Faculdade d e C iˆencias da Universidade de Lisboa
Exame de Teoria Elementar dos N´umeros
17 de Dezembro de 2009
Dura¸c˜ao: 2h30m.
Primeira Parte
1. Calcule o resto de 12300 na divis˜ao por 7.
2. Apresente a menor solu¸c˜ao positiva do sistema
x≡2 (mod 11)
x≡1(mod8)
3. Seja num inteiro qualquer. Mostre que n13 −n´e divis´ıvel por 26.
4. Mostre que h´a infinitos inteiros npara os quais 3 |/φ(n).
5. Prove que um conjunto de ninteiros consecutivos forma um sistema
completo de res´ıduos m´odulo n.
Segunda Parte
6. Seja num inteiro livre de quadrados e ron´umero de divisores primos
de n. Mostre que τ(n)=2
r.
7. (a) Verifique que 2 ´e raiz primitiva m´odulo 11, mas 5 n˜ao ´e. Fa¸ca uma
tabela das potˆencias de 2 m´odulo 11, com expoente entre 0 e 10.
(b) Encontre as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x2+5x+6≡1 (mod 11).
8. Diga se a equa¸c˜ao x2≡43 (mod 271) tem ou n˜ao solu¸c˜oes (271 ´e
primo).
9. Seja pum primo ´ımpar e k>1. Mostre que x2≡1(modpk)tem
apenas duas solu¸c˜oes n˜ao congruentes, x=±1.
FIM
