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Ence
4. Estimação Pontual.
Exemplo 4.
Suponha que (^1 2 n)
X , X ,..., X
seja uma amostra aleatória de uma variável aleatória X
com distribuição exponencial de parâmetro λ. Sabemos que o primeiro momento de X é
igual a (^) ( ) ( ) 1
E X = α X =
λ
e o primeiro momento da amostra é
n
1 i
i 1
M X
n
∑
. O
método dos momentos consiste em resolver a equação
1
M = ou X=
λ Λ
De forma que
n
i
i 1
1 n
X
X
=
∑
. Se uma amostra de tamanho n = 6 da variável X
apresenta os valores 45.7 , 38.6 , 58.8 , 21.3 , 39.0 e 45.2 então
x 41, 43
= = (^) e
a estimativa para λ é igual a
λ = =
Exemplo 4.
Se X é uma variável aleatória cuja função de densidade depende de sua média
μ de sua
variância
2
σ , então obtemos os estimadores dos parâmetros obtidos pelo método dos
momentos conforme segue,
( )
( )
1
2 2
2
X
X
α = μ
α = σ + μ
Daí, resolvemos a sistema
2 2
2
X
M X
μ =
σ = −
ou
( )
n
i
i 1
2 n n n 2 2 2 2
i i i
i 1 i 1 i 1
X
n
X X X X
n n n
=
= = =
μ =
σ = − ∴ σ = −
∑
∑ ∑ ∑
Obs: Se o s-ésimo momento de X independe do parâmetro θ , toma-se o momento
de ordem imediatamente superior, para estabelecer o estimador correspondente. O
exemplo 4.3 que segue, esclarece esta questão.
Ence
Exemplo 4.
Suponha X uniformemente distribuída no intervalo (^ − θ^ ;θ^ ). Como E(X) = 0, ou seja,
independente de θ, calcularemos o segundo momento de X e o igualaremos ao
momento de segunda ordem da amostra:
( )
2 2
2
x
X dx
θ
− θ
θ
α = =
θ
∫
Assim, o estimador de θ pelo método dos momentos é
2
2 2
M 3M
4.2 Estimação pelo Método de Máxima Verossimilhança.
Exemplo 4.
O Diretor de uma Escola, no início de um certo dia, inquiriu sua bibliotecária sobre o
número médio de retiradas de publicações para consulta, por dia. Alertou-a que
precisava da informação no início do dia seguinte. Não dispondo de dados históricos, ela
resolveu registrar o valor observado naquele dia, e a partir desta única observação,
inferir o número desejado pelo Diretor. Ao final do dia a bibliotecária registrou x = 5
“retiradas para consulta”, e, com base em sua experiência, decidiu informar este próprio
valor como sendo o número médio desejado.
Suponhamos que o número de retiradas X, tenha distribuição de Poisson (λ), cuja função
de probabilidade é
k
e
P(X k) ,
k!
− λ
λ
= = k = 0,1,2,.....
Recordemos que E(X) = λ, isto é, o próprio parâmetro de
P(X = k) .
Segue abaixo um extrato da tabela de Probabilidades da Poisson, contida no Apêndice
A3.6.
k\λ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X=5) 0.0031 0.0361 .1008 .1563 .1755 .1606 .1277 .0916 .0607.
O quadro mostra na realidade, uma função f (5,^ λ^ ), do parâmetro λ, assumindo valores
no intervalo (0,1). Esta função assume seu valor máximo no ponto λ = 5.
A solução proposta pela bibliotecária, embora rápida, simples e baseada numa única
observação do fenômeno, tem seu valor, na medida que o valor k = 5 é mais provável de
ocorrer se o parâmetro da população é igual a λ = 5.
Exemplo 4.
Suponha que uma urna contenha bolas brancas e pretas na proporção de 3 para 1, mas a
cor mais freqüente é desconhecida. Sendo assim a probabilidade de seleção aleatória de
uma bola preta é igual a 0.25 ou 0.75. Se n bolas são extraídas aleatoriamente da urna,
com reposição, a distribuição de X, número de bolas pretas observadas, é Binomial (n,¼)
ou Binomial (n,¾), ou seja
Ence
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
n
i
i i 1
X
n X
-n
n
i 1 (^) i
i
i 1
n n
i i
i 1 i 1
n
i
i 1
e
L L =e
x!
x!
ln L n ln x ln x!
dL (^1)
n x
d
=
− λ
λ
=
=
= =
=
λ λ
λ = ⇒ λ
λ = − λ + λ −
λ
λ λ
∏
∏
∑ ∏
∑
Finalmente, obtemos o EMV do parâmetro λ, igualando a zero a equação e calculando o
valor de λ
De forma que o EMV do parâmetro λ, de uma distribuição de Poisson, é a média da
amostra
n
i
i 1
X X
n
∑
Exemplo 4.
Suponha que uma amostra de tamanho n seja obtida a partir de uma variável aleatória de
Bernoulli de parâmetro p, ou seja
x 1 x
P(X x) p q
−
= = (^) , x = 0,1 0 ≤^ p^ ≤^1
A função de verossimilhança é
( )
n n
i i
i 1 i 1
x n x
L p p (1 p)
= =
− ∑ ∑
Façamos
n
i
i 1
y x
=
∑
→ ln L p( )= y ln p + (n − y) ln(1 −p)
d ln L(p) y n y
dp p 1 p
y n y
0 y yp np yp y np
p 1 p
De forma que a estimativa de máxima verossimilhança de p é
n
i
i 1
p ˆ x
n
∑
Conclui-se daí que o EMV de p é a média da amostra
n
i
i 1
X X
n
∑
Ence
Exemplo 4.
Seja (^ ) 1 2 n
X , X ,..., X (^) uma amostra aleatória de uma variável normalmente distribuída
com parâmetros
2
μ e σ. A função de verossimilhança da amostra é dada por
( )
( )
( )
( )
2 n
2 i
2
i 1
n
2
i
i 1
n 2 (^2) 2
1 x
L , exp
x
= exp
=
=
−^ μ
μ σ = −
σ π σ
− μ
σ π σ (^)
∏
∑
( ) ( ) (^ )
n
2 2 2
2 i
i 1
n 1
ln L , ln 2 x
=
μ σ = − π σ − − μ
σ
∑
Daí, temos
( )
( )
( )
( )
2 n
2 i
i 1
2 n
2
2 2 4 i
i 1
d ln L , 1
x 0
d
d ln L , n 1
x 0
d 2 2
=
=
μ σ
= − μ =
μ σ
μ σ
= − + − μ =
σ σ σ
∑
∑
As soluções das equações acima fornecem os EMV dos parâmetros, quais sejam
( )
n n 2 2
i i
i 1 i 1
ˆ (^) X X e ˆ X X
n n = =
μ = = σ = − ∑ ∑
O método de estimação por máxima verossimilhança permanece válido para funções do
parâmetro, ou seja os EMV’s são invariantes em relação a transformações do parâmetro.
Suponha que ˆ Β
seja o EMV de um parâmetro β e seja uma função θ^ =^ g(^ β^ ). Nós
podemos escrever L(β) em função de θ fazendo-se (^ )
1
g
−
β = θ (^) em L(β). A estimativa de
MV do parâmetro θ será obtida substituindo-se
β por β , na função, isto é (^) ( )
θ =g β (^).
Exemplo 4.
Obter o EMV do parâmetro p da variável aleatória Geométrica e a seguir da função
θ = g p ( ) =1-p=q.
Solução:
Se X é geométrica(p)
x 1
P(x) pq
−
⇒ = (^) x=1,2,3,.... e a função de verossimilhança é
n
i
i 1
n n
n
i
i 1
x
L(p) p q ln L(p) n ln p n x ln(1 p)
=
−
=
∑
Derivando-se em relação a p , temos
n
i
i 1
d ln L(p) n 1
n x
dp p 1 p
∑
n
i
i 1
n np np p x p
x
∑
p=^ ˆ
X
Ence
( )
( ) ( )
n n 2 2 2 2
2 i i
i 1 i 1
n n
2 2 2 2
2 i i
i 1 i 1
E(M ) E X X E X 2nX nX
n n
E(M ) E X nX E X E X
n n
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
( ) ( )
2 2
2 i
E(M )′ = E X −E X
Recordemos que,
( )
2 2 2
i
E X = σ + μ e (^) ( )
2
2 2
E X
n
σ
= + μ
De forma que,
( )
( )
2
2 2 2
2
2
2 2
2
E M
n
n 1
E M
n n
(^) σ
′ = σ + μ − + μ
−^ σ
′ (^) = σ = σ −
Registramos portanto que o momento central de segunda ordem da amostra é um
estimador viciado da variância
2
σ da população, com tendenciosidade (vício)^ igual
[ ]
2
2
B M
n
σ
Exemplo 4.
Suponhamos que X tenha distribuição de Poisson (λ). Além das
n
2 − 1 médias possíveis
que definem estimadores não tendenciosos para λ, outras opções são disponíveis. Por
exemplo, como E(X) = VAR(X) = λ, então
2
S é também um estimador não tendencioso
para o parâmetro λ. Ainda mais: as estatísticas ( ) i i j
X X − X , i ≠ j = 1,2,3,...,n são
também estimadores não tendenciosos de λ, conforme constatamos abaixo,
( ) ( ) ( ) (^ )^ ( )
( )
2 2
i i j i i j i i j
2 2
i
E X X X E X X X E X E X E X
Var X
= + λ − λ = λ
Exemplo 4.
Segundo o teorema 3.2 a variável (^ )^
2 2
n − 1 S σ tem distribuição qui-quadrado com (n-
- graus de liberdade, e, em conseqüência (^ )^ (^ )
2 2
Var n − 1 S σ = 2 n − 1
(1) A sucessão ( ) n 1 2 n
Θ = g X , X ,..., X converge em probabilidade para a constante θ.
Daí segue que
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 4
2 2
4
n (^1 )
Var S 2 n 1 Var S
n 1
− (^) σ
σ −
Ence
Como
2
S é um estimador não tendencioso de
2
σ , então
2 2
E(S ) = σ (^).
Aplicando-se a desigualdade de Chebyshev, temos:
{ }
( )
4
2 2
2 n n
lim P S lim 0
n 1
→ ∞ → ∞
σ
− σ ≥ ε ≤ =
− ε
{ }
2 2 2
n
lim P S 0 S
→ ∞
− σ > ε = ⇒ (^) é um estimador consistente de
2
σ.
Exemplo 4.
Seja ( ) 1 2 n
X , X ,..., X (^) uma amostra aleatória de uma variável aleatória X com média μ e
desvio padrão
σ
. Então (^) X é um estimador consistente do parâmetro μ.
Prova: { }
2
2 n n
lim P X lim 0 X é consistente
n
→ ∞ → ∞
σ
− μ ≥ ε ≤ = ⇒
ε
Exemplo 4.
Se X é uma variável aleatória de Bernoulli (p), então X
é um estimador não tendencioso
de p. Verifique se X
é eficiente.
Recordemos que (^) ( ) ( )
pq
E X =p e Var X
n
= e que a função de probabilidade de X é
( ) ( )
1 x x
P X x p 1 p ,
−
= = − x = 0,.
( ) ( )
( )
ln P(X) X ln p (1 X) ln(1 p)
ln P X (^) X 1 X X Xp p Xp X p
p p 1 p pq pq
Calculemos agora o denominador da variância mínima, conforme Cramér-Rao,
( )
2
2 2 2 2
X p n n n
nE Var X pq
pq p q p q pq
= × = × =
Aplicando-se a desigualdade, obtemos
( )
1 pq ˆ Var
n n
pq
Portanto, se
Θ é um estimador não tendencioso do parâmetro p da variável aleatória de
Bernoulli, então a sua variância mínima é igual a pq/n. Nestas condições, como Var( (^) X
)=pq/n, então (^) X tem a menor variância possível dentre todos os estimadores não
tendenciosos de p, e, portanto (^) X é um estimador eficiente de p.
Exemplo 4.
Obtenha a variância mínima de um estimador
Θ , não tendencioso,^ do parâmetro^ μ^ da
variável aleatória X, N( ,μ^ σ^ ).
Ence
Exemplo 4.
Consideremos uma amostra aleatória de uma variável aleatória X normalmente
distribuída com média μ desconhecida e variância
2
0
σ (^) conhecida.
A função de verossimilhança da amostra é:
( )
( )
( )
n
2
n 2 2 i n
0 i 1 0
L exp x
μ = − − μ
σ σ π (^)
∑
Verificamos que,
( )
n n
2 2 2
i i
i 1 i 1
x x 2 nx n
= =
− μ = − μ + μ ∑ ∑
De forma que,
( )
( )
( )
( )
n
2 2
n 2 2 i n
0 i 1 0
n
2
2 i 2
0 i 1
n n 2^2
0 0 0
L exp x 2 nx n
exp x
(^2) n n
L exp x exp
=
=
μ = − − μ + μ (^)
σ σ π (^)
σ (^) μ (^) − μ
μ = × × ×
σ σ σ π (^)
∑
∑
Façamos,
( )
n
2
2 i 2
0 i 1
(^1) n 2 1 2 0 2 2 n
0 0 0
exp x
(^2) n n
ˆ L , , x e
=
σ (^) μ − μ
= θ = Θ = θ =
σ σ σ π
∑
Finalmente podemos afirmar que (^) X é um estimador eficiente de μ, pois escrevemos
L (^) ( μ (^) ) como segue,
1 {^0 1 2 }
L = L × exp Θ .θ + θ
Exemplo 4.
Como vimos no exemplo 4.7, o EMV do parâmetro λ de uma distribuição de Poisson é
X
e E X( )=^ λ^ e Var X( ).
n
λ
Calculemos a variância mínima de um estimador não tendencioso para λ, dada pela
desigualdade de Cramér-Rao:
( )
( ) (^) ( )
2
2
2
ln P(X) X ln ln(X!)
ln P X (^) X
X n n ˆ nE E X Var
n
= − λ + λ −
∂ λ λ
−^ λ^ λ
= − λ = ⇒ Θ =
λ^ λ^ λ
De forma que (^) X é um estimador eficiente de λ, e, para n suficientemente grande, (^) X é
assintoticamente N( ;λ^ λ^ n), de acordo com o Teorema 4.5.
Ence
Exemplo 4.
O estimador de máxima verossimilhança do parâmetro λ de uma população X com
distribuição exponencial é
X
(vide exercício 4.2.2).
Se X é exponencial (λ), então
n
i
i 1
X
=
∑ tem distribuição Gama (λ,n) e por sua vez^ X tem
distribuição Gama(nλ,n), cuja função de densidade é
( )
( )
( )
n
n 1 n y
X
n
f y y e y>
n
− − λ
λ
De maneira que a média de
X
é calculada como segue,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n 1 n y
0
n
n 1
n (^1)
ˆ E y e dy
n y
n n (^1) n
ˆ ˆ E E
n n 1 n
− − λ
−
λ
λ Γ − (^) λ
λ
∫
Calculemos agora o segundo momento de ˆ Λ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
n
2 n 1 n y
2
0
n 2 2
2 2
n 2
n (^1)
ˆ E y e dy
n y
n n (^2) n
ˆ ˆ E E
n n 1 n 2 n
− − λ
−
λ
λ Γ − (^) λ
λ
∫
De forma que a variância de ˆ Λ
é dada por:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2
2 2
n n n ˆ ˆ Var Var
n 1 n (^2) n 1 n 1 n 2
λ λ
Λ = − ⇒ Λ = λ
Notemos que o estimador ˆ Λ
é tendencioso na estimação de λ, isto é
( ) ( )
n ˆ ˆ ˆ ˆ E E B B
n 1 n 1
λ λ
Λ = ⇒ Λ = λ + ^ Λ ^ ⇒ ^ Λ =
− −
Temos ainda que
é assintoticamente não tendencioso visto que para n suficientemente
grande,
B 0
e consequentemente
E.
Λ = λ
Analisemos a variância quando n cresce indefinidamente,
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2 n n n
n 1
ˆ lim Var lim lim
n 1 n 2 1
1 n 2
n
→ ∞ → ∞ → ∞
Λ = λ = λ
^
