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Quest˜ao 3. a) Mostre que existem infinitos valores de n ∈ N para os quais 8n^2 + 5 ´e divis´ıvel simultanemente por 7 e por 11. SOLUC¸ ˜AO I: Observe que, (n, k) = (3, 1) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 8 n^2 + 5 = 77k, sendo 3 o menor valor poss´ıvel para n. Logo, se (m, q) ̸= (3, 1) ´e solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao, devemos ter m ≥ 3. Seja r ≥ 0 tal que m = 3 + r. Neste caso, 8 m^2 + 5 = 77q ⇒ 8 (3 + r)^2 + 5 = 77q ⇒ 8 9 + 6r + r^2 ^ + 5 = 77q ⇒ 77 + 8r (6 + r) = 77q ⇒ 8 r (6 + r) = 77 (q − 1) ⇒ r 1 = 77k, r 2 = 77k − 6, k ∈ N Logicamente, cada k ∈ N fornece um valor distinto para o par (r, q) e cada par (r, q) fornece um par (m, q) distinto. □ SOLUC¸ ˜AO II: Mostremos por indu¸c˜ao que, para todo k ∈ N, o n´umero m = 77k + 3 possui a propriedade desejada. Para k = 1, temos 8 (77k + 3)^2 + 5 = 8 (77 + 3)^2 + 5 = 8 · 802 + 5 = 8 · 6400 + 5 = 77 × 665. Agora, supondo o resultado verdadeiro para um certo k ≥ 1, vejamos sua validade para k + 1. Com efeito, 8 (77 (k + 1) + 3)^2 + 5 = 8 [(77k + 3) + 77]^2 + 5 = 8 (77k + 3)^2 + 2 · 77 (77k + 3) + 77^2 ^ + 5 = 8 (77k + 3)^2 + 5^ + 77 [16 (77k + 3) + 8 · 77] = 77K + 77A e o resultado segue. □ SOLUC¸ ˜AO III: Mostremos por indu¸c˜ao que, para todo k ∈ N, o n´umero 77k − 6 possui a propriedade desejada. Para k = 1, temos 8 (77k − 3)^2 + 5 = 8 (77 − 3)^2 + 5 = 8 · 742 + 5 = 8 · 5476 + 5 = 77 × 569. Agora, supondo o resultado verdadeiro para um certo k ≥ 1, vejamos sua validade para k + 1. Com efeito, 8 (77 (k + 1) − 3)^2 + 5 = 8 [(77k − 3) + 77]^2 + 5 = 8 (77k − 3)^2 + 2 · 77 (77k − 3) + 77^2 ^ + 5 = 8 (77k − 3)^2 + 5^ + 77 [16 (77k + 3) + 8 · 77] = 77K + 77A
e o resultado segue. □ Quest˜ao 2.6 Mostre que apenas um n´umero de cada terna abaixo ´e divis´ıvel por 3. c) (n, n + 10, n + 23) SOLUC¸ ˜AO: Dado n ∈ Z, existe k ∈ Z tal que n ∈ { 3 k, 3 k + 1, 3 k + 2}. Se n = 3k, ent˜ao 3|n n + 10 = 3k + 9 + 1 = 3 (k + 3) + 1 n + 23 = 3k + 21 + 2 = 3 (k + 7) + 2 Se n = 3k + 1 n + 10 = (3k + 1) + 10 = 3k + 11 = 3 (k + 3) + 2 n + 23 = (3k + 1) + 23 = 3k + 24 = 3 (k + 8) Se n = 3k + 2 n + 10 = (3k + 2) + 10 = 3k + 12 = 3 (k + 4) n + 23 = (3k + 2) + 23 = 3k + 25 = 3 (k + 8) + 1 □ Expres˜oes binˆomias. Mostre que an^ − 1 |am^ − 1 ⇔ n|m. SOLUC¸ ˜AO: De fato, como (an^ − 1 , am^ − 1) = a(m,n)^ − 1, se an^ − 1 |am^ − 1, ent˜ao an^ − 1 = (an^ − 1 , am^ − 1) = a(m,n)^ − 1 de onde segue que n = (m, n) e, consequentemente, n|m. Reciprocamente, se n|m ent˜ao (n, m) = n e (an^ − 1 , am^ − 1) = a(m,n)^ − 1 = an^ − 1 e, consequentemente, an^ − 1 |am^ − 1. □ Quest˜ao Escreva 2n^ − 1 na base 2. SOLUC¸ ˜AO: Notemos que, para todo k ∈ N, 2 k^ − 1 = 2 · 2 k−^1 − 1 = 1 · 2 k−^1 + 2 k−^1 − 1 ^. Assim, aplicando essa igualdade recursivamente, obtemos 2 n^ = 1 · 2 n−^1 + 1 · 2 n−^2 + · · · + 1 · 2 + 1, isto ´e, (^11) |.. .{z 11 } n+1 d´ıgitos
Quest˜ao 3.38. Se k > 2 e a ´e ´ımpar, mostre que 2k|a^2 k−^2 − 1. SOLUC¸ ˜AO: Vejamos o que ocorre para k = 3: Se a = 4b + 1, temos
a^2 − 1 = (4b + 1)^2 − 1 = 16b^2 + 8b + 1 − 1 = 8 2 b^2 + b^.
Se a = 4b + 3, temos
a^2 − 1 = (4b + 3)^2 − 1 = 16b^2 + 24b + 9 − 1 = 8 2 b^2 + 3b + 1
e o resultado se verifica para k = 3. Supondo a validade deste resultado para um certo k ≥ 3 vejamos que se verifica para k + 1
a^2 (k+1)−^2 − 1 = a^2 k−^1 − 1 =
a^2 k−^2
a^2 k−^2 − 1
a^2 k−^2 + 1
Da hip´otese de indu¸c˜ao,
a^2 k−^2 − 1
= 8K e, consequentemente, a^2 (k+1)−^2 − 1 = 8K
a^2 k−^2 + 1
ou seja, 8|a^2 (k+1)−^2 − 1 e o resultado ´e verdadeiro para todo k ≥ 3. □
Quest˜ao. Mostre que se um n´umero a n˜ao ´e divis´ıvel por 3 ent˜ao a^2 deixa resto 1 na divis˜ao por 3. SOLUC¸ ˜AO: Caso I: a = 3k + 1 ⇒ a^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3 (3k^2 + 2k) + 1.
CasoII: a = 3k + 2 ⇒ a^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3 (3k^2 + 4k + 1) + 1. □
