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Teste de Matemática A

Teste N.º 2

Matemática A

12.º Ano de Escolaridade

Nome do aluno: ___________________________________________ N.º: __ Turma: ___

Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta.

Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado.

É permitido o uso de calculadora.

Apresente apenas uma resposta para cada item.

As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado.

Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva na folha de

respostas o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.

Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas

as justificações necessárias. Quando para um resultado não é pedida a aproximação,

apresente sempre o valor exato.

Formulário

Geometria

Comprimento de um arco de circunferência:

α𝑟 (α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; 𝑟 − raio)

Área de um polígono regular : Semiperímetro × Apótema

Área de um setor circular:

α𝑟^2 2 (α − amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; 𝑟 − raio)

Área lateral de um cone: π 𝑟 𝑔 (𝑟 − raio da base; 𝑔 − geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4 π 𝑟^2 (𝑟 − raio)

Volume de uma pirâmide:^13 × Área da base × Altura

Volume de um cone:^13 × Área da base × Altura

Volume de uma esfera:^43 π 𝑟^3 (𝑟 − raio)

Progressões

Soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão (𝑢𝑛):

Progressão aritmética: 𝑢^1 +𝑢 2 𝑛× 𝑛

Progressão geométrica: 𝑢 1 × 1 − 𝑟 1 − 𝑟𝑛

Trigonometria

sen(𝑎 + 𝑏) = sen 𝑎 cos 𝑏 + sen 𝑏 cos 𝑎

cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sen 𝑎 sen 𝑏

Complexos

(ρ𝑒𝑖θ)𝑛^ = ρ𝑛^ 𝑒𝑖𝑛θ

√𝑛 ρ 𝑒𝑖θ = √^ 𝑛^ ρ𝑒𝑖

θ+2𝑘π 𝑛 (^) (𝑘 ∈ {0, … , 𝑛 − 1} (^) e 𝑛 ∈ ℕ)

Regras de derivação

(𝑢 + 𝑣)′^ = 𝑢′^ + 𝑣′ (𝑢 𝑣)′^ = 𝑢′^ 𝑣 + 𝑢 𝑣′

(𝑢𝑣)

′ = 𝑢

′𝑣 − 𝑢 𝑣′ 𝑣^2 (𝑢𝑛)′^ = 𝑛 𝑢𝑛−1^ 𝑢′(𝑛 ∈ ℝ) (sen 𝑢)′^ = 𝑢′^ cos 𝑢 (cos 𝑢)′^ = − 𝑢′^ sen 𝑢

(tg 𝑢)′^ = 𝑢

′ cos^2 𝑢 (𝑒𝑢)′^ = 𝑢′^ 𝑒𝑢 (𝑎𝑢)′^ = 𝑢′^ 𝑎𝑢^ ln 𝑎 (𝑎 ∈ ℝ+^ ∖ {1})

(ln 𝑢)′^ = 𝑢

′ 𝑢 (loga 𝑢)′^ = (^) 𝑢 ln 𝑎𝑢′ (𝑎 ∈ ℝ+^ ∖ {1})

Limites notáveis

lim (1 + (^1) 𝑛)𝑛 = 𝑒 (𝑛 ∈ ℕ)

lim 𝑥→0^ sen 𝑥𝑥 = 1 lim 𝑥→0^ 𝑒

𝑥 (^) − 1 𝑥 = 1 𝑥→+∞^ lim^ ln 𝑥𝑥 = 0

𝑥→+∞^ lim^ 𝑒

𝑥 𝑥𝑝^ = +∞^ (𝑝 ∈ ℝ)

2. Seja 𝑛 um número natural superior a dois. Resolva a seguinte equação: 𝑛 𝐴 (^2) + (𝑛 − 1)! (𝑛 + 1)!(𝑛!) 2 =^109 + 𝑛𝐶𝑛−1 × 𝑛−1𝐶 1 3. Seja 𝑆, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 ⊂ 𝑆 e 𝐵 ⊂ 𝑆). Sabe-se que:  𝑃(𝐵) ≠ 0  𝑃(𝐴|𝐵) = (^13)  𝑃(𝐴) = 43 𝑃(𝐵) Qual é o valor de 2𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵̅)? (A) 0 (B)^23 (C)^34 (D) 1 4. A soma dos três primeiros elementos de uma certa linha do triângulo de Pascal é 352. Qual é a diferença entre a soma de todos os elementos dessa linha e o elemento central dessa linha? (A) 56 708 264 (B) 67 108 864 (C) 114 159 428 (D) 123 817 128 5. Considere o desenvolvimento de (√𝑥 2 − (^) 𝑥^12 )

10 , com 𝑥 > 0. Sem efetuar o desenvolvimento do binómio, determine, se existir, o termo independente.

6. Seja 𝑆, conjunto finito, o espaço amostral associado a uma certa experiência aleatória. Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 ⊂ 𝑆 e 𝐵 ⊂ 𝑆). Prove que: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) + 𝑃(𝐴̅ ∪ 𝐵) − 𝑃(𝐴̅) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

7. Na figura seguinte está representado o tetraedro truncado [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿], sólido constituído por oito faces, das quais quatro são hexágonos regulares e quatro são triângulos equiláteros. Duas das faces já estão numeradas com os números 1 e 2, como mostra a figura.

7.1. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices distintos do sólido. Qual é a probabilidade de esses vértices formarem uma diagonal facial do sólido? ) (A) (^) 115 (B) (^) 116 (B) (C) (^) 119 (C) (D)^1011

7.2. Considere que se pretende numerar as seis faces do sólido não numeradas, utilizando os algarismos de 3 a 8 e colocando um algarismo diferente em cada face. De quantas maneiras o poderemos fazer, de forma que: a) nas faces que são hexágonos fiquem só números primos? b) nas faces que são triângulos sejam colocados no máximo dois números pares?

7.3. Considere agora que se dispõe de 𝑛 cores diferentes (𝑛 ≥ 8) para colorir todas as faces do sólido. Qual é a probabilidade de, ao colorir cada face do sólido com uma única cor, exatamente duas faces sejam pintadas da mesma cor e as restantes faces sejam pintadas com cores diferentes entre si? (A) 𝐶

(^8 2) × 𝑛 × 𝑛−1𝐴 (^6) 𝑛^8 (B)^

(^8) 𝐶 (^2) × 𝑛 × 𝑛−1𝐴 (^6) 𝑛 𝐴 8^ (C)^

(^8) 𝐶 (^2) × 2 × 𝑛−1𝐴 (^6) 𝑛 𝐴 8 ′ (D)^

(^8) 𝐶 (^2) ×𝑛× 𝑛−1𝐶 (^6) ×8! 𝑛^8

FIM

COTAÇÕES

Item Cotação (em pontos) 1.1. 1.2. 1.3. 2. 3. 4. 5. 6. 7.1. 7.2. a)^ 7.2. b) 7.3. Total 25 10 20 25 10 10 20 20 10 20 20 10 200

2. Para 𝑛 > 2:

𝑛 𝐴 2 + (𝑛−1)!(𝑛+1)!(𝑛!) 2 = 109 + 𝑛 𝐶𝑛−1 × 𝑛−1𝐶 1 ⇔ (𝑛−2)!𝑛! + (𝑛−1)! (𝑛+1)×𝑛!𝑛!×𝑛! = 109 + 𝑛𝐶 1 × (𝑛 − 1)

⇔ 𝑛 × (𝑛 − 1)^ + (𝑛−1)! (𝑛+1)𝑛! = 109 + 𝑛 × (𝑛 − 1)

⇔ (𝑛−1)! (𝑛+1)𝑛×(𝑛−1)! = 109

C. S. = {9}

3. Opção (D)

2𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 2𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 2𝑃(𝐵) + 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = = 2𝑃(𝐵) + 1 − 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = = 𝑃(𝐵) + 1 − 43 𝑃(𝐵) + 13 𝑃(𝐵) = = − 13 𝑃(𝐵) + 1 + 13 𝑃(𝐵) = = 1

4. Opção (A) 𝑛 𝐶 (^0) + 𝑛𝐶 (^1) + 𝑛𝐶 (^2) = 352 ⇔ 1 + 𝑛 + (^) 2!(𝑛−2)!𝑛! = 352

⇔ 1 + 𝑛 + 𝑛×(𝑛−1)(𝑛−2)!2(𝑛−2)! = 352 ⇔ 1 + 𝑛 + 𝑛×(𝑛−1) 2 = 352 ⇔ 2 + 2𝑛 + 𝑛^2 − 𝑛 = 704 ⇔ 𝑛^2 + 𝑛 − 702 = 0 ⇔ 𝑛 = −1±√1^2 −4 × 1 × (−702) 2 × 1 ⇔ 𝑛 = 26 ⋁ 𝑛 = − Logo, 𝑛 = 26. A soma de todos os elementos desta linha é igual a 226 = 67 108 864. O elemento central desta linha é 26 𝐶^13 = 10 400 600. Assim, a diferença entre a soma de todos os elementos dessa linha e o elemento central dessa linha é 67 108 864 − 10 400 600 = 56 708 264.

𝑃(𝐴|𝐵) =^13 ⇔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)𝑃(𝐵) =^13

Cálculo auxiliar

⇔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 13 𝑃(𝐵)

5. O termo geral do desenvolvimento de (√𝑥 2 − (^) 𝑥^12 )

10 é:

𝐶𝑘 (√𝑥 2 )

10−𝑘 (^10) ×(− 𝑥^12 ) 𝑘 = 𝐶𝑘 × 2𝑘−10^ × 𝑥5−

𝑘 2 (^10) ×(−1)𝑘 (^) × 𝑥−2𝑘 (^) =

= 𝐶𝑘 × 2𝑘−10^ × (−1)𝑘^ × 𝑥5− 10 52 𝑘 , 𝑘 ∈ {0, 1, 2, … , 10} Como pretendemos determinar o termo independente: 5 −^52 𝑘 = 0 ⇔ −^52 𝑘 = − ⇔ 𝑘 = 2 Assim, o termo independente é: (^10) 𝐶 (^2) × 22−10 (^) × (−1) (^2) = 45 × 2561 × 1 =

= 25645

= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) c.q.d.

7. 7.1. Opção (B)

O número de casos possíveis é igual a 12 𝐶^2. O número de casos favoráveis é igual ao número de diagonais dos 4 hexágonos: 4 × ( 6 𝐶^2 − 6)

Logo, a probabilidade pedida é igual a 4×(^ 𝐶^2 −

(^6) ) (^12) 𝐶 2 =^ 6

a) A face hexagonal numerada está numerada com o número primo 2 e a face triangular numerada está numerada com o número 1. Assim, restam-nos os números primos 3, 5 e 7 para distribuir pelas três faces hexagonais restantes, o que pode ser feito de 3! maneiras distintas. Por cada uma destas maneiras existem 3! modos distintas de numerar as três faces triangulares, ainda não numeradas, com os números 4, 6 e 8. Assim, 3! × 3! = 36 é o número pedido.