Baixe Introdução à Álgebra Linear: Dependência Linear, Bases e Subespaços Vetoriais e outras Slides em PDF para Álgebra, somente na Docsity!
EXERC´ICIOS RESOLVIDOS - Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear
- No exemplo 11.7 (pag. 137) foi visto que o conjunto de vetores {u, v, w} ∈ R^3 onde u = (1, 2 , 0), v = (3, 0 , 1), w = (2, − 2 , 1) ´e linearmente dependente. Determinar se o conjunto {u, v, w}, onde u = (1, 2 , 0), v = (3, 0 , 2), w = (2, − 2 , 1) ´e linearmente independente. Solu¸c˜ao O conjunto de vetores {u, v, w} ser´a linearmente independente, se a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao a 1 u + a 2 v + a 3 w = (0, 0 , 0) for a solu¸c˜ao nula: a 1 = a 2 = a 3 = 0. A equa¸c˜ao a 1 (1, 2 , 0) + a 2 (3, 0 , 2) + a 3 (2, − 2 , 1) = (0, 0 , 0) (1) e equivalente ao sistema, a 1 + 3a 2 + 2a 3 = 0 2 a 1 − 2 a 3 = 0 2 a 2 + a 3 = 0 Escalonando a matriz associada ao sistema obtemos,
(Verifique!) Desta forma, a 1 = 0 a 2 = 0 a 3 = 0 Sendo a solu¸c˜ao nula, a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (1) concluimos que o conjunto {u, v, w} ´e linearmente independente.
- Sejam as matrizes
A =
; B =
; C =
7 m 4 n
(a) Determinar os valores de m e n de modo que A, B e C sejam linearmente dependentes. (b) Estabelecer a rela¸c˜ao de dependˆencia entre A, B e C.
Solu¸c˜ao
(a) Procuramos n´umeros reais a, b e c, n˜ao todos nulos, tais que
aA + bB + cC = 0
(onde o zero no lado direito da igualdade, representa a matriz nula de ordem 2) Tem-se que,
aA+bB+cC =
2 a a −a 3 a
b − 2 b 2 b −b
7 c mc 4 c nc
Equivalentemente, ( 2 a + b + 7c a − 2 b + mc −a + 2b + 4c 3 a − b + nc
Ou ainda,
2 a + b + 7c = 0 −a + 2b + 4c = 0 a − 2 b + mc = 0 3 a − b + nc = 0
Das duas primeiras equa¸c˜oes obtemos por escalonamento, ( 2 1 7 − 1 2 4
Substituindo em (3),
(− 2 c)A + (− 3 c)B + c C = 0, c 6 = 0
Equivalentemente, dividindo por −c 6 = 0,
2 A + 3B − C = 0
a qual ´e a rela¸c˜ao de dependˆencia entre as matrizes A, B e C. Observemos que desta rela¸c˜ao de dependˆencia podemos escrever uma das matrizes como combina¸c˜ao linear das outras duas: Por exemplo, A = −
B +
C
- Dados os vetores
u = (1, 2); v = (3, 4) ∈ R^2
(a) Verificar que o conjunto B = {u, v} ´e uma base de R^2. (b) Determinar as coordenadas do vetor w = (5, −5) nesta base, isto ´e, determinar [w]B.
Solu¸c˜ao
(a) Para o conjunto B ser uma base de R^2 devemos verificar que
- Dado um vetor z = (α, β) qualquer em R^2 , devem existir constantes a e b tais que,
z = (α, β) = au + bv (significa que B gera R^2 )
No exemplo 11 da lista de exerc´ıcios resolvidos (tutoria ante- rior) vimos que
z = (α, β) =
3 β 2
− 2 α
α −
β 2
Desta forma o conjunto B gera R^2.
- O conjunto B deve ser linearmente independente. Para tal a ´unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao,
au + bv = (0, 0)
deve ser a = b = 0. Tomando α = β = 0 em (?) teremos,
a =
3 β 2
− 2 α = 0 e b = α −
β 2
Desta forma o conjunto B ´e linearmente independente. Sendo satisfeitas as condi¸c˜oes acima vem que o conjunto B ´e uma base do espa¸co R^2. (b) Para determinar as coordenadas do vetor w = (5, −5) na base B = {(1, 2), (3, 4)} utilizaremos (?). Tomando α = 5 e β = −5 em (?) teremos:
Desta forma, [w]B =
[
−^352
15 2
]
- Verificar se o conjunto B = { 1 , t − 1 , (t − 1)^2 } ´e uma base para o espa¸co vetorial P 2 (R). Caso a resposta for afirmativa, determinar as coordenadas de p(t) = 1 + t^2 nessa base. Solu¸c˜ao
(a) O conjunto B ser´a uma base para P 2 (R) se s˜ao satisfeitas duas condi¸c˜oes: B gera P 2 (R) e B ´e linearmente independente.
- (B gera P 2 (R)) Seja a+bt+ct^2 um elemento qualquer de P 2 (R). Para B gerar o espa¸co P 2 (R) devemos determinar constantes α 1 , α 2 , α 3 tais que
(b) Considerando o polinˆomio p(t) = 1 + t^2 temos que a = 1, b = 0 e c = 1. Segue da equa¸c˜ao (2) que,
p(t) = 1 + t^2 = (1 + 0 + 1)1 + (0 + 2 · 1)(t − 1) + 1 · (t − 1)^2
ou seja,
p(t) = 1 + t^2 = 2 · 1 + 2 · (t − 1) + 1 · (t − 1)^2
Os escalares 2, 2 e 1 s˜ao as coordenadas do polinˆomio p(t) na base B, isto ´e,
[p(t)]B =
- Para cada subespa¸co H, determine uma base e sua dimens˜ao:
(a) H = {(a, b, c, d); a − 3 b + c = 0}; (b) H = {(x, y, x); x, y ∈ R}
Solu¸c˜ao
(a) Da condi¸c˜ao a − 3 b + c = 0 temos que a = 3b − c. Desta forma,
(a, b, c, d) = (3b−c, b, c, d) = b(3, 1 , 0 , 0)+c(− 1 , 0 , 1 , 0)+d(0, 0 , 0 , 1)
Assim, H = [(3, 1 , 0 , 0), (− 1 , 0 , 1 , 0), (0, 0 , 0 , 1)] (H ´e gerado pelo conjunto B = {(3, 1 , 0 , 0), (− 1 , 0 , 1 , 0), (0, 0 , 0 , 1)}) Vejamos agora se o conjunto B ´e lineamente independente. Consideremos a equa¸c˜ao:
r(3, 1 , 0 , 0) + s(− 1 , 0 , 1 , 0) + t(0, 0 , 0 , 1) = (0, 0 , 0 , 0)
Equivalentemente, temos o sistema
3 r − s = 0 r = 0 s = 0 t = 0
Segue dai que r = s = t = 0 e assim B ´e linearmente indepen- dente. Sendo B conjunto gerador de H e linearmente independente con- cluimos que o conjunto
B = {(3, 1 , 0 , 0), (− 1 , 0 , 1 , 0), (0, 0 , 0 , 1)}
´e uma base para H. Como o n´umero de vetores desta base ´e trˆes, temos que a dimens˜ao de H ´e trˆes, isto ´e, dim H = 3 .
(b) Observemos que,
(x, y, x) = x(1, 0 , 1) + y(0, 1 , 0)
Assim o conjunto B = {(1, , 0 , 1), (0, 1 , 0)} ´e um gerador do sube- spa¸co H. Vejamos se B ´e linearmente independente. Consideremos a equa¸c˜ao
a(1, 0 , 1) + b(0, 1 , 0) = (0, 0 , 0)
Dai a = b = 0 e assim B ´e linearmente independente. Sendo B gerador de H e conjunto linearmente independente con- cluimos que B = {(1, 0 , 1), (0, 1 , 0)} ´e uma base para o subespa¸co H. Como o n´umero de vetores desta base ´e dois, temos que a dimens˜ao de H ´e dois, isto ´e, dim H = 2 .
Ou ainda, S = {(0, 0 , − 1 , 1)x 4 , x 4 ∈ R} Assim, B = {(0, 0 , − 1 , 1)} ´e uma base para o subespa¸co S das solu¸c˜oes do sistema linear. Como h´a um ´unico vetor nesta base segue que
dim S = 1
- Determinar uma base e a dimens˜ao do subespa¸co de R^3 ,
W = {(x, y, z) ∈ R^3 : x + 2y + 3z = 0}
Solu¸c˜ao Da equa¸c˜ao x + 2y + 3z = 0 obtemos que x = − 2 y − 3 z. Assim, se (x, y, z) ∈ W podemos escrever
(x, y, z) = (− 2 y − 3 z, y, z) = y(− 2 , 1 , 0) + z(− 3 , 0 , 1)
Esta equa¸c˜ao nos diz que o conjunto
B = {(− 2 , 1 , 0), (− 3 , 0 , 1)}
´e um conjunto gerador para o subespa¸co W. Para verificar a independˆencia linear, consideramos a equa¸c˜ao,
a(− 2 , 1 , 0) + b(− 3 , 0 , 1) = (0, 0 , 0)
ou, equivalentemente,
− 2 a − 3 b = 0 a = 0 b = 0
ou seja a = b = 0 e assim B ´e linearmente independente. Sendo B conjunto gerador de W e linearmente independente concluimos que B ´e uma base de W. Como o n´umero de elementos de B = {(− 2 , 1 , 0), (− 3 , 0 , 1)} ´e dois temos que dim W = 2
- Uma matriz triangular superior de ordem dois ´e uma matriz quadrada da forma M =
a b 0 c
(a) ´E o conjunto W das matrizes triangulares de ordem dois um subespa¸co vetorial de M 2 × 2 (R)? (b) No caso afirmativo, determine uma base e a dimens˜ao desse subespa¸co.
Solu¸c˜ao
(a) Consideramos
W =
a b 0 c
: a, b, c ∈ R
Tem-se que,
- W 6 = φ j´a que a matriz nula
pertence a W.
- Consideremos em W as matrizes
A =
a b 0 c
e B =
d e 0 f
Resulta que,
A + B =
a + d b + e 0 c + f
∈ W
a b 0 c
∈ W e α ∈ R. Tem-se que
αA =
αa αb 0 αc
∈ W
Satisfeitas as trˆes condi¸c˜oes acima, concluimos que W ´e um sube- spa¸co vetorial de M 2 × 2 (R).
Desenvolvendo os produtos de matrizes, devemos ter que, ( 2 a 2 b 3 c 3 d
2 a 3 b 2 c 3 d
Pela igualdade de matrizes,
2 b = 3b 3 c = 2c
segue dai que b = c = 0. Desta forma, X ∈ W se
X =
a 0 0 d
Ou equivalentemente,
W =
a 0 0 d
: a, d ∈ R
Sendo (^) ( a 0 0 d
= a
temos que o conjunto
B =
´e um conjunto gerador do subespa¸co W. B ´e linearmente independente j´a que a equa¸c˜ao
α
admite apenas a solu¸c˜ao nula α = β = 0. Sendo B gerador de W e conjunto linearmente independente concluimos que B ´e uma base para W. Como tal base B de W possui dois elementos, concluimos que
dim W = 2
- Sejam V = P 2 (R) e q ∈ V. Foi visto na quest˜ao 4 desta lista que B = { 1 , t − 1 , (t − 1)^2 } ´e uma base para V.
Sabendo que [q(t)]B =
(^) determinar q(t).
Solu¸c˜ao Sabendo que a representa¸c˜ao de q(t) na base B de P 2 (R) ´e dada pela matriz (^)
temos que, q(t) = 3 · 1 + 5 · (t − 1) + 7 · (t − 1)^2 ou seja, q(t) = 3 + 5t − 5 + 7t^2 − 14 t + 7 ou ainda, q(t) = 5 − 9 t + 7t^2
