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VAZÃO Curva Bomba Rendim. (m3/s) H(m) (%) 0 50,6 0 0,006 49 40 0,012 46,3 74 0,015 44,6 82, 0,018 42,4 86 0,024 39,2 85 0,03 34,2 70 0,036 29,5 46 0,042 23,6 8
900m D2=0,15 m 360m
D1=0,10 m
(B)
Exercício – Dois Reservatórios.
Uma bomba centrífuga, com rotação igual a 1750 rpm e curva característica dada pela tabela a seguir, está conectada a um sistema de elevação de água que consta de duas tubulações em paralelo e dois reservatórios. Uma tubulação de 0,10m de diâmetro, comprimento de 360m e fator de atrito f 1 =0,015 está ligada ao reservatório com nível d’água na cota 800m, e a outra, de 0,15m de diâmetro, comprimento de 900m e fator de atrito f 2 =0,030, está ligada ao reservatório com nível d’água na cota 810m. O reservatório inferior tem nível d’água na cota 780m. Assumindo que os fatores de atrito sejam constantes, independentes da vazão, determine:
a) Ponto de funcionamento do sistema; b) As vazões em cada tubulação da associação; c) A potência necessária à bomba.
Dados: D 1 =0,10m, L 1 =360m, f 1 =0,015, D 2 =0,15m, L 2 =900m, f 2 =0,030, = 1000 kg/m^3 (água)
Solução: Assumindo que as perdas de velocidade são despresíveis, tem-se:
Equação da energia do trecho (0) até ponto (2)
e H 2 = Z 2 = 30
Equação da energia do trecho (B) até ponto (1)
e H 1 = Z 1 = 20
Igualando (1) com (2) vem:
𝐻 2 = 30 + ∆𝐻𝐵2 = 20 + ∆𝐻𝐵
Cálculo da perda de carga até tanque (1), utilizando a fórmula de Derci-Weisbach, para cada vazão dada na tabela:
∆𝐻 1 = 0,0827 𝑥 𝑓^1 𝑥 𝐿^1 𝑥 𝑄^1
2 𝐷 15
Para vazão de 0,006 m3/s vem; ∆𝐻 1 = 0,0827 𝑥 0,015 𝑥 360 𝑥 0,006^2 0,10^5 →^ ∆𝐻^1 = 1,6077𝑚
Repetir para todas as vazões, vide planilha excel
Cálculo da perda de carga até tanque (2), utilizando a fórmula de Derci-Weisbach, para cada vazão dada na tabela:
∆𝐻 2 = 0,0827 𝑥 𝑓 2 𝑥 𝐿 2 𝑥 𝑄 22 𝐷 25
Para vazão de 0,006 m^3 /s vem; ∆𝐻 2 = 0,0827 𝑥 0,030 𝑥 900 𝑥 0,
2 0,15^5 →^ ∆𝐻^2 = 1,0586𝑚
Repetir para todas as vazões, vide planilha excel
Cálculo da energia do ponto B até ponto (1), equação de Bernoulli, simplificada desprezando as perdas na sucção:
H 1 = Z 1 + ΔH 1 → H 1 = (800 – 780) + 1,6077 → H 1 = 21,6077 m
Repetir para todas as vazões, vide planilha excel
Portanto com auxilio do Excel plota-se curva geral do sistema (contendo os dois tanques), sendo nas absissas a soma das vazões e nas ordenadas a altura H.
O Ponto de funcionamento do sistema é o encontro da Curva da Bomba com a Curva do Sistema, ou seja, com o auxilio do Excel,
Equação da Curva da Bomba: H = -8.567,4Q^2 – 287,2Q + 50,
Equação da Curva do Sistema: H = 11.255Q^2 – 205,47Q + 30,
Igualando as duas tem-se a vazão do Ponto de Funcionamento, vem:
-8.567,4Q^2 – 287,2Q + 50,785 = 11.255Q^2 – 205,47Q + 30,
-19.792,4Q^2 – 81,73Q + 20,339 = 0 → Resolvendo a equação do segundo grau, tem-se:
Q = 0,03 m^3 /s
Substituindo a vazão Q = 0,03 m^3 /s ou na equação da Curva da Bomba ou nas Curva do Sistema, obtem-se:
Substituindo por exemplo na Curva do Sistema: H = 11.255Q^2 – 205,47Q + 30,
Encontra-se: H = 34,4 m
Substituindo o valor da vazão Q = 0,03 m^3 /s na curva do rendimento (equação encontrada com auxilio do excel), vem:
= -189.319Q^2 + 8.096,2Q + 0,375 → = 72%
Se derivar a equação acima encontra-se o ponto máximo, ou seja, a vazão onde o rendimento é máximo, vem:
dQ/dt = -189.319. 2 + 8096,2. 1 = 0 → dQ/dt = 0,02138 m3/s
Substituindo essa vazão na equação do rendimento, obtem-se o rendimento máximo, vem:
= -189.319. 0,2138^2 + 8.096,2. 0,02138 + 0,375 → = 87%
a) Portanto Ponto de Funcionamento do Sistema: Q = 0,03 m^3 /s e H = 34,4 m
As vazões em cada tubulação da associação será:
→ 𝑄 1 = 0,018 𝑚^3 /𝑠
→ 𝑄 2 = 0,012 𝑚^3 /𝑠
b) Vazões em cada tubulação: Q 1 = 0,018 m^3 /s e Q 2 = 0,012 m^3 /s
A Potência da Bomba utilizando dados anteriores será de:
c) A Potência da bomba: Pt = 14,46 kW
22 12 0,0222 0,0202 0, 24 14 0,0232 0,0218 0, 26 16 0,0241 0,0233 0, 28 18 0,0250 0,0247 0, 30 20 0,0259 0,0261 0,
Curva da Bomba H = -8567,4Q^2 - 287,2Q + 50,
Curva T H = 44658Q^2 + 20
Curva T H = 29404Q^2 + 30
Curva Soma Vazões H = 11225Q^2 - 205,47Q + 30,
Curva Rendimento = -189319Q^2 + 8096,2Q + 0,
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05 0,055 0,
Rendimento (%)
H (m)
Vazao Q (m3/s)
Curvas Problema 5.
Curva Bomba T T Curva Sistema Rendimento Poly. (Curva Bomba) Poly. (T1) Poly. (T2) Poly. (Curva Sistema) Poly. (Rendimento) Log. (Rendimento) Poly. (Rendimento)
Q
34
Q
0,012 0,
VAZÃO Curva Bomba Rendim. Perda T1 Perda T2 Eq. Energia Eq. Energia Diferença Diferença Vazão T1 Vazão T2 Soma Perda Total Potencia (m^3 /s) (^) H(m) (%) ΔH1(m) ΔH2(m) (^) H1=Hg+ΔH1 H2=Hg+ΔH2 Atura (m)T1 Atura (m)T2 (m^3 /s) (m^3 /s) (^) Vazões kW 0 50,6 0 0 0 20 30 0 0 0 20 14, 0,006 49 40 1,6077 1,0586 21,6077 31,0586 2 0,0067 0,0067 22 0,012 46,3 74 6,4308 4,2342 26,4308 34,2342 4 0,0095 0,0095 24 0,018 42,4 86 14,4692 9,5270 34,4692 39,5270 6 0,0116 0,0116 26 0,024 39,2 85 25,7230 16,9370 45,7230 46,9370 8 0,0134 0,0134 28 0,03 34,2 70 40,1922 26,4640 60,1922 56,4640 10 0 0,0150 0 0,0150 30 0,036 29,5 46 57,8768 38,1082 77,8768 68,1082 12 2 0,0164 0,0082 0,0246 32 0,042 23,6 8 78,7767 51,8694 98,7767 81,8694 14 4 0,0177 0,0117 0,0294 34 16 6 0,0189 0,0143 0,0332 36 18 8 0,0201 0,0165 0,0366 38 20 10 0,0212 0,0184 0,0396 40 22 12 0,0222 0,0202 0,0424 42 24 14 0,0232 0,0218 0,0450 44 26 16 0,0241 0,0233 0,0475 46 28 18 0,0250 0,0247 0,0498 48 30 20 0,0259 0,0261 0,0520 50
