Abaixo nossa região de rotação:
y=√9x
3 ⟹ Rotação em torno do eixo y ⟹ x=y3
9 ⟹ x′=3y2
9 ⟹ x′=y2
3 ⟹
Ay=2π⋅∫x⋅√1+[x′]2dy
b
a ⟹ Limites de integração: 0≤y≤b ⟹ Vamos encontrar o limite b, fazendo x = 2:
2=y3
9 ⟹ 18=y3 ⟹ y=√18
3 ⟹ Limite de integração: 0≤y≤√18
3 ⟹
Ay=2π⋅∫[y3
9⋅√1+(y2
3)2]
√18
3
0dy ⟹ Ay=2π⋅∫[y3
9⋅√1+y4
9]dy
√18
3
0 ⟹
1+y4
9=u ⟹ 4y3
9dy=du ⟹ 4y3dy=9du ⟹ dy=9
4y3du ⟹
Ay=2π⋅∫y3
9⋅√u
√18
3
0⋅9
4y3du ⟹ Ay=2π⋅∫√u
4
√18
3
0 du ⟹ Ay=2π⋅∫u1
2
4
√18
3
0 du ⟹
Ay=2π⋅[1
4(u3
2
3
2)]0√18
3 ⟹ Ay=2π⋅[1
4⋅(2√u3
3)]0√18
3 ⟹ Ay=π⋅√u3
3|0√18
3 ⟹ Ay=π
3⋅√(1+y4
9)3|0√18
3
Ay=π
3⋅
{
[
√[1+(√18
3)4
9]3−√[1+(0)4
9]3
]
}
⟹ Ay≅14,6π
3u.a