos em tal ordem que somente duas forças desconhecidas estão incluídas em cada diagrama.
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Treliça Plana Método dos Nós Membros em tração/compressão
o membro está em compressão: Se a força exercida por um membro em um pino for dirigida para esse pino; o membro está em tração: se a força exercida dirigir para fora do pino.
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Treliça Plana Método dos Nós
A análise de uma treliça é obtida às vezes por primeiras junções reconhecendo sob as circunstâncias de carregamento especiais (que envolvem membros da força-zero, por exemplo). O método dos nós
pode também ser estendido à análise do treliças tridimensional ou do espaço.
Treliça Plana Exercícios - Método dos Nós Exercícios
Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra está tracionada ou comprimida.
Treliça Plana Método das Seções
Escrevendo
ME = 0 , nós determinamos o valor de FBD , que
representa a força no membro BD. I (^) Um sinal positivo indica que o membro está em tração; I (^) um sinal negativo indica que está em compressão.
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Treliça Plana Exercícios - Método das Seções Exercícios
Determine as forças nas barras CD e DF da treliça.
[email protected] (UFPR) Estática 2012 46 / 177
Treliça Plana Exercícios - Método das Seções
Exercícios
Determine as forças nas barras DE e EF da treliça.
[email protected] (UFPR) Estática 2012 46 / 177
Treliça Espacial TÓPICOS Projeção de um vetor Produto Misto Momento de uma força Definição e Cálculo Exercícios sobre Produto Escalar e Produto Misto Binário de uma força Definição e Cálculo Binários equivalentes Sistema força-binário Requisitos Treliça Plana Treliças simples Método dos Nós Exercícios - Método dos Nós Método das Seções Exercícios - Método das Seções Treliça Espacial Tarefa Mínima
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Treliça Espacial
Quando várias barras retas são unidas por suas extremidades para formar uma configuração tridimensional, a estrutura obtida é chamada de treliça espacial.
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Tarefa Mínima TÓPICOS Projeção de um vetor Produto Misto Momento de uma força Definição e Cálculo Exercícios sobre Produto Escalar e Produto Misto Binário de uma força Definição e Cálculo Binários equivalentes Sistema força-binário Requisitos Treliça Plana Treliças simples Método dos Nós Exercícios - Método dos Nós Método das Seções Exercícios - Método das Seções Treliça Espacial Tarefa Mínima Exercícios Tarefa mínima INTRODUÇÃO MODELAGEM-GEOMETRIA MODELAGEM-RESTRIÇÕES MODELAGEM-FORÇAS RESULTADOS EXEMPLO-I EXEMPLO-II
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Tarefa Mínima
Tarefa mínima
I (^) Ler e entender os exercícios resolvidos 6.1 a 6.8. I (^) Fazer os exercícios propostos: I (^) 6.4; I (^) 6.8; I (^) 6.10; I (^) 6.20; I (^) 6.30; I (^) 6.34; I (^) 6.39; I (^) 6.49; I (^) 6.57 e 59; para entrega.
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Exercícios TÓPICOS Projeção de um vetor Produto Misto Momento de uma força Definição e Cálculo Exercícios sobre Produto Escalar e Produto Misto Binário de uma força Definição e Cálculo Binários equivalentes Sistema força-binário Requisitos Treliça Plana Treliças simples Método dos Nós Exercícios - Método dos Nós Método das Seções Exercícios - Método das Seções Treliça Espacial Tarefa Mínima
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Exercícios
Quatro forças estão aplica- das à placa da figura. (a) Determine a resultante des- sas forças. (b) Determine os dois pontos onde a linha de ação da resultante inter- cepta os lados da placa. Fonte: P3-82 Beer & Johnston
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Exercícios Encaminhamento:
[email protected] (UFPR) Estática 2012 57 / 177
Exercícios
Quatro forças são aplicadas à peça ABDE. Substitua as forças por um sistema força- binário equivalente em A. Fonte: P3-89 Beer & Johnston
Exercícios Encaminhamento:
Exercícios
Uma laje retangular de con- creto suporta a carga de quatro colunas. Determine o módulo, a direção e o ponto de aplicação da resultante das quatro cargas. Fonte: P3-93 Beer & Johnston
[email protected] (UFPR) Estática 2012 60 / 177
Exercícios
Determine os módulos das cargas adicionais a serem aplicadas em B e F a fim de que a resultante das seis cargas passe pelo centro da laje. Fonte: P3-95 Beer & Johnston
[email protected] (UFPR) Estática 2012 61 / 177
Tarefa mínima
TÓPICOS
Projeção de um vetor Produto Misto Momento de uma força Definição e Cálculo Exercícios sobre Produto Escalar e Produto Misto Binário de uma força Definição e Cálculo Binários equivalentes Sistema força-binário Requisitos Treliça Plana Treliças simples Método dos Nós Exercícios - Método dos Nós Método das Seções Exercícios - Método das Seções Treliça Espacial Tarefa Mínima
[email protected] (UFPR) Estática 2012 62 / 177
Tarefa mínima Tarefa mínima
I (^) Ler e entender os exercícios resolvidos do capítulo 3;
I (^) 3.58; I (^) 3.59; I (^) 3.64;
I 3.68;
I 3.80;
I 3.84;
I 3.88;
I 3.94;
I 3.96.
[email protected] (UFPR) Estática 2012 63 / 177
