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03 – Oscilações Forçadas
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido 3.
Uma paraquedista, com massa m = 50 kg , se lança de um avião com velocidade vertical nula. Durante a queda, ela fica sujeita à força de atrito:
Fa bv
onde b = 100 kg/s. Encontre a velocidade vertical da paraquedista em função do tempo desde o salto.
Resolução:
Fisicamente, o movimento da paraquedista exemplo é bem distinto de um oscilador harmônico. A solução matemática é semelhante, entretanto. Adotado o sentido descendente como positivo, a segunda lei de Newton nos dá a igualdade:
m
dv dt
y bv (^) y mg (3.01.1)
Essa equação independe da posição y. Convém, portanto, escolher s = 0, de forma que:
z = vy (3.01.2)
Com isso, a equação (3.01.1) se reduz à equação diferencial: dz dt
z g (3.01.3)
onde g = b / m = 2 s –1.
Como na equação dz dt
s z e
s t dzedts t
( ) (^ ) , o lado esquerdo pode ser escrito como o produto de uma
função do tempo por uma derivada:
dz dt
z e d ze dt
t^ (^ t )^ (3.01.4)
Assim, a equação (3.01.3) pode ser escrita na forma d ze dt
ge ( t ) t (3.01.5)
Podemos agora integrar os dois lados em relação ao tempo para encontrar o resultado:
z t e ( ) t^^ g e t c
Para encontrar a constante de integração c , basta lembrar que em t = 0 a velocidade vy é nula. Em outras palavras, z (0) = 0. Da equação (3.01.6), vemos então que c = – g / g. Substituído esse valor na mesma equação, concluímos que:
z t ( ) v (^) y ( ) t g^ ( e t )
ou
v (^) y ( ) t 5 1( e ^2 t^ ) (3.01.8)
Em t = 0, o lado direito é nulo, como esperado. Para t , por outro lado, a velocidade vy tende ao valor limite v (^) y ( ) 5 m / s. Sem o atrito, a velocidade vertical aumentaria sem limite até a paraquedista colidir com o solo. O atrito do paraquedas com o ar faz com que a velocidade, mesmo depois de muito tempo, seja moderada.
Exercício Resolvido 3.
Que condições iniciais deve satisfazer o oscilador, sujeito à força na equação dz dt
s z e
s t dzedts t
( ) (^ ) ,
para que não haja transiente? Dito de outra forma, quais devem ser as condições iniciais para que o oscilador entre imediatamente no regime estacionário?
Resolução:
A parte transiente do movimento descrito pela equação:
z t z F m
s s
e F m
e s
s t i^ t
^
cos 0 0 2 0 2 0 20 ^0
sen ^ ^
(^) i
e s i
i t
0
é o primeiro termo à direita. Para que não haja transiente, o fator entre parênteses naquele termo deve anular- -se, isto é,
z F m
s (^0) s
cos sin (3.02.01)
Como há dois valores para s, a equação (3.02.01) se desdobra em duas:
v s x F m
s s
( ) 0 ( ) 0 0 cos^20 2 sin^0
e
v s x F m
s s
( ) 0 ( ) 0 0 cos^20 2 sin^0
Para encontrar a posição inicial, basta subtrair as duas igualdades membro a membro. A velocidade inicial é cancelada e resulta que:
x F m s s
s s
s s
0 0 cos^0 sin^0 cos^ sin (^) 2 2 20 2 0
Exercício Resolvido 3.
Um oscilador é constituído por uma massa m = 1 kg presa a uma mola de constante k = 100 N/m e sujeita a atrito viscoso com coeficiente b = 1 kg/m. Ele está sujeito a uma força externa F ( t ) = cos (w t ) N. Encontre as potências dissipadas nas frequências w = 1 rad / s , 10 rad / s e 100 rad / s.
Resolução:
Dos dados, extraímos os seguintes parâmetros:
0 ^ k 10 m
rad / s (3.04.1)
b m
1 s 1 (3.04.2)
F
m
0 W
2
0
2
3 2
^ (3.04.3)
Quando w = 1 rad / s , a razão w / w 0 vale 0,1. Substituído esse valor no denominador da segunda fração à direita na equação:
P F m
02 (^020) 0
2
0
encontramos que:
P ( 1 rad / s ) 5 1 10, ^5 W (3.04.5)
Quando w = 10 rad / s , a razão w / w 0 vale 1. Da equação: P F m
02 (^020) 0
2
0
encontramos então que:
P ( 10 rad / s ) = 0 5, W (3.04.6)
Finalmente, quando w = 100 rad / s , a razão w / w 0 vale 10, e a equação: P F m
0
2
(^020) 0
2
0
mostra que a potência é igual à encontrada na equação (3.04.5):
P ( 100 rad / s ) 5 1 10, ^5 W (3.04.7)
A potência média na frequência 10 rad / s é quase 10 mil vezes maior do que nas duas outras frequências. Isso porque, como w 0 = 10 rad / s , a frequência na equação (3.04.06) está ressonância, o assunto da próxima seção.
Exercício Resolvido 3.
Calcule o fator de qualidade do oscilador do exercício 3.4.
Resolução:
Da equação (3.04.4), podemos ver que:
Q
Embora relativamente modesto, esse fator de qualidade é responsável pela enorme magnificação da potência média encontrada no exercício 3.4.
Exercício Resolvido 3.
Compare a força externa na ressonância com a força de atrito.
Resolução:
A força de atrito é Fv = – bv. A velocidade é dada pela equação:
v t dx dt
F
m
( ) t ( ) ( )
0
2 2 2 2 0 0
sen
Temos então que:
F t bF m v ( )^ t ( ) ( )
0
2 2 2 2 0 0
sen (3.06.1)
Na ressonância, com w = w 0 , o primeiro dentro da raiz quadrada à direita se anula, e resulta que:
F t bF m v ( )^ ^0 (^ t ^0 0 )
sen (3.06.2)
Lembramo-nos agora de que g = b / m e de que, na ressonância, q 0 = p / 2. Resulta que:
Fv ( ) t F 0 (^) cos( t 0 ) (3.06.3)
que é o negativo da força externa, dada pela equação:
F t ( ) F 0 (^) cos( t 0 )
A força de atrito, portanto, neutraliza a força externa.
A semelhança entre as equações (3.07.4) e (3.07.9) mostra que, para altas frequências, tudo se passa como se não existissem mola ou atrito viscoso. A força externa trabalha quase que exclusivamente para vencer a inércia da massa.
Exercício Resolvido 3.
O oscilador do exercício 3.7 está agora sujeito à força F 100 cos( t ), no Sistema Internacional, onde ^ 8 rad / s. Mostre que o seu movimento equivale ao de um corpo sem inércia sujeito apenas ao atrito viscoso.
Resolução:
Se a massa m não tivesse inércia e estivesse apenas sujeita ao atrito viscoso, seu movimento seria descrito pela equação:
F t ( ) = bv t ( ) (3.08.1) isto é,
100 cos( 8 t ) 8 dx dt
Para encontrar a posição em função do tempo, devemos apenas integrar os dois lados da equação (3.08.2) em relação ao tempo. Isso feito, vemos que:
x t ( ) 1 5625. sen ( 8 t ) c (3.08.3)
onde c é uma constante que pode ser desconsiderada porque queremos que a massa oscile em torno da origem. Assim, a equação (3.08.3) pode ser escrita na forma:
x t ( ) = 1 5625. sen ( 8 t ) (3.08.4)
No entanto, o oscilador tem inércia e está sujeito a uma terceira força: a da mola. A análise mais rigorosa conduz, como já vimos, à equação (3.36) com as constantes w 0 , g, F 0 e m encontradas no exercício 3.7. Como ^ 8 0 , estamos na ressonância. O ângulo q 0 é, portanto, p / 2 rad , e a equação:
x t F
m
( ) e i^ t
^
0 ^ ^
2 02 2 2
0 0
assume a forma:
x t F
m
( ) sen ( t )
e a substituição dos valores encontrados no exercício 3.7 conduz a resultado idêntico à equação (3.08.4). Na ressonância, a força da mola é exatamente suficiente para neutralizar a inércia da massa, e a força externa precisa apenas neutralizar o atrito viscoso – a mesma conclusão a que chegamos no exercício 3.6. Na ressonância, tudo se passa como se Aristóteles tivesse tomado o lugar de Newton. Em lugar de a força externa ser proporcional à aceleração, a força externa é proporcional à velocidade. É como argumentava a filosofia grega.
