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Exemplos - Núcleo e Imagem
Exemplo 1: Considere a transformação linear:
T : R^2 −→ R (x, y) 7 −→ T (x, y) = 3x + 2y
Vamos determinar o núcleo da transformação linear T.
Um elemento de R^2 está no núcleo se a transformação T o transforma no elemento neutro de R, ou seja:
T (x, y) = 3x + 2y = 0 ⇒ y = −
x
Assim, a reta y = − 32 x, subespaço vetorial, de R^2 , é o núcleo da transformação linear T.
Figura 1: A reta y = − 32 x é o núcleo da transformação linear T.
Exemplo 2: Considere a transformação linear: T : R^3 −→ R^2 (x, y, z) 7 −→ T (x, y, z) = (x − y − z, 2 z − x)
Vamos determinar a imagem da transformação linear T.
Todo elemento do contra-domínio R^2 pertence a imagem de T se for da forma:
(x − y − z, 2 z − x) = x(1, −1) + y(− 1 , 0) + z(− 1 , 2)
Logo, temos que Im(T ) = [(1, −1), (− 1 , 0), (− 1 , 2)]. Escalonando esses geradores da imagem, como linhas de uma matriz, para obtermos uma base, temos:
E, portanto, {(1, −1), (0, −1)} é uma base para Im(T ) e dim(Im(T )) = 2 = dim(R^2 ). Como Im(T ) é um subespaço do R^2 e tem a mesma dimensão que R^2 , concluímos que Im(T ) = R^2.
Exemplo 3: Considere a transformação linear T : R^2 −→ R^3 tal que:
T (1, 1) = (3, 2 , 1), T (0, −2) = (0, 1 , 0)
Vamos determinar o núcleo e a imagem de T.
Primeiro, determinamos explicitamente a transformação T. Podemos verificar que {(1, 1), (0, −2)} é uma base para R^2. Todo elemento do R^2 pode ser escrito de modo único como:
(x, y) = x(1, 1) +
−y + x 2
Assim, temos:
T (x, y) = T
x(1, 1) +
−y + x 2
= xT (1, 1) +
−y + x 2
T (0, −2) ⇒
⇒ T (x, y) = x(3, 2 , 1) +
−y + x 2
(0, 1 , 0) ⇒ T (x, y) =
3 x, −y + 5x 2
, x
Agora, um elemento do R^2 pertence ao núcleo de T se ele é transformado no elemento neutro do R^3 pela transformação T , ou seja:
T (x, y) =
3 x,
−y + 5x 2 , x
3 x = 0 −y+5x 2 = 0 x = 0
x = 0 y = 0
Logo, N (T ) = {(0, 0)}.
Figura 2: A origem (0, 0) é o núcleo da transformação linear T.
Vamos determinar o conjunto imagem de T. Um elemento do contra-domínio R^3 pertencerá a imagem de T se for da forma: ( 3 x,
−y + 5x 2 , x
= x
Assim, Im(T ) =
[(
)]
. Podemos ver facilmente que esse conjunto de geradores é L.I. e portanto,
é uma base para Im(T ).
Exemplo 4: Considere a transformação linear:
T : R^3 −→ R^4 (x, y, z) 7 −→ T (x, y, z) = (x − y − z, x + y + z, 2 x − y + z, −y)
Vamos determinar o núcleo e a imagem desta transformação linear.
