Exercícios de Álgebra linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Exercícios de Álgebra linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Petronio Pulino 39 Exerćıcios Exerćıcio 2.1 Considere o subconjunto In = { 1, 2, · · · , n } de IN . Determine a matriz A : In × In −→ IR definida pela seguinte regra funcional aij = A(i, j) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 se | i− j | > 1 −1 se | i− j | ≤ 1 Exerćıcio 2.2 Considere o subconjunto In = { 1, 2, · · · , n } de IN . Determine a matriz A : In × In −→ IR definida pela seguinte regra funcional aij = A(i, j) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 se | i− j | < 2 0 se | i− j | ≥ 2 Exerćıcio 2.3 Sejam A uma matriz de ordem m × n e X uma matriz coluna de ordem n× 1 que são indicadas da seguinte forma: A = [Y1 · · · Yj · · · Yn] e X = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 ... xj ... xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , onde a matriz coluna Yj de ordem m× 1 é a j–ésima coluna da matriz A. Mostre que podemos escrever o produto AX da seguinte forma: AX = x1Y1 + · · · + xjYj + · · · + xnYn . Exerćıcio 2.4 Sejam A uma matriz de ordem m × n e B uma matriz de ordem n× p que vamos indicar da seguinte forma: B = [Y1 · · · Yj · · · Yp] , onde a matriz coluna Yj de ordem n× 1 é a j–ésima coluna da matriz B. Mostre que podemos escrever a matriz C = AB da seguinte forma: C = AB = A[Y1 · · · Yj · · · Yp] = [AY1 · · · AYj · · · AYp] . onde a matriz coluna Zj = AYj de ordem m× 1 é a j–ésima coluna da matriz C. 40 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcio 2.5 Dadas as matrizes A = [ a+ 2b 2a− b 2c+ d c− 2d ] e B = [ 9 −2 4 7 ] . Determine os parâmetros a, b, c e d de modo que A = B. Exerćıcio 2.6 Dadas as matrizes X = ⎡ ⎢ ⎣ a 2 1 ⎤ ⎥ ⎦ , Y = [ −1 b 2 ] e Z = ⎡ ⎢ ⎣ 3 2 1 ⎤ ⎥ ⎦ . Determine os parâmetros a e b tais que Y X = 0 e Y Z = 1. Exerćıcio 2.7 Determine todas as matrizes X tais que Y X = 0, onde X = ⎡ ⎢ ⎣ a b c ⎤ ⎥ ⎦ e Y = [ 1 1 −1 ] . Exerćıcio 2.8 Dadas as matrizes A = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ] , X = [ 1 1 ] e Y = [ −1 1 ] . Determine os valores do parâmetro θ ∈ IR de modo que AX = Y . Exerćıcio 2.9 Dadas as matrizes A = [ −2 3 2 −3 ] ; B = [ −1 3 2 0 ] e C = [ −4 −3 0 −4 ] . Verifique que AB = AC. Exerćıcio 2.10 Dada a matriz A = [ 2 1 1 2 ] . Determine as matrizes B de modo que AB − BA = 02×2 , se posśıvel. 58 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcio 2.56 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condição que devemos ter para que (A + B)(A − B) = A2 − B2 ? Exerćıcio 2.57 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condição que devemos ter para que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ? Exerćıcio 2.58 Dada a matriz A = [ 1 1 0 1 ] . Deduzir uma fórmula para as potências inteiras positivas da matriz A . Exerćıcio 2.59 Dada a matriz A = [ 2 0 1 3 ] , determine as matriz B, de ordem 2, tais que AB = BA. Exerćıcio 2.60 Sejam X = [xi1] e Y = [yi1] matrizes coluna de ordem n × 1. Mostre que tr(XY t) = X tY . Exerćıcio 2.61 Seja A = [aij] uma matriz real de ordem n× n. Mostre que (a) tr(AtA) ≥ 0. (b) tr(AtA) = 0 se, e somente se, A = 0n. Exerćıcio 2.62 Dada a matriz A = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ] para θ ∈ IR . (a) Determine A2 e A3. (b) Faça a dedução de uma expressão para Ak, k ∈ IN , se posśıvel. Petronio Pulino 61 Exerćıcios Exerćıcio 2.63 Dada a matriz A = [ 1 3 2 8 ] . Determine a matriz A−1 . Exerćıcio 2.64 Considere a matriz real A dada por: A = [ a b c d ] com ad − bc ≠ 0 . Mostre que A−1 = 1 ad − bc [ d −b −c a ] . Exerćıcio 2.65 Sejam A ,B e C matrizes quadradas de mesma ordem com inversas A−1 , B−1 e C−1 , respectivamente. Mostre que (ABC)−1 = C−1 B−1 A−1. Exerćıcio 2.66 Seja A uma matriz quadrada com inversa A−1 . Mostre que (λA)−1 = 1 λ A−1 para qualquer escalar λ não–nulo. Exerćıcio 2.67 Seja D = diag(a11, · · · , ann) uma matriz diagonal, de ordem n, com os elementos aii ≠ 0 para i = 1, · · · , n. Mostre que D−1 = diag ( 1 a11 , · · · , 1 ann ) Exerćıcio 2.68 Determine a inversa da matriz A definida por: A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Exerćıcio 2.69 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e B com inversa B−1. Mostre que tr(B−1AB) = tr(A). 62 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcio 2.70 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB é uma matriz invert́ıvel. Mostre que as matrizes A e B são invert́ıveis. Exerćıcio 2.71 Sejam A e B matrizes quadradas não–nulas, de ordem n, tais que AB = 0n. Mostre que as matrizes A e B são não–invert́ıveis. Exerćıcio 2.72 Seja A uma matriz quadrada complexa com inversa A−1 . Mostre que (A )−1 = (A−1) . Exerćıcio 2.73 Seja A uma matriz de ordem n tal que A4 = 04. Mostre que (I4 − A) −1 = I4 + A + A 2 + A3 . onde I4 ∈ IM4(IR) é a matriz identidade e 04 ∈ IM4(IR) é a matriz nula. Exerćıcio 2.74 Seja A uma matriz nilpotente de ordem n. Mostre que a matriz (In − A) é invert́ıvel, exibindo sua matriz inversa. Exerćıcio 2.75 Sejam A e B matrizes de ordem n. Mostre que (a) Se AB = In , então BA = In. (b) Se BA = In , então AB = In. Exerćıcio 2.76 Determine a matriz A−1, se posśıvel, da matriz A dada por: A = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ] para θ ∈ IR . Exerćıcio 2.77 Seja X uma matriz coluna de ordem n × 1 tal que X tX = 1. A matriz H, de ordem n, definida por: H = In − 2XX t é denominada matriz de Householder. Mostre que (a) H é uma matriz simétrica. (b) H tH = In. (c) H−1 = H t. Dê um exemplo de uma matriz de Householder de ordem 3. 100 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcio 2.87 Dada a matriz A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 0 3 2 1 3 6 1 4 3 1 ⎤ ⎥ ⎦ . Determine uma matriz R na forma escalonada que seja linha equivalente a matriz A, e uma matriz P invert́ıvel de ordem 3× 3 tal que R = PA. Exerćıcio 2.88 Dada a matriz A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 3 2 5 7 3 7 6 ⎤ ⎥ ⎦ . Determine uma matriz R na forma escalonada que seja linha equivalente a matriz A e uma matriz P invert́ıvel de ordem 3× 3 tal que R = PA. Exerćıcio 2.89 Considere a seguinte matriz simétrica A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 1 2 2 4 1 3 4 ⎤ ⎥ ⎦ . Determine uma matriz L triangular inferior que seja equivalente por coluna a matriz A, indicando a seqüência de operações elementares de colunas utilizada e a respectiva seqüência de matrizes elementares de coluna, isto é, L = AK1 K2 · · · Kr . Exerćıcio 2.90 Considere a matriz L triangular inferior obtida no Exerćıcio 2.89. Determine a matriz D linha equivalente a matriz L através da seqüência de operações elementares de linhas correspondente à seqüência de operações elementares de colunas utilizada para obter a matriz L, isto é, D = Hr · · · H2 H1 L onde Hi = (Ki)t. Exerćıcio 2.91 Determine o posto linha da matriz A dada por: A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 1 2 0 3 4 4 5 1 1 0 2 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ , e também o posto linha da matriz At. 106 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcios Exerćıcio 2.92 Considere a matriz simétrica A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 3 2 6 8 3 8 15 ⎤ ⎥ ⎦ . Determine uma matriz invert́ıvel P de modo que D = PAP t seja uma matriz diagonal, e a matriz L = P−1 tal que A = LDLt. Exerćıcio 2.93 Considere a matriz simétrica A = ⎡ ⎢ ⎣ 3 9 6 9 29 22 6 22 20 ⎤ ⎥ ⎦ . Determine uma matriz invert́ıvel P de modo que D = PAP t seja uma matriz diagonal, e a matriz L = P−1 tal que A = LDLt.