CURSO: Licenciatura em Matem´atica
PROFESSOR: Me. N´ıcolas Moro M¨uller
DISCIPLINA: ´
Algebra I (4oSem)
1aLista de Exerc´ıcios: Aneis, Dom´ınios e Corpos
Quest˜ao 1) Mostre que o conjunto Qdotado das leis de composi¸c˜oes ∗e4abaixo definidas ´e um anel.
a∗b=a+b−1 e a4b=a+b−ab.
Quest˜ao 2) Consideramos as opera¸c˜oes ∗e4em Qdefinidas por:
x∗y=x+y−3 e x4y=x+y−xy
3.
Mostre que (Q,∗,4) ´e um anel comutativo com elemento unidade.
Quest˜ao 3) Seja Aum anel. Em A×Aest˜ao definidas as duas opera¸c˜oes seguintes:
(a, b)>(c, d) = (a+c, b +d) e (a, b)∗(c, d)=(ac, 0).
Prove que A×A´e um anel.
Quest˜ao 4) Demonstre que Z×Zmunido das opera¸c˜oes ∗e4abaixo definidas ´e um anel.
(a, b)∗(c, d)=(a+c, b +d) e (a, b)4(c, d) = (ac, ad +bc).
Quest˜ao 5) Consideremos em Z×Zas opera¸c˜oes + e ·definidas por:
(a, b)+(c, d)=(a+c, b +d) e (a, b)·(c, d) = (ac −bd, ad +bc).
Mostre que (Z×Z,+,·) ´e um anel comutativo com unidade.
Quest˜ao 6) Sejam S, um conjunto, Aum anel e f:S→Auma aplica¸c˜ao bijetora. Para cada par
x, y ∈S, definimos:
x+y=f−1f(x) + f(y)ex·y=f−1f(x)·f(y).
Mostre que essa soma e esse produto define uma estrutura de anel sobre S.
Quest˜ao 7) Consideremos as opera¸c˜oes ∗e4em Zdefinidas por:
x∗y=x+ay −2 e x4y=xy +bx +cy +d
em que a, b, c, d s˜ao n´umeros inteiros dados. Determine a, b, c, d de modo que (Z,∗,4) seja um anel. Para
os valores obtidos de a, b, c, d, (Z,∗,4) ´e um anel comutativo com unidade?
Quest˜ao 8) Seja Aum anel em que x2=x, para todo x∈A. Mostre que −x=x, ∀x∈AeA´e
comutativo.
Sugest˜ao: Considere os produtos (x+x)2e (x+y)2.
Quest˜ao 9) Sabe-se que A={e, a, b, c}e (A, +,·) ´e um anel em que os elementos neutros das opera¸c˜oes
+ e ·s˜ao, respectivamente, 0A=ee 1A=a. Conhecendo-se os compostos a+a=e, b +b=e, bc =e,
construa as tabuas das duas opera¸c˜oes.
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