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Professora: Janaina Pereira
X fi Fi 12 1 1 14 2 3 15 1 4 16 2 6 17 1 7 20 1 8 Total 8
A mediana será a média entre o 4º e o 5º elemento da série => 15 , 5 2
Md
Exercícios: Calcule a mediana. Resposta: 8
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSE.
F
n
Md l
ant
Onde:
h éaamplitudedointervalodeclassequecontémamediana
f éafreqüênciasimplesdaclassemediana
F é afreqüênciaacumuladadaclasseanterioràclassemediana
éaposiçãodamediananasérie 2
éolimiteinferiordaclassemediana
ant
n
l
Exemplo: idade fi Fi 3 |--- 6 2 2 6 |--- 9 5 7 9 |--- 12 7 14 12 |--- 15 3 17 15 |--- 18 2 19 total 19
F
n
Md l
ant
Professora: Janaina Pereira
Exercício: Calcule a mediana para o caso da distribuição de freqüência abaixo:
Salário f (^) i Fi 450 |--- 550 8 550 |--- 650 10 650 |--- 750 11 750 |--- 850 16 850 |--- 950 13 950 |--- 1.050 5 1.050 |-- 1.150 1 total 64
Observação:
No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a 2
n , a Mediana será o
limite superior da classe correspondente.
Por exemplo:
F n Md l
ant
(^) =^
Nota:
- A mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. Vimos que, quando tivermos um número de elementos ímpar na série de dados, há coincidência. Quanto o número de elementos de uma série é par, na há coincidência.
- A mediana depende da posição e não dos valores centrais na série ordenada.
- Usamos a mediana quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais e quando há valores extremos afetando de uma maneira acentuada a média.
Classes f (^) i Fi 0 |---10 1 1 10 |---20 3 4 20 |--- 30 9 13 30 |---40 7 20 40 |---50 4 24 50 |---60 2 26 total 26
Professora: Janaina Pereira
Calcule o Q 1 e Q (^3)
ALTURA (cm) 150 I-- 154 4 154 I-- 158 9 158 I-- 162 11 162 I-- 166 8 166 I-- 170 5 170 I-- 174 3 Total 40 Fonte: MEC
ALTURA DOS ALUNOS f i
i f k (classe 2) 30 4
i f k (classe4)
Q
Q
Exercício: Para os dados agrupados em freqüência, encontre o primeiro e segundo quartil. Resposta: 4 e 6
QUINTIS: Quando dividimos uma série em 5 partes iguais, cada parte ficará com 20% dos elementos da série. Assim temos:
K 1 = 1º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 20% dos valores a sua esquerda e
80% dos valores a sua direita.
K (^) (^2) = 2º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 40% dos valores a sua esquerda
e 60% dos valores a sua direita.
K (^) (^3) = 3º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 60% dos valores a sua esquerda e
40% dos valores a sua direita.
K (^) (^4) = 4º quintil – separa a seqüência ordenada deixando 80% dos valores a sua esquerda e
20% dos valores a sua direita.
!---------!---------!---------!---------!---------! K 1 K (^) 2 K (^) 3 K 4
Professora: Janaina Pereira
Cálculo do QUINTIL
É o mesmo cálculo de mediana sendo que 2
n deve ser substituído por 5
fi k , onde k é o
número de ordem do quintil.
f
F h
k f
K l
ant
i
k
Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule K 2.
ALTURA (cm) 150 I-- 154 4 154 I-- 158 9 158 I-- 162 11 162 I-- 166 8 166 I-- 170 5 170 I-- 174 3 Total 40 Fonte: MEC
ALTURA DOS ALUNOS f i
i f k (classe 3)
k
Exercício: A distribuição de freqüência abaixo representa o consumo por nota de 54 notas fiscais emitidas durante um dia em uma loja de departamentos. Calcule o quintil de ordem 2.
Resposta: 70,
Consumo por nota (R$) Nº de notas 0 |---- 50 10 50 |---- 100 28 100 |---- 150 12 150 |---- 200 2 200 |---- 250 1 250 |---- 300 1 Total 54
Professora: Janaina Pereira
Exercício: Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão-de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato. O seguinte quadro foi obtido. Calcule o decil de ordem 3. Resposta: 9,
Classe Tempo de mão-de-obra (horas) Nº de motores 1 0I------------4 1 2 4I------------8 5 3 8I-----------12 10 4 12I-----------16 12 5 16I-----------20 4
PERCENTIS ou CENTIL: São valores de uma série que a dividem em 100 partes iguais. Cada parte ficará com 1% dos elementos da série. Assim temos:
P 1 (^) = 1º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 1% dos valores a sua esquerda e
99% dos valores a sua direita.
P 2 (^) = 2º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 2% dos valores a sua esquerda e
98% dos valores a sua direita.
P 3 (^) = 3º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 3% dos valores a sua esquerda e
97% dos valores a sua direita. . . P 98 (^) = 98º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 98% dos valores a sua
esquerda e 2% dos valores a sua direita. P 99 (^) = 99º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 99% dos valores a sua
esquerda e 1% dos valores a sua direita.
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---! P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P
Cálculo do PERCENTIL
É o mesmo cálculo de mediana sendo que 2
n deve ser substituído por 100
k^ ^ fi , onde k é o
número de ordem do percentil.
f
F h
k f
P l
ant
i
k
Professora: Janaina Pereira
Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule P 8.
ALTURA (cm) 150 I-- 154 4 154 I-- 158 9 158 I-- 162 11 162 I-- 166 8 166 I-- 170 5 170 I-- 174 3 Total 40 Fonte: MEC
ALTURA DOS ALUNOS f i
i f k (classe 1)
P
Podemos notar que os quartis, quintis e decis podem ser expressos em termos dos precentis.
Q 1 =P25 K 1 =P20 D 1 =P 10 Q 2 =P50 K 2 =P40 D 2 =P 20 Q 3 =P75 K 3 =P60 D 3 =P 30 K 4 =P80 D 4 =P 40 D 5 =P 50 D 6 =P 60 D 7 =P 70 D 8 =P 80 D 9 =P 90
Professora: Janaina Pereira
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em
unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é
um inconveniente.
Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem a interpretação prática,
denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância.
Desvio Padrão: 2 (^) ( x ) x
Observação:
(1) O desvio padrão sempre será positivo!
(2) O desvio padrão de uma série indica o quanto os dados estão afastados da média e,
que se os dados são iguais, o valor da medida é zero.
Exemplo 7: Em uma turma de aluno, verificaram-se através da análise das notas de 15 alunos (amostra), os seguintes desempenhos:
Alunos Conceito na Prova 1 4,3 9, 2 4,5 7, 3 9 2, 4 6 1, 5 8 0, 6 6,7 0, 7 7,5 0, 8 10 7, 9 7,5 0, 10 6,3 1, 11 8 0, 12 5,5 3, 13 9,7 5, 14 9,3 3, 15 7,5 0, Total 109,8 44, Média 7,32 3,155 Variância Desvio Padrão 1,
2 Xi X
n^2 i 1 Xi X
Professora: Janaina Pereira
Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.
Exercício: Calcular a média aritmética e o desvio padrão dos seguintes dados relativos à
dosagem de hemoglobina verificada numa amostra de 12 animais bovinos (mg).
15 14 13 11 13 14 13,5 12 16 14,5 12 9
Resp.: Média = 13,083mg Variância = 3,583mg^2 Desvio padrão = 1,892mg
(2) MEDIDAS DE VARIAÇÃO RELATIVA
O coeficiente de variação : x
x CV x
. É a razão entre o desvio padrão e a média
aritmética da série dos dados. Pode ser expresso em percentual. Usado
para comparar a variabilidade de diferentes grupos de dados.
Exercício: Os dados abaixo referem-se as medidas da altura de parafusos e do diâmetro de rolamentos. Determine o coeficiente de variação, para verificar em relação a qual medida (parafuso ou rolamento) a variabilidade é maior, sabendo-se que o desvio padrão dos parafusos é de 0,46 cm e dos rolamentos é de 0,27 cm?
Parafusos (cm) 10,2 10,6 9,8 10,0 9,8 10,4 9, Rolamentos (cm) 2,2 2,5 1,8 1,9 2,0 1,7 1,
Resposta: CVp = 4,6 e CVr = 13,5. Os rolamentos apresentam maior variabilidade.
Professora: Janaina Pereira
Seja S o seu espaço amostral. Se todos os elementos de S tem a mesma chance de
acontecer, então, chamamos de PROBABILIDADE DE UM EVENTO A, A S , o
número real P(A), tal que:
( )
( ) ( ) nS
nA P A , onde n(A) é o número de elementos de A e n(S) é o número de elementos
de S.
Exemplos: Considere o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”.
S= {Ca, Co} n(S) = 2 A = {Ca} n(A) = 1 P(A) = 2
EVENTOS COMPLEMENTARES
Exemplo: Pesquisa afirma que de um grupo de 100 pacientes fumantes aparecem as
seguintes evidências^1.
Eventos (evidências): e 1 = Normal; e 2 = Bronquite; e 3 = Câncer no Pulmão; e 4 = Tuberculose Espaço Amostral: = {Normal; Bronquite; Câncer no Pulmão; Tuberculose}
Evidências Normal Bronquite Câncer no Pulmão Tuberculose Nº de Pacientes 25 60 10 5
Se a probabilidade de um paciente apresentar tuberculose é de 0,05. Então se abordarmos
um paciente, ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha tuberculose ausente.
Resolução:
“e 4 ”: paciente tem tuberculose: 0 , 05 100
P ( e 4 )
Como: P ( e 4 ) P ( e 4 ) 1 Então, P ( e 4 ) 1 P ( e 4 ) 1 0 , 05 0 , 95 onde e 4 significa:
paciente tem tuberculose ausente.
Assim, a chance de abordarmos um paciente que tem tuberculose ausente é 95%.
(^1) Considere estas evidências as mais comuns entre pacientes. Suponha também que as evidências acima
sejam exclusivas.
Professora: Janaina Pereira
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Se os mesmos elementos não podem ocorrer simultaneamente.
P(AB) = P(A) + P(B), a probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das
probabilidades.
Exemplo: Considerando os dados do exemplo (1).
Evidências Normal Bronquite Câncer no Pulmão Tuberculose Nº de Pacientes 25 60 10 5
Se abordarmos um paciente, ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha câncer de pulmão ou tuberculose?
Resolução: 0 , 15 100
P ( e 3 e 4 ) P ( e 3 ) P ( e 4 )
EVENTOS QUE NÃO SÃO MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)
De um grupo de 80 pessoas considere:
SITUAÇÃO
EMPREGATÍCIA
SITUAÇÃO ESCOLAR
Total Até o Nível Médio Nível Superior Empregada 10 35 45 Desempregada 15 20 35 Total 25 55 80
A probabilidade de uma pessoa estar desempregada ou ter nível superior. Resolução:
0 , 8750 80
P ( D S ) P ( D ) P ( S ) P ( D S )
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um evento
não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Quando lançamos
dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.
P(A e B) = P(AB) = P(A)P(B)
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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
Qual a probabilidade de sair ás de ouros quanto retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Qual a probabilidade de sair um rei quanto retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule?
a- A probabilidade de essa peça ser defeituosa:
b- A probabilidade de essa peça não ser defeituosa:
No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5.
De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo baralho. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo baralho ser o 5 de paus?
Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; Uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; Uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as 3 bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a 5?
Professora: Janaina Pereira
GABARITO
A = sair ás de ouros P(A)=1/
A = sair rei P(A)=4/
a) A= a peça ser defeituosa P(A)=4/
b) B=a peça ser perfeita P(B)=8/
- A= a soma ser 5 A={(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} P(A) = 4/
- A= sair rei
B= sair 5 de paus P(A E B) = P(A)x P(B) = 4/52 x 1/52 = 4/
A= 3 bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde
P(A)= 3/9 x 2/8 x 4/9 = 24/
- C= sair ás de paus e reis de paus
P(C1 e C2)= P(C1). P(C2/C1) = 1/52 x 1/51 = 1/
Figuras = valete, dama e rei A= sair uma figura P(A) = 12/
- A= sair copas ou ouros P(A)=13/52 + 13/52 = 26/
- A= número maior que 5 P(A)=1/
Professora: Janaina Pereira
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
- Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Nos casos em que não é descrita uma distribuição de probabilidade, identifique a condição que não é satisfeita. E quando for descrita uma distribuição de probabilidade, determine sua média e desvio padrão. a) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade do número x de mulheres contratadas. X p(x) 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0,0625 (^) Resposta: 2 e 1
b) Ao avaliar riscos de crédito, Jefferson investiga o número de cartões de crédito que a pessoa tem. Com x sendo o número de cartões de crédito que os adultos possuem a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade para um conjunto de solicitantes. X p(x) 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0,14 (^) Resposta: 2,8 e 2,
2)Seja X uma variável aleatória discreta assumido valores no conjunto {1, 2, 3} e com distribuição de probabilidade dada por:
x 1 2 3 P(X=x) 1/3 1/6 1/
a. Calcule a média de X. (resposta: 2,165)
b. Calcule a ( P x 2 (resposta: 0,666)
c. Calcule a ( P x 2 (resposta: 0,5)
3)O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
T 2 3 4 5 6 7 P(T=t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0, Calcule o tempo médio de processamento. Resposta: 4,6 minutos
Professora: Janaina Pereira
DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS: DISCRETA E CONTÍNUA
(1) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (discreta)
Vimos que uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de um
experimento aleatório e uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a
cada valor de uma variável aleatória.
Veremos agora como determinar as probabilidades para uma categoria importante de
distribuição de probabilidades: OS EXPERIMENTOS BINOMIAIS.
Os experimentos binomiais têm a característica de apresentarem exatamente dois
resultados complementares: SUCESSO E FRACASSO.
Exemplo: Em processos industriais: as peças falham ou não falham. Na medicina: um paciente sobrevive ou morre. Em propaganda, um consumidor reconhece um produto ou não.
Definição:
Um experimento binomial é um experimento que satisfaz as seguintes condições:
- O experimento deve comportar um número fixo de provas (n).
- As provas devem ser independentes (o resultado de qualquer prova não afeta as probabilidades das outras provas.)
- Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias (sucesso e fracasso).
- As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.
Quando fazemos um experimento binomial, a distribuição da variável aleatória x é
chamada uma DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.
