www.abacoaulas.com Derivadas Parciais Prof. Alexandre Ortiz Calvão
1a Parte. Derivadas Parciais.
Derivada parcial: Suponha que f(r,s,...,y,z) seja
uma função de n variáveis. A derivada parcial de
f em relação a sua variável t e representada por
ft e é definida como sendo a função obtida
derivando-se f em relação a t e considerando-se
as outras variáveis como constantes.
Notação: fx, fy, ∂f/∂fx, ∂f/∂y
À medida que damos um zoom em um ponto
pertencente à uma superfície, que é o gráfico de
uma função diferenciável de duas variáveis, a
superfície parece mais e mais com um plano (seu
plano tangente) e podemos aproximar a função,
nas proximidades do ponto, por uma função
linear de duas variáveis.
Derivada parcial de segunda ordem:
fxx, fyx, fxy, fyy; ∂2f/∂x2 etc
Derivadas parciais mistas de segunda ordem:
fyx = fxy
Teorema da igualdade das derivadas
parciais mistas (Schwartz). Se fxy(a,b) e
fyx(a,b) forem contínuas em (a,b), então
fxy(a,b) = fyx(a,b)
Linearidade local. Fórmula de aproximação,
diferenciação total:
variação de f =
(taxa de variação na direção x). △x +
(taxa de variação na direção y). △y
△f = ∂f/∂x.△x + ∂f/∂y.△y
Linearização local. Aproximação pelo plano
tangente a f(x,y) para (x,y) próximo do ponto
(a,b). Desde que f seja diferenciável em (a,b)
podemos aproximar f(x,y)
f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b).
Pensamos em a e b como fixos, de modo que a
expressão no segundo membro linear em x e y. O
segundo membro desta aproximação chama-se a
linearização local de f perto de x=a, y=b.
Diferencial. A diferencial de uma função z=f(x,y)
A diferencial df (ou dz), num ponto (a,b) é a
função linear de dx e dy dada pela fórmula
df=fx(a,b).dx +fy(a,b).dy
A diferencial num ponto geral frequentemente é
escrita como df=fx.dx +fy.dy
Teorema. Se as derivadas parciais fx e fy existem
perto do ponto (a,b) e são contínuas em (a,b),
então f é diferenciável em (a,b).
Teorema da igualdade das derivadas
parciais mistas (Schwartz). Seja f: A ⊂ R2 ->
R, A aberto. Se f or de classe C2 em A,
∂2f(x,y)/∂x∂y = ∂2f(x,y)/∂y∂x
para todo (x,y) ∈ A.
2a Parte. Regra da cadeia e Teorema
da função implícita.
Regra da cadeia para uma variável
independente.
Seja w=f(x,y), onde f é uma função diferenciável
de x e y. Se x=g(t) e y=h(t), onde g e h são
funções diferenciáveis de t, então w é uma
função diferenciável de t e
dw/dt = ∂w/∂x.dx/dt + ∂w/∂y.dy/dt
Regra da cadeia: duas variáveis
independentes
Seja w=f(x,y), onde f é uma função diferenciável
de x e y. Se x=g(s,t) e y=h(s,t) são tais que as
derivadas parciais de primeira ordem ∂x/∂x, ∂x/∂t,
∂y/∂s, ∂y/∂xt existem, então ∂w/∂s e ∂w/∂t
também existem e são dadas por
∂w/∂s = ∂w/∂x.∂x/∂s + ∂w/∂y.∂y/∂s
e
∂w/∂t = ∂w/∂x.∂x/∂t + ∂w/∂y.∂y/∂t
Regra da cadeia e diagrama em árvore.
Para achar a taxa de variação de uma variável
com relação a outra numa cadeia de funções
compostas diferenciáveis;
a) Trace um diagrama em árvore exprimindo as
relações entre as variáveis e assinale cada
ligação no diagrama a derivada que relaciona as
variáveis nas extremidades.
b) Paca cada caminho entre duas variáveis
multiplique as derivadas de cada passo ao longo
do caminho.
c) Some as contribuições de cada caminho.
Diferenciação Implícita. Se a equação f(x,y)=0
define y como uma função diferenciável de x,
então
dy/dx= -Fx(x,y)/Fy(x,y),
Condições de aplicabilidade do teorema da
função implícita.
i. Se F(a,b,c)=0, Fz(a, b, c)≠ 0, e Fx, Fy, e Fz são
contínuas dentro da esfera, então a equação F(x,
y, z) define z como uma função de x e y perto do
ponto (a, b, c) e esta função é diferenciável com
derivadas das por:
∂z/∂x = -Fx(x,y)/Fz(x,y), Fx(x,y)≠ 0
e
∂z/∂y = -Fy(x,y)/Fz(x,y), Fz(x,y)≠ 0
z
z/xz/x
x/sx/ty/sz/t
xy
stst
Grafo de árvore
