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EXERCÍCIO 1 – ENGENHARIA ELETROMAGNÉTICA
Resoluções Completas
Questão 1 – Lei de Gauss para o Fluxo Elétrico
Lei de Gauss para o Fluxo Elétrico: A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total Φ que atravessa uma superfície gaussiana fechada é igual à carga elétrica total Q_enc envolta por essa superfície, dividida pela permissividade do vácuo ε₀. Superfície Gaussiana: É uma superfície fechada hipotética, escolhida por conveniência geométrica (esférica, cilíndrica ou plana), utilizada para aplicar a Lei de Gauss. Não precisa coincidir com nenhuma superfície física real. Equação de Maxwell (forma integral):
∮ _S D · dS = Q_enc
onde D = ε₀E é a densidade de fluxo elétrico (C/m²), dS é o elemento de área com direção normal à superfície, e Q_enc é a carga total envolvida. Equação de Maxwell (forma diferencial – 1ª Lei de Maxwell):
∇ · D = ρ_v
onde ρ_v é a densidade volumétrica de carga (C/m³). Esta é a 1ª Equação de Maxwell, que relaciona a divergência do campo de deslocamento elétrico D com a densidade de carga livre no ponto.
Questão 2 – Duas Cargas q ₀ = −3 μC e q ₁ = 3 μC, distância d = 2 cm
Dados: q₀ = −3×10⁻⁶ C, q₁ = 3×10⁻⁶ C, d = 0,02 m, ε₀ = 8,85×10⁻¹² C²/(N·m²), k = 9×10⁹ N·m²/C²
a) Módulo da Força Eletrostática
Pela Lei de Coulomb:
F = k · |q ₀ | · |q ₁ | / d²
Substituindo os valores:
F = (9×10 ⁹ ) × (3×10 ⁻⁶ ) × (3×10 ⁻⁶ ) / (0,02)²
F = (9×10 ⁹ ) × (9×10 ⁻ ¹²) / (4×10 ⁻⁴ )
F = (81×10 ⁻ ³) / (4×10 ⁻⁴ )
F = 202,5 N
Resultado: F = 202,5 N (força atrativa, pois as cargas têm sinais opostos)
b) Campo Elétrico considerando q ₀ como carga de prova
O campo elétrico é produzido por q₁ e avaliado na posição de q₀. A distância entre elas é d = 0, m.
E = k · |q ₁ | / d²
E = (9×10 ⁹ ) × (3×10 ⁻⁶ ) / (0,02)²
E = (27×10³) / (4×10 ⁻⁴ )
E = 6,75×10 ⁷ N/C = 67,5 MN/C
Resultado: E = 6,75×10⁷ N/C ≈ 67,5 MN/C O campo aponta de q₁ (positiva) em direção a q₀ (negativa), ou seja, na direção do vetor de q₁ para q₀.
c) Momento Dipolar Elétrico
O momento dipolar elétrico é definido como: p = q · d onde q é a magnitude da carga (usamos o módulo de uma das cargas) e d é a distância de separação:
p = |q ₀ | × d = 3×10 ⁻⁶ × 0,
p = 6×10 ⁻⁸ C·m = 60 nC·m
Resultado: p = 6×10 ⁻ ⁸ C·m = 60 nC·m O vetor momento dipolar aponta da carga negativa (q₀ = −3 μC) para a carga positiva (q₁ = + μC). Questão 3 – Resistência, Condutividade, Tensão e Corrente
a) Resistência e Condutividade
Resistência (R): é a oposição que um material oferece à passagem da corrente elétrica. Depende do material, geometria e temperatura. Unidade: Ohm (Ω). R = ρ · L / A onde ρ é a resistividade (Ω·m), L é o comprimento do condutor (m) e A é a área da seção transversal (m²). Exemplo: Um fio de cobre de 1 mm² e 10 m tem resistência muito baixa (≈ 0,17 Ω), enquanto uma barra de borracha tem resistência altíssima. Condutividade (σ): é a capacidade de um material conduzir corrente elétrica. É o inverso da resistividade. Unidade: S/m (Siemens por metro). σ = 1/ρ Relação com o campo elétrico (Lei de Ohm na forma microscópica): J = σ · E onde J é a densidade de corrente (A/m²) e E é o campo elétrico (V/m). Exemplo: Cobre: σ ≈ 5,8×10⁷ S/m (excelente condutor); Vidro: σ ≈ 10⁻¹² S/m (isolante)
b) Tensão e Corrente
Corrente Elétrica (I): é o fluxo ordenado de cargas elétricas através de uma seção transversal por unidade de tempo. Unidade: Ampere (A). I = dQ/dt Na forma integral com a densidade de corrente: _I = ∫S J · dS Tensão Elétrica (V) ou Diferença de Potencial: é o trabalho realizado por campo elétrico para mover uma carga unitária positiva de um ponto a outro. Unidade: Volt (V). _V_AB = - ∫A^B E · dl ou equivalentemente, o trabalho por carga: V = W / Q Relação com resistência e corrente (Lei de Ohm macroscópica): V = R · I Questão 4 – Sistema de Transmissão e Recepção com Duas Antenas No sistema mostrado, um gerador alimenta uma antena transmissora que emite ondas eletromagnéticas. Uma antena receptora capta essas ondas. O que ocorre depende do material colocado entre elas:
Gradiente: Operador vetorial aplicado a um campo escalar f, que aponta na direção de maior variação do campo:
∇ f = (∂f/∂x)ax + (∂f/∂y)ay + (∂f/∂z)az
Divergente: Operador escalar aplicado a um campo vetorial A, que mede o fluxo líquido que 'emerge' de um ponto (fonte ou sumidouro):
∇ ·A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z
Rotacional: Operador vetorial aplicado a um campo vetorial A, que mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto:
∇ ×A = |ax ay az |
|∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| |Ax Ay Az | Laplaciano: O divergente do gradiente de um campo escalar (ou vetorial). Para campo escalar:
∇ ²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²
Potencial Elétrico (V): Trabalho realizado por unidade de carga para trazer uma carga de prova do infinito até um ponto P, no campo de uma carga Q:
V = kQ/r = Q/(4πε ₀ r)
Dipolo Elétrico: Sistema de duas cargas de sinais opostos (+q e −q) separadas por uma distância d. O momento dipolar é p = q·d, apontando de −q para +q. Resistência e Condutividade: (Ver Questão 3a da foto acima — definições completas já apresentadas.) Capacitância (C): Capacidade de um sistema armazenar carga elétrica por unidade de tensão. Unidade: Farad (F). C = Q / V Para um capacitor de placas paralelas: C = ε·A/d Condutor: Material com σ muito alta (σ > 10⁷ S/m), como o cobre. Possui elétrons livres que se movem facilmente. Isolante (dielétrico): Material com σ muito baixa (σ < 10⁻⁷ S/m), como a borracha. Não há elétrons livres. Semicondutor: Material com σ intermediária (10⁻⁴ < σ < 10⁴ S/m), como o silício. A condutividade pode ser controlada por dopagem. Corrente, Tensão e Potência: (Ver Questão 3b da foto. Potência elétrica: P = V·I = I²R = V²/R, unidade: Watt W) Permissividade Elétrica (ε): Medida da capacidade do material de se polarizar sob um campo elétrico. ε = ε₀·εᵣ, onde ε₀ = 8,854×10⁻¹² F/m é a do vácuo. Constante Dielétrica (εᵣ): Permissividade relativa do material em relação ao vácuo. Adimensional. εᵣ ≥ 1. Rigidez Dielétrica: Valor máximo do campo elétrico que um dielétrico suporta antes de sofrer ruptura (breakdown). Unidade: V/m. Ex.: ar ≈ 3×10⁶ V/m. Material Isotrópico: Propriedades elétricas (ε, σ, μ) iguais em todas as direções. Ex.: vidro. Material Anisotrópico: Propriedades elétricas diferentes conforme a direção. ε é um tensor. Ex.: cristais.
Questão 2 (PDF) – Vetores P(2,4,6) e Q(−4,5,3)
a) Vetor distância r_PQ
O vetor distância de P até Q é: r_PQ = Q − P = (−4−2)ax + (5−4)ay + (3−6)az r_PQ = −6ax + 1ay − 3az Módulo: |r_PQ| = √((-6)² + 1² + (-3)²) = √(36 + 1 + 9) = √46 ≈ 6, Resultado: r_PQ = −6ax + ay − 3az, |r_PQ| ≈ 6,
b) Vetor N = 2P − Q e vetor unitário
Calculando 2P: 2P = 2(2ax + 4ay + 6az) = 4ax + 8ay + 12az Calculando N = 2P − Q: N = (4−(−4))ax + (8−5)ay + (12−3)az N = 8ax + 3ay + 9az Módulo de N: |N| = √(8² + 3² + 9²) = √(64 + 9 + 81) = √154 ≈ 12, Vetor unitário: _â_N = N / |N| = (8ax + 3ay + 9az) / 12, âN ≈ 0,645ax + 0,242ay + 0,725az Resultado: N = 8ax + 3ay + 9az, â_N ≈ 0,645ax + 0,242ay + 0,725az Questão 3 (PDF) – Vetores W = 4ax+2ay−3az e U = −2ax−ay+5az (θ = 60°)
a) Produto Escalar
O produto escalar é calculado pela fórmula: W·U = Wx·Ux + Wy·Uy + Wz·Uz W·U = (4)(−2) + (2)(−1) + (−3)(5) W·U = −8 − 2 − 15 = − Verificação pelo ângulo (|W|·|U|·cos60°): |W| = √(16+4+9) = √29 ≈ 5, |U| = √(4+1+25) = √30 ≈ 5, W·U = 5,385 × 5,477 × cos(60°) = 29,48 × 0,5 ≈ 14, Nota: O enunciado fornece θ = 60° entre os vetores, mas o cálculo direto por componentes dá −25. O produto escalar direto por componentes é exato: Resultado pelo método direto: W·U = −
b) Produto Vetorial W × U
O produto vetorial é calculado pelo determinante: W × U = |ax ay az | |4 2 - 3 | |- 2 - 1 5 | Calculando cada componente: ax: (2×5) − (−3×−1) = 10 − 3 = 7 ay: −[(4×5) − (−3×−2)] = −[20 − 6] = − az: (4×−1) − (2×−2) = −4 + 4 = 0 W × U = 7ax − 14ay + 0az = 7ax − 14ay Resultado: W × U = 7ax − 14ay Questão 4 (PDF) – Vetores P=2ax−az, Q=2ax−ay+2az, R=2ax−3ay+az
Calculando ∂T/∂z: ∂T/∂z = 0 ∇ T = [−4e^(−2x) + 2xy³cos(3xy) − 3x²y⁴sin(3xy)]ax + [3x²y²cos(3xy) − 3x³y³sin(3xy)]ay E = 2x·sin(3y)·z²: ∂E/∂x = 2sin(3y)z² ∂E/∂y = 2x·3cos(3y)·z² = 6xz²cos(3y) ∂E/∂z = 2x·sin(3y)·2z = 4xz·sin(3y) ∇ E = 2z²sin(3y)ax + 6xz²cos(3y)ay + 4xz·sin(3y)az
b) Divergente dos campos vetoriais
S = 2e^(−2xz)·ax + cos(3xy)·ay + x²z·az:
∇ ·S = ∂Sx/∂x + ∂Sy/∂y + ∂Sz/∂z
∂Sx/∂x = 2·(−2z)·e^(−2xz) = −4ze^(−2xz) ∂Sy/∂y = −3x·sin(3xy) ∂Sz/∂z = x² ∇ ·S = −4ze^(−2xz) − 3x·sin(3xy) + x² R = 2x·ax + sin(3y)·ay + z²·az: ∂Rx/∂x = 2 ∂Ry/∂y = 3cos(3y) ∂Rz/∂z = 2z ∇ ·R = 2 + 3cos(3y) + 2z
c) Laplaciano dos campos escalares
V = 2e^(−2x) + (cos3xy)·x²y³: O laplaciano é ∇²V = ∂²V/∂x² + ∂²V/∂y² + ∂²V/∂z² Calculando ∂²V/∂x²:
∂V/∂x = −4e^(−2x) + 2xy³cos(3xy) − 3x²y ⁴ sin(3xy)
∂²V/∂x² = 8e^(−2x) + [2y³cos(3xy) − 6xy³·3y·sin(3xy)] − [6xy ⁴ sin(3xy) +
3x²y ⁴ ·3y·cos(3xy)]
∂²V/∂x² = 8e^(−2x) + 2y³cos(3xy) − 18xy ⁴ sin(3xy) − 6xy ⁴ sin(3xy) −
9x²y ⁵ cos(3xy)
∂²V/∂x² = 8e^(−2x) + (2y³ − 9x²y ⁵ )cos(3xy) − 24xy ⁴ sin(3xy)
Calculando ∂²V/∂y²: ∂V/∂y = 3x²y²cos(3xy) − 3x³y³sin(3xy) ∂²V/∂y² = 6x²y·cos(3xy) − 9x³y²·sin(3xy) − [9x³y²sin(3xy) + 3x³y³·3x·cos(3xy)]
∂²V/∂y² = 6x²y·cos(3xy) − 18x³y²·sin(3xy) − 9x ⁴ y³·cos(3xy)
∂²V/∂y² = (6x²y − 9x ⁴ y³)cos(3xy) − 18x³y²sin(3xy)
∂²V/∂z² = 0 ∇ ²V = 8e^(−2x) + (2y³−9x²y⁵+6x²y−9x⁴y³)cos(3xy) − (24xy⁴+18x³y²)sin(3xy) R = 2x·sin(3y)·z²: ∂²R/∂x² = 0 ∂R/∂y = 6xz²cos(3y) → ∂²R/∂y² = −18xz²sin(3y) ∂R/∂z = 4xz·sin(3y) → ∂²R/∂z² = 4x·sin(3y) ∇ ²R = 0 − 18xz²sin(3y) + 4x·sin(3y) = x·sin(3y)·(4 − 18z²) Questão 6 (PDF) – Força Eletrostática Usando F = k·|Q₁|·|Q₂|/d², com k = 9×10⁹ N·m²/C²
a) Q ₁ = 5 μC, Q ₂ = 20 mC, d = 20 cm = 0,20 m
F = (9×10 ⁹ ) × (5×10 ⁻⁶ ) × (20×10 ⁻ ³) / (0,20)²
F = (9×10 ⁹ ) × (10 ⁻⁷ ) / (0,04)
F = (9×10²) / (0,04) = 900 / 0,
F = 22.500 N = 22,5 kN Resultado: F = 22.500 N (força repulsiva, mesmos sinais)
b) Q ₃ = −1 μC, Q ₄ = 2 μC, d = 50 mm = 0,05 m
F = (9×10 ⁹ ) × (1×10 ⁻⁶ ) × (2×10 ⁻⁶ ) / (0,05)²
F = (9×10 ⁹ ) × (2×10 ⁻ ¹²) / (2,5×10 ⁻ ³)
F = (18×10 ⁻ ³) / (2,5×10 ⁻ ³)
F = 7,2 N
Resultado: F = 7,2 N (força atrativa, sinais opostos)
c) Q ₅ = 3 μC, Q ₆ = −12 mC, d = 5 m
F = (9×10 ⁹ ) × (3×10 ⁻⁶ ) × (12×10 ⁻ ³) / (5)²
F = (9×10 ⁹ ) × (36×10 ⁻⁹ ) / 25
F = (324) / 25
F = 12,96 N
Resultado: F = 12,96 N (força atrativa, sinais opostos) Questão 7 (PDF) – Intensidade do Campo Elétrico Campo elétrico E = k·|Q_fonte| / d², onde Q_fonte é a carga geradora do campo e d é a distância.
Q ₁ = 5 μC como carga de prova (campo gerado por Q ₂ = 20 mC a d = 0,20 m)
E = k·|Q ₂ | / d² = (9×10 ⁹ ) × (20×10 ⁻ ³) / (0,20)²
E = (180×10 ⁶ ) / 0,04 = 4,5×10 ⁹ N/C = 4,5 GN/C
E ₁ = 4,5×10⁹ N/C
Q ₄ = 2 μC como carga de prova (campo gerado por Q ₃ = −1 μC a d = 0,05 m)
E = k·|Q ₃ | / d² = (9×10 ⁹ ) × (1×10 ⁻⁶ ) / (0,05)²
E = (9×10³) / (2,5×10 ⁻ ³) = 3,6×10 ⁶ N/C = 3,6 MN/C
E ₄ = 3,6×10⁶ N/C
Q ₆ = −12 mC como carga de prova (campo gerado por Q ₅ = 3 μC a d = 5 m)
E = k·|Q ₅ | / d² = (9×10 ⁹ ) × (3×10 ⁻⁶ ) / (5)²
E = (27×10³) / 25 = 1080 N/C = 1,08 kN/C E ₆ = 1080 N/C Questão 8 (PDF) – Densidade de Fluxo Elétrico (D) A densidade de fluxo elétrico é D = ε₀·E (no vácuo/ar), com ε₀ = 8,854×10⁻¹² F/m. D ₁ (referente a E ₁ ):
D ₁ = ε ₀ × E ₁ = 8,854×10 ⁻ ¹² × 4,5×10 ⁹
D ₁ = 39,84 C/m² ≈ 39,8 C/m²
Passo 6 – 1ª Equação de Maxwell (forma diferencial):
∇ ·D = ρ_v
Esta é a 1ª Equação de Maxwell (Lei de Gauss na forma diferencial), que relaciona a divergência do vetor deslocamento elétrico D com a densidade volumétrica de cargas livres ρ_v em cada ponto do espaço. Questão 11 (PDF) – Potencial Elétrico com Duas Cargas Pontuais Dados: Q₁ = −4 μC em (2,−1,3); Q₂ = 5 μC em (0,4,−2); Ponto P(1,0,1); V(∞)= O potencial total é a soma dos potenciais individuais:
V(P) = V ₁ + V ₂ = k·Q ₁ /r ₁ + k·Q ₂ /r ₂
Calculando r₁ = distância de (2,−1,3) a (1,0,1):
r ₁ = √((1−2)² + (0−(−1))² + (1−3)²) = √(1 + 1 + 4) = √6 ≈ 2,449 m
Calculando r₂ = distância de (0,4,−2) a (1,0,1):
r ₂ = √((1−0)² + (0−4)² + (1−(−2))²) = √(1 + 16 + 9) = √26 ≈ 5,099 m
Calculando V₁:
V ₁ = (9×10 ⁹ ) × (−4×10 ⁻⁶ ) / 2,
V ₁ = −36×10³ / 2,449 = −14.699 V ≈ −14,7 kV
Calculando V₂:
V ₂ = (9×10 ⁹ ) × (5×10 ⁻⁶ ) / 5,
V ₂ = 45×10³ / 5,099 = 8.826 V ≈ 8,83 kV
Potencial total:
V(P) = V ₁ + V ₂ = −14.699 + 8.826 = −5.873 V
Resultado: V(1,0,1) ≈ −5.873 V ≈ −5,87 kV Questão 12 (PDF) – Equação de Maxwell pela Relação E e V A relação entre campo elétrico E e potencial elétrico V vem do trabalho realizado para mover uma carga: Passo 1 – Trabalho e Potencial: _V_AB = W_AB / Q = − ∫A^B E · dl Passo 2 – Campo Elétrico como Gradiente Negativo do Potencial: Para um deslocamento infinitesimal dl: dV = −E · dl Sabemos que a variação de um escalar pode ser escrita como:
dV = ∇ V · dl
Comparando as duas expressões:
−E · dl = ∇ V · dl → E = − ∇ V
Passo 3 – Aplicando o Rotacional: Tomando o rotacional de E:
∇ × E = ∇ × (− ∇ V) = − ∇ × ∇ V
Identidade vetorial: o rotacional do gradiente de qualquer escalar é sempre zero:
∇ × ∇ V = 0
Portanto:
∇ × E = 0
Passo 4 – 2ª Equação de Maxwell (campo estático):
∇ × E = 0
Esta é a forma diferencial da Lei de Faraday para campos elétrostáticos (sem variação temporal do campo magnético). Em forma integral:
∮ _C E · dl = 0
que afirma que o campo eletrostático é conservativo: o trabalho para mover uma carga em qualquer caminho fechado é nulo. Em regime dinâmico (com campo magnético variável), a 2ª Equação de Maxwell se generaliza para:
∇ × E = −∂B/∂t
Universidade Estadual do Maranhão – Engenharia Eletromagnética
