Baixe Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral: Funções, Domínios, Gráficos e Aplicações e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
1. Considere as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por:
2
10
𝑥
2
Considere, num refrencial ortonormado do plano, os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 e o triângulo
[
]
Sabe-se que:
- o ponto 𝐴 é o ponto de interseção de abcissa positiva dos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔;
- o ponto 𝐵 é o ponto do gráfico correspondente ao máximo de 𝑔;
Recorrendo às capacidadades gráficas da calculadora, determine a área do triângulo
[
]
Na sua resposta deve:
- reproduzir num referencial os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔, devidamente identificados, incluindo referencial;
- assinalar os pontos 𝐴 e 𝐵 e esboçar o triângulo [𝐴𝑂𝐵];
- indicar as coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵 com três casas decimais;
- apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas. 2. Sejam 𝑓 e 𝑔 as funções, de domínio ℝ, definidas por:
3
2
2
Considere, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, os pontos 𝑂, 𝐴 e 𝐵 tais que:
- o ponto 𝑂 é a origem do referencial;
- o ponto 𝐴 é o ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo 𝑂𝑥, de abcissa positiva;
- o ponto 𝐵 é o ponto de interseção dos gráficos das duas funções, de abcissa positiva.
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a área do triângulo [𝑂𝐴𝐵].
Na sua resposta:
- reproduza, num referencial, os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 no intervalo [0,2]
- apresente o desenho do triângulo [𝑂𝐴𝐵]
- indique a abcissa do ponto 𝐴;
- indique as coordenadas do ponto 𝐵 arredondadas às centésimas;
- apresente a área do triângulo [𝑂𝐴𝐵] arredondada às décimas.
Ficha de trabalho nº 6
3. Numa experiência laboratorial, a temperatura de uma substância, em graus Celsius, 𝑡 horas após o início
da experiência, é dada pela função h
, sendo
h t = 7, 025 t −8,5.
3.1. Determine a temperatura da substância no início da experiência.
3.2. Recorra às capacidades gráficas da calculadora e resolva o seguinte problema.
“Qual foi o tempo de duração da experiência, sabendo que esta terminou quando a temperatura da
substância atingiu 30 graus Celsius?”
Apresente o resultado em horas e minutos, sendo os minutos arredondados às unidades.”
Na sua resolução deves apresentar:
- a equação que traduz o problema;
- o referencial e as representações gráficas em que a janela de visualização deve ser: 𝑋: [ 0 , 7 ] e
𝑌: [– 10 , 40 ]
4. Seja ℎ, a função real de variável real, definida por ℎ
√ 4 𝑥− 2
3 𝑥
2
− 27
Determine o domínio da função ℎ. Apresente-o na forma de intervalo ou reunião de intervalos.
5. Sejam 𝑓 e ℎ duas funções reais de variável real definidas por:
= √𝑥 + 2 e ℎ
Determine o domínio e uma expressão analítica da função 𝑓 ∘ ℎ
6. Considere as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ definidas por 𝑓
√𝑥− 2
2 𝑥− 6
1 −𝑥
2
𝑥
e a função ℎ representada
graficamente, na figura ao lado.
6.1. Determine o domínio da função 𝑓.
6.2. Averigue se a função 𝑔 é par ou ímpar, justificando.
6.3. Calcule o valor de
+ 2 × ℎ
− 1
Apresente o resultado na forma 𝑎 + 𝑏 √
8. Considere a função real de variável real 𝑓 representada graficamente
na figura.
Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função 𝑔 representada por 𝑔
(A) (B)
(C) (D)
9. Considere a função 𝑓, de domínio [− 1 , 2 ] e contradomínio [− 2 , 1 ], representada
na figura ao lado. Qual dos seguintes gráficos representa a função 𝑔 definida por
(A) (B)
(C) (D)
10. Na figura está representado, num referencial o.n. 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de uma função 𝑓.
Qual dos seguintes gráficos representa a função 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥 + 2 ) − 1?
(A) (B)
(C) (D)
12.5. Construa o quadro de sinal da função 𝑓.
12.6. Considere a função 𝑔, definida por 𝑔(𝑥) = − 2 𝑓( 3 𝑥) + 1.
Indique o contradomínio da função 𝑔.
13. Na figura, está representado, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, o cubo
[𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻] (o ponto 𝐻 não está representado na figura).
13.1. Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a
designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter
afirmações verdadeiras.
Copie as afirmações obtidas para a sua folha de respostas.
13.2. Admita agora que:
- o ponto 𝐴 tem coordenadas ( 11 , − 1 , 2 )
- o ponto 𝐵 tem coordenadas ( 13 , 2 , 8 )
- o ponto 𝐸 tem coordenadas ( 8 , 5 , 0 )
13.2.1. Determine a área da secção produzida no cubo pelo plano 𝐴𝐵𝐺
13.2.2. Defina, por uma condição, a reta que passa pelo ponto 𝐹 e é paralela ao eixo 𝑂𝑧
14. Na figura ao lado está representada, num referencial 𝑜. 𝑛. 𝑂𝑥𝑦𝑧, uma pirâmide quadrangular regular
[
]
cuja base está contida no plano 𝑂𝑥𝑦 e cujo vétice 𝑉 tem cota positiva.
Sabe-se que:
- a reta 𝑉𝐵 é definida pela condição
- o ponto 𝐴 pertence ao eixo 𝑂𝑥 e tem abcissa 4 ;
- o vetor 𝐴𝑉
tem coordenadas (− 1 , 2 , 6 );
- o ponto 𝐷 tem coordenadas ( 1 , 1 , 0 ).
14.1. Determine as coordenadas do ponto 𝐵, ponto de interseção da reta 𝑉𝐵 com plano 𝑥𝑂𝑦.
14.2. Escreva a condição que defina a esfera que centro 𝑉 e que passe pelo ponto 𝐴.
14.3. Identifique e defina, por uma condição, o conjunto de pontos do espaço equidistantes dos pontos 𝐴 e 𝐷.
Apresente a condição na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 , com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ.
15. Considere, num referencial 𝑜. 𝑛. 𝑂𝑥𝑦𝑧, uma pirâmide
triangular não regular [𝑂𝑃𝑄𝑉].
Sabe-se que:
- O vértice 𝑂 da pirâmide é a origem do referencial
- O ponto 𝑉 pertence ao plano 𝑦𝑂𝑧
- O vértice 𝑄 tem coordenadas ( 3 , 3 , 0 )
- o vetor 𝑃𝑄
tem coordenadas ( 1 , 1 , − 2 )
- A reta 𝑉𝑄 pode ser definida pela equação
15.1. Determine as coordenadas do ponto 𝑉.
15.2. Determine uma equação do plano mediador de [𝑃𝑄].
Apresente-a na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
16. Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, um
octaedro [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻]
Sabe-se que:
- o vértice 𝐵 tem coordenadas ( 1 , 0 , 1 )
- o vértice 𝐸 tem coordenadas ( 0 , 1 , 1 )
- o vértice 𝐹 pertence ao plano 𝑥𝑂𝑦
- o vértice 𝐴 tem coordenadas ( 1 , 1 , 2 )
Determine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro.
Sofia Sousa
