Exercicios de probablidade, Exercícios de Probabilidade

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Exercícios de Probabilidade

Élcio Lebensztayn

• Capítulo 1: Análise Combinatória Prefácio iii
  • Exercícios.
  • Respostas
• Capítulo 2: Probabilidade
  • 1. Definições e propriedades
  • 1. Probabilidade condicional e independência
  • 1. Conjuntos limites e continuidade da probabilidade.
  • Exercícios.
  • Respostas
• Capítulo 3: Variáveis aleatórias
  • 1. Definições
  • 1. Variáveis aleatórias conjuntamente distribuídas
  • 1. Independência de variáveis aleatórias
  • 1. Modelos de distribuições discretas.
  • 1. Modelos de distribuições contínuas
  • 1. Aproximação de Poisson à Binomial
  • 1. Aproximação Normal à Binomial
  • 1. Funções de variáveis aleatórias
  • 1. Estatísticas de ordem
  • 1. Modelos multidimensionais.
  • 1. Distribuições relacionadas com a normal
  • Exercícios.
  • Respostas
• Capítulo 4: Esperança ii Sumário
  • 1. Definições e propriedades
  • 1. Distribuição e esperança condicionais
  • 1. Funções geradoras
  • 1. Desigualdades
  • Exercícios.
  • Respostas
• Capítulo 5: Modos de Convergência e Teoremas Limites
  • 1. Lema de Borel-Cantelli
  • 1. Modos de Convergência
  • 1. Teoremas Limites.
  • 1. Outros Teoremas Limites
  • 1. Convergência de momentos
  • Exercícios.
  • Respostas
• Apêndice
• Distribuição Normal Padrão
• Referências Bibliográficas

Prefácio

Este livro destina-se a estudantes de cursos de probabilidade em nível de Gradua-

ção e Mestrado. Os temas abordados são: Análise Combinatória, Probabilidade, Variáveis

Aleatórias, Esperança e Teoremas Limites. No começo de cada capítulo, visando à recor-

dação da matéria, reúnem-se em forma de tópicos as principais definições e resultados.

Para mais detalhes e demonstrações, sugiro ao leitor que consulte as referências biblio-

gráficas. Ao final de cada capítulo, enunciam-se os exercícios correspondentes à teoria

exposta, alguns dos quais têm a solução apresentada.

Cumpre salientar que, por fins didáticos, decidi definir os principais modos de con-

vergência para tratar dos teoremas limites. As seções e os tópicos marcados com asterisco

correspondem a assuntos mais avançados, que podem ser omitidos em uma primeira lei-

tura. Os exercícios que envolvem esses assuntos também estão assinalados. Aceitarei,

com prazer, as críticas e sugestões que me permitam aperfeiçoar o livro.

Agradecimentos:

Aos meus familiares e amigos. A Cristian Favio Coletti, pela colaboração no estágio inicial do livro. A Fábio Prates Machado, pelo apoio e incentivo ao desenvolvimento do livro. Aos autores e docentes cujos livros, listas de exercícios e provas me serviram de

fonte.

Aos professores com os quais convivi nos anos de formação acadêmica. À Comissão de Pós-Graduação em Estatística do IME–USP e à CAPES–PROEX,

que editaram a primeira versão desse livro.

À FAPESP, à CAPES e ao CNPq, pelos apoios recebidos nesses anos. A Deus e a todos que me ajudaram a chegar até aqui.

Élcio Lebensztayn. Fevereiro de 2012.

2 Análise Combinatória

Observação. Uma fórmula muito importante quando se trata de fatoriais foi obtida por

Stirling (1730):

n! ∼ nne − n

2 πn,

onde o símbolo ∼ indica que a razão entre os dois lados tende a 1 quando n → ∞.

1.6. Permutações circulares: O número de maneiras de dispor n objetos distintos em

torno de um círculo é ( n − 1)!.

Nessa contagem, interessa apenas a posição relativa dos objetos entre si, ou seja, duas

disposições são consideradas indistinguíveis se uma pode ser obtida a partir da outra por

uma rotação conveniente dos objetos.

1.7. O número de palavras de comprimento k que podem ser compostas com n elementos

dados é nk.

1.8. Arranjos: O número de k -subconjuntos ordenados de um n -conjunto é

( n ) k = n ( n − 1)... ( n − k + 1).

1.9. Combinações: O número de k -subconjuntos de um n -conjunto é ( n k

)

n! k! ( n − k )!

que é chamado um coeficiente binomial. Estes números podem ser arrumados em uma

disposição triangular, o famoso Triângulo de Pascal.

1.10. Teorema Binomial: Para quaisquer n ≥ 0 inteiro e x, y ∈ R,

( x + y ) n^ =

∑^ n k =

( n k

) xk^ yn − k.

1.11. O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos distintos de

tamanhos respectivos n 1 , n 2 ,... , nr ( n 1 + n 2 + · · · + nr = n ) é ( n n 1 , n 2 ,... , nr

)

n! n 1! n 2!... nr!

Esta fórmula também fornece o número de anagramas de uma palavra com n letras que

contém n 1 vezes a letra _ 1 , _n_ 2 vezes a letra _ 2 ,... , nr vezes a letra `r ( n 1 + n 2 +· · ·+ nr = n ).

Exercícios 3

1.12. Para qualquer inteiro p > 0 fixado, o número de vetores distintos ( x 1 ,... , xn ) não-

negativos e a valores inteiros que satisfazem a equação x 1 + · · · + xn = p é

( p + n − 1 n − 1

) .

Esse é o chamado número de combinações completas (ou com repetição), pois é o número

de modos de escolher p objetos entre n objetos distintos dados, podendo repetir a escolha

( xi é o número de vezes que tomamos o objeto i ).

Em outras palavras, o número de maneiras de distribuir p moedas idênticas a n crianças

é

( p + n − 1 n − 1

) .

1.13. Para qualquer inteiro p > 0 fixado, o número de vetores distintos ( x 1 ,... , xn ) a

valores inteiros que satisfazem x 1 + · · · + xn = p e xi ≥ 1 para todo i = 1 ,... , n é

( p − 1 n − 1

) .

Isto significa que o número de maneiras de distribuir p moedas idênticas a n crianças de

forma que cada criança receba pelo menos uma moeda é

( p − 1 n − 1

) .

1.14. A tabela a seguir resume o número de maneiras de tomarmos uma amostra de

tamanho k de uma população com n elementos distintos, dependendo se o mesmo objeto

pode ser escolhido mais de uma vez (amostragem com ou sem reposição) e se vamos distin-

guir entre duas escolhas com os mesmos objetos escolhidos em ordem diferente (amostra

ordenada ou não).

Ordenada Não-ordenada Com reposição nk^

( k + n − 1 n − 1

)

Sem reposição ( n ) k

( n k

)

Exercícios

1. Quantas permutações diferentes existem das letras A , B , C , D , E , F

(a) que têm as letras A , B juntas em qualquer ordem? (b) que têm a letra A em primeiro lugar ou a letra F em último? (c) em que a letra A vem antes da letra B? (d) em que a letra E não é a última?

Solução. (a) Imaginamos as letras A e B coladas como uma letra só, na ordem AB , o que fornece 5! permutações. Como também existem 5! permutações nas quais a letra B está imediatamente antes da letra A , obtemos um total de 2. 5! = 240 permutações diferentes.

Exercícios 5

Solução. (a) O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos distintos de tamanhos respectivos n 1 , n 2 ,... , nr ( n 1 + n 2 + · · · + nr = n ) é ( n n 1 , n 2 ,... , nr

)

n! n 1! n 2!... nr!

Assim, a resposta é (^) ( 7 2 , 2 , 3

)

Outras respostas: • O pai dispõe os presentes numa fila, os dois primeiros destinados ao filho mais velho, os dois seguintes ao filho do meio e os três últimos ao mais novo. Existem 7! maneiras de ordenar os presentes, porém fixada uma ordenação entre os presentes, a ordem dos presentes de cada um dos filhos pode ser alterada, sem mudar a distribuição.

Dessa forma, o pai tem

= 210 maneiras de distribuir os presentes.

• O pai escolhe 2 dos 7 presentes para o filho mais velho, o que pode fazer de

( 7 2

) = 21

modos; em seguida, deve escolher 2 dos 5 presentes restantes para o filho do meio (

( 5 2

) = 10 modos); os 3 presentes que sobram são do mais novo. A resposta é 21_._ 10 = 210.

(b) Sejam

nv = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o videogame;

nr = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o relógio;

nvr = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo o videogame e o relógio ao filho mais velho, 2 outros presentes ao do meio e 3 ao mais novo.

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, a resposta é dada por:

nv + nr − nvr = 2_._

Outra resposta: 210 −

( 5 2

)( 5 2

) = 110.

(c) Sejam

N 1 = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o videogame porém não o relógio;

N 2 = Número de maneiras de dividir os presentes, sendo 2 ao filho mais velho, 2 ao do meio e 3 ao mais novo, com o mais velho ganhando o relógio porém não o videogame.

Uma forma de obter N 1 é observar que o pai tem

( 5 1

) = 5 escolhas para o outro presente

para o filho mais velho e

( 5 2

) = 10 maneiras de dividir os 5 presentes restantes entre os filhos menores, logo N 1 = 5_._ 10 = 50. (Outro modo seria notar que N 1 = nv − nvr ). Analogamente, temos que N 2 = 50. Visto que N 1 e N 2 se referem a opções disjuntas, o número de maneiras é N 1 + N 2 = 100_._

6 Análise Combinatória

Outra resposta: 110 − nvr = 100.

4. Quantos são os anagramas da palavra “COMBINATORIA”? (Considere O sem acento ). Quantos deles começam por vogal ou terminam em consoante?

Solução. O número de permutações de n objetos, dos quais n 1 são do tipo 1, n 2 são do tipo 2,... , nk são do tipo k ( n 1 + n 2 + · · · + nk = n ) é

n! n 1! n 2!... nk!

A palavra “COMBINATORIA” tem 2A, 2I, 2O, 1B, 1C, 1M, 1N, 1R, 1T, logo o número total de anagramas (ordenações diferentes das letras) é

12! 2! 2! 2!

Outra resposta: Escolhemos 2 de 12 lugares para colocar as 2 letras A, o que pode ser feito de

( 12 2

) = 66 modos; em seguida, devemos escolher 2 dos 10 lugares restantes para

colocar as 2 letras I (

( 10 2

) = 45 modos); a seguir, escolhemos 2 dos 8 lugares que restam

para as 2 letras O (

( 8 2

) = 28 modos) e finalmente temos 6 lugares para 6 letras distintas (6! = 720 modos). A resposta é 66_._ 45_._ 28_._ 720 = 59875200.

Sejam V o conjunto dos anagramas que começam por vogal e C o conjunto dos anagramas que terminam em consoante. A fim de obter |V|, notamos que temos 3 escolhas para

a vogal inicial e, feita essa escolha,

formas de permutar as letras restantes. Para

calcular |C|, existem 6 escolhas para a consoante final e, tomada essa decisão,

modos de permutar as letras restantes. Analogamente, |V ∩ C| = 3_._ 6_._

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, concluímos que o número de anagramas que começam por vogal ou terminam em consoante é:

|V ∪ C| = |V| + |C| − |V ∩ C| = 3_._

5. Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os números formados em ordem crescente. Determine:

(a) que lugar ocupa o número 62417. (b) que número ocupa o 66º lugar. (c) qual o 166º algarismo escrito. (d) a soma dos números assim formados.

Solução. (a) Precisamos determinar quantos números antecedem o 62417. Antecedem-no todos os números começados em 1 (4! = 24), em 2 (4! = 24), em 4 (4! = 24), em 61 (3! = 6) e em 621 (2! = 2), logo 80 números. O número 62417 ocupa o 81º lugar.

8 Análise Combinatória

Desejamos calcular a cardinalidade do conjunto A \ ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ). Porém,

| A 1 | =

= 180 , | A 1 ∩ A 2 | =

= 60 , | A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 | =

| A 2 | =

= 120 , | A 1 ∩ A 3 | =

| A 3 | =

= 72 , | A 2 ∩ A 3 | =

Portanto, pelo Princípio da Inclusão-Exclusão,

| A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 | = 180 + 120 + 72 − 60 − 36 − 24 + 12 = 264_._

Assim, existem ao todo 96 números inteiros positivos menores que 360 e primos com 360.

8. Uma bolsa contém 8 moedas de 1 real, 7 moedas de 50 centavos, 4 moedas de 25 centavos e 3 moedas de 10 centavos. De quantos modos diferentes podemos retirar 6 moedas dessa bolsa?

Solução. Definimos

x 1 : número de moedas de 1 real , x 2 : número de moedas de 50 centavos ,

x 3 : número de moedas de 25 centavos ,

x 4 : número de moedas de 10 centavos_._

Queremos obter o número de soluções inteiras não-negativas da equação x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6 , satisfazendo as condições x 1 ≤ 8 , x 2 ≤ 7 , x 3 ≤ 4 e x 4 ≤ 3. Sejam os conjuntos

A = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ N^4 : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6} , A 1 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 1 ≥ 9 } ,

A 2 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 2 ≥ 8 } , A 3 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 3 ≥ 5 } ,

A 4 = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ A : x 4 ≥ 4 }.

Então, o número pedido é y = | A | − | A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 |. No entanto,

| A | =

( 9 3

) = 84 , | A 1 | = | A 2 | = 0 , | A 3 | =

( 4 3

) = 4 , | A 4 | =

( 5 3

) = 10 ,

| Ai ∩ Aj | = 0 , 1 ≤ i < j ≤ 4 , | Ai ∩ Aj ∩ Ak | = 0 , 1 ≤ i < j < k ≤ 4 e

| A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 | = 0_._

Usando o Princípio da Inclusão-Exclusão, obtemos que y = 84 − 4 − 10 = 70.

Exercícios 9

9. Quantos são os gabaritos possíveis de uma prova com 10 questões de verdadeiro ou falso? 10. De quantas maneiras 4 pessoas podem sentar-se em 10 cadeiras em fila? 11. O conjunto A possui 3 elementos, e o conjunto B , 10 elementos. Quantas funções f : A → B existem? Quantas delas são injetoras? 12. De quantos modos podemos colocar dois reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 6 × 6? E se os reis fossem iguais? 13. (a) Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 1800?

(b) Quantos desses divisores são pares? (c) Quantos são quadrados perfeitos?

14. De quantas maneiras diferentes podemos escolher subconjuntos S e T do conjunto { 1 ,... , n }

(a) sem restrições? (b) de forma que S contenha T? (c) com S e T disjuntos?

15. Quantos números pares de dois algarismos podem ser formados no sistema decimal

(a) podendo repetir algarismos? (b) sem repetir algarismos?

16. Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três algarismos distintos? 17. Quantos números inteiros maiores que 53000 e de cinco algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 18. Quantas são as permutações dos números 1 , 2 ,... , n nas quais o elemento que ocupa a k -ésima posição é inferior a k + 4, para todo k? 19. Um estudante possui 5 livros de Cálculo, 4 livros de Álgebra Linear e 3 livros de Equações Diferenciais, todos diferentes. De quantas maneiras ele pode arrumá-los em uma prateleira, se deseja que os livros de cada assunto fiquem juntos? 20. Em uma corrida com dez cavalos, quantos são os resultados possíveis para os quatro primeiros lugares? 21. Quantos são os jogos de um campeonato de futebol disputado por 20 clubes, no qual todos se enfrentam uma única vez? 22. De quantas maneiras é possível colocar em fila m mulheres e h homens, todos com alturas diferentes, de forma que as mulheres entre si e os homens entre si fiquem em ordem crescente de altura? 23. Quantos são os subconjuntos de { a 1 , a 2 ,... , an } nos quais:

(a) a 1 figura. (b) a 1 não figura.

Exercícios 11

(a) todos os números pares precedam todos os ímpares? (b) todos os números pares fiquem adjacentes? (c) a sequência comece com dois pares e termine com dois pares também? (d) os números pares apareçam em ordem crescente ou decrescente?

32. Quantos são os anagramas da palavra “URUGUAIO” que começam por vogal? 33. Quantos números de 5 algarismos podem ser formados usando apenas os algarismos 1, 1, 1, 1, 2 e 3? 34. Cinco moças e cinco rapazes vão posar para uma fotografia, ocupando cinco degraus de uma escadaria, de forma que em cada degrau fique uma moça e um rapaz. De quantas maneiras podemos arrumar este grupo? 35. De quantas maneiras 10 crianças podem formar uma roda de ciranda, se para cada uma delas importa apenas as duas crianças às quais dá as mãos, sem levar em conta se é a mão direita ou esquerda? 36. De quantos modos quatro casais podem sentar-se em torno de uma mesa redonda

(a) não sentando juntos dois homens? (b) não sentando juntos dois homens e nenhum homem ficando perto de sua esposa?

37. Participam de um congresso 15 professores de Matemática e 15 professores de Física. Quantas comissões de 8 professores podem ser formadas:

(a) sem restrições? (b) com pelo menos um professor de Matemática? (c) com pelo menos 4 professores de Matemática e pelo menos 2 professores de Física?

38. De quantas maneiras se pode preencher um cartão da loteria esportiva (com 13 jogos) com três prognósticos duplos e dois triplos? 39. Sinais luminosos são transmitidos de uma ilha para a costa por meio de seis lâmpadas brancas e seis lâmpadas vermelhas, colocadas nos vértices de um hexágono regular, de tal modo que

(i) em cada vértice há duas lâmpadas de cores diferentes; (ii) em cada vértice não há mais do que uma lâmpada acesa; (iii) o número mínimo de vértices iluminados é três.

Determine o número total de sinais que podem ser transmitidos.

40. Suponha que João vai participar de uma reunião na qual estarão mais 4 homens e 6 mulheres. Ele sabe que há 4 casais, porém não conhece ninguém.

(a) De quantas formas poderia João imaginar que estão formados os casais? (b) E se sabe que há exatamente 3 casais?

12 Análise Combinatória

41. Uma loja exige que um funcionário recém-contratado trabalhe 4 ou 5 dias por semana, sendo pelo menos um dia de fim de semana. Calcule o número de cronogramas de trabalho possíveis desse trabalhador. 42. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos, e sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos para uma festa, se cada um deve convidar 6 pessoas? 43. Suponha que n carros estão em fila para entrar em um estacionamento que possui n vagas, lado a lado. Se o primeiro carro pode escolher qualquer vaga e cada um dos outros carros ao estacionar deve justapor-se a um carro já estacionado, quantas são as maneiras possíveis de os carros ocuparem as n vagas? 44. (a) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas, deno- minados Esporte, Tupi e Minas?

(b) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas?

45. Doze professores serão separados em 3 grupos de 4 pessoas. Calcule de quantas maneiras isso pode ser feito se

(a) os grupos vão discutir o mesmo assunto. (b) caberá um tema de discussão diferente a cada grupo. (c) cada grupo designará um presidente e tratará de um assunto diferente.

46. Quantos são os anagramas da palavra “ARARAQUARA” que não possuem duas letras A juntas? 47. Quantos são os anagramas da palavra “CONTADORIA”

(a) em que aparecem juntas, nesta ordem, as letras da palavra CONTO? (b) em que aparecem juntas, numa ordem qualquer, as letras da palavra CONTO? (c) em que as letras da palavra CONTO aparecem nesta ordem?

48. De quantos modos podemos colocar em fila 7 letras A , 6 letras B e 5 letras C , de forma que não haja duas letras B juntas? 49. Uma fila de lugares em um cinema tem 18 poltronas. De quantas maneiras 4 casais podem sentar-se nessas poltronas, de forma que nenhum marido se sente separado de sua mulher? 50. Uma partícula parte do ponto (0 , 0 , 0) e, estando em um ponto ( x, y, z ) ∈ N^3 , pode mover-se para um dos pontos ( x + 1 , y, z ), ( x, y + 1 , z ) ou ( x, y, z + 1). Quantos são os caminhos possíveis para a partícula chegar ao ponto ( a, b, c ) ∈ N^3? 51. Considerando o alfabeto com 26 letras, existem quantas sequências de 4 letras distin- tas com pelo menos uma vogal? 52. Dentre todos os números de 7 algarismos, quantos possuem exatamente três algaris- mos 9 e os quatro algarismos restantes todos diferentes? 53. Quantas são as permutações dos 10 números 0 , 1 ,... , 9 em que o primeiro dígito é maior do que 1 e o último dígito menor do que 7?