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Relatório que apresenta o processo de resolução do primeiro trabalho da disciplina de métodos matemáticos do curso de mestrado em engenharia química da universidade federal do rio grande (furg). O documento aborda o problema de um tanque de mistura de volume igual a 1 m3 utilizado para equalizar a temperatura de duas correntes de água, com temperaturas iniciais diferentes e vazões mássicas variáveis. O objetivo é obter um modelo matemático que represente a taxa de variação da temperatura no interior do tanque, calcular a temperatura da corrente de saída em qualquer tempo, determinar o tempo necessário para o tanque atingir 95% da temperatura de equilíbrio e plotar o gráfico da temperatura em função do tempo.
Tipologia: Exercícios
Compartilhado em 26/11/2021
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Universidade Federal do Rio Grande – FURG
Escola de Química e Alimentos – EQA
Programa de Pós-graduação em Engenharia Química - PPGEQ
José Gustavo Bratti - 144018
Rio Grande – RS, 09 de setembro de 2 020
Este relatório visa demonstrar a resolução do primeiro trabalho da disciplina de
Métodos Matemáticos do curso de Mestrado em Engenharia Química da FURG.
Um tanque de mistura (Fig. 1 ) de volume igual a 1 m 3 é utilizado para equalizar a
temperatura de duas correntes de água de processo. No início da partida do processo a
temperatura no interior do tanque é igual a 2 0 °C. A temperatura das correntes de entrada
1 e 2 são 6 0 e 8 0 °C, respectivamente.
Devido a uma característica das bombas utilizadas nas correntes de entrada a
vazão mássica destas não é constante, sendo dadas pelas Eq. 1 e 2:
2
(0. 5 𝑡)(𝑘𝑔𝑠) (Equação 1 )
2
(0. 5 𝑡)(𝑘𝑔𝑠) (Equação 2 )
Se do ponto de vista do balanço de massa o processo ocorre em regime
estacionário, ou seja, entrada de massa = saída de massa, e o tanque pode ser
considerado como um misturador perfeito, obtenha:
a) Um modelo matemático que represente a taxa de variação da temperatura no interior
do tanque;
b) A solução matemática do modelo que possibilite o cálculo da temperatura da corrente
de saída em qualquer tempo;
c) O tempo necessário para o tanque atingir 95% da temperatura de “equilíbrio”;
d)O gráfico da temperatura em função do tempo do início da operação até atingir a
condição das letra (c)
𝑑𝑇 3
𝑑𝑡
1
2
3
Usando a equação do balanço de massa, onde 𝑚̇
1
2
𝑑𝑇 3
𝑑𝑡
2
2
3
3
2
2
3
3
3
2
Por convenção usual, dou preferência por trabalhar as equações usando as letras
y e x, então:
T3 = y
t = x
2
= 0 , 002 ( 0 , 5 + cos(𝑥)) + 0 , 006
= 0 , 007 + 0 , 001 cos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦(𝑥)
1000
cos(𝑥)+ 7
1000
(Equação 5)
A equação 5 é a equação diferencial ordinária de primeira ordem que representa
a taxa de variação de temperatura no interior do tanque apresentado, portanto, resolução
da letra a.
Para a solução desta equação, faz-se necessário a utilização das metodologias
apresentadas no item 1.5 do Kreyszig.
Sabendo que:
cos
Faz-se:
Então:
− 0 , 0001 𝑥
0 , 0001 𝑥
cos(𝑥)+ 7
1000
) + 𝐶] (Equação 6)
Resolvendo a integral da equação 6:
0 , 0001 𝑥
cos
0 , 0001 𝑥
0 , 0001 𝑥
cos
Parte 1:
0 , 0001 𝑥
0 , 0001 𝑥
Parte 2:
0 , 0001 𝑥
cos
A parte 2 é apresentada na resolução manual em anexo, mas:
0 , 0001 𝑥
cos
− 7
0 , 0001 𝑥
[ 10000 sin
Assim, o resultado da integral da equação 6 é:
1
1000
[∫ 7 𝑒
0 , 0001 𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑒
0 , 0001 𝑥
cos
( 𝑥
) 𝑑𝑥] = 10
− 7
𝑒
0 , 0001 𝑥
[ 10000 sin
( 𝑥
)
( 𝑥
)
7
]
Substituindo na equação 6, temos:
− 0 , 0001 𝑥
{ 10
− 7
𝑒
0 , 0001 𝑥
10000 sin
𝑥
𝑥
7
Então:
− 0 , 0001 𝑥
− 7
cos
Para encontrar a constante C, faz-se uso das condições iniciais, ou seja, quando
o tempo é igual a zero, a temperatura do tanque é igual a 20°C.
Substituindo y(x) por 20 e x por 0, encontra-se C = - 50
Assim, tem-se
− 0 , 0001 𝑥
− 7
cos
Parte 1 Parte 2
