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CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088 – – FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA
CAPÍTUO 08
FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA
8.1) No circuito magnético abaixo, construído com uma liga de ferro-níquel, calcular a fmm
para que o fluxo no entreferro g seja de 300 [μWb]. Desprezar o espraiamento de fluxo
no entreferro.
Resolução:
Circuito elétrico análogo:
Dados:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
300 Wb
S 6 cm
S S 4 cm
6 cm
16 005 1595 cm
1
2 3
2 1 2
3
1 2 1 2
φ μ
Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços
direito e esquerdo. Portanto, ℜ 1 = ℜ 2 ⇒ φ 1 = φ 2.
Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:
3 3 1 1 g 1 H^3 ^3 H 1 1 H g g
3 1 2 3 1
NI NI
Cálculo de H 1 :
075 [T ]
S S
1 4
6
1
1
1
1 B 1 B B B ⇒B =B = ,
⋅
−
−
g g g
g
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Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se:
Para [ ] [ ] m
0 75 T 15 Ae B 1 = , ⇒H 1 = (02)
Cálculo de H (^) g :
[ ] m
597 10 Ae
4 10
7 o
−
H ,
H
B
H (^) g g
g g μ (^) π
Cálculo de H 3 :
De (01): φ 3 = 2 φ 1 ⇒ φ 3 =600 [μ Wb]
10 [T^ ]
S
3 4
6
3 3
3 B 3 B ⇒B = , ⋅
−
− φ
Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se:
Para [ ] [ ] m
1 0 T 50 Ae B 3 = , ⇒H 3 = (04)
Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos:
NI 3 239 2985 NI 3039 [ Ae]
NI 50 6 10 15 1595 10 597 10 005 10
2 2 5 2
− − −
8.2) Dois circuitos condutores são constituídos por um fio reto bastante longo e uma espira
retangular de dimensões h e d. A espira pertence a um plano que passa pelo fio, sendo os
lados de comprimento h paralelos ao fio e distantes de r e r+d deste. Determinar a
expressão que fornece a indutância mútua entre os dois circuitos.
Resolução:
1
2 12 12 I
N
M
Cálculo de φ 12 :
Para o fio infinito de corrente, temos:
φ φ
H a B H B a 2
I
I (^) o 1 (^12) o 12 12
1 12 = ⇒ = ⇒ =
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Substituindo (02) em (01), temos:
b
a b a
b
a (^) b a ln ln
N
M
2 I
N I
M
I
N
M
o 12
o 12 1
2 12 12
8.4) Dado o circuito magnético da figura abaixo, assumir B = 0 , 6 [T ]através da seção reta
da perna esquerda e determinar:
a) A queda de potencial magnético no ar ( mar
V );
b) A queda de potencial magnético no aço-silício ( maco
V );
c) A corrente que circula em uma bobina com 1250 espiras enroladas em volta da perna
esquerda.
Circuito elétrico análogo
Resolução:
Dados:
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
2 2
2 1
1 2
1
S 6 cm S 4 cm
10 cm 15 cm 06 cm
06 T
B ,
g
Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:
g g
g
H 1 1 H 2 2 H
1 2
NI 2
ou
NI φ 2 φ φ
a) De (01):
V 429718 [ Ae]
V
S
S
V
S
V V V
m ar
4 7
4 2
mar o
1 1 mar
o
mar o
mar mar
B , ,
B
H
− −
− −
g
g
g
g
g
g g g
m aco
V
mar
V
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b) De (01):
Vm (^) aco = H 1 1 + 2 H 2 2 (03)
Cálculo de H 1 :
Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se:
Para [ ] [ ] m
Ae B 1 = 0 , 6 T ⇒H 1 = 100 (04)
Cálculo de H 2 :
09 [T ]
S
S
S
2 4
4
2 2
1 1 2 2
2 B ,
B
B
B B ⇒ =
−
−
Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se:
Para [ ] [ ] m
0 9 T 160 Ae B 2 = , ⇒H 2 = (05)
Substituindo (04) e (05) em (03), temos:
V 100 01 2 160 015 V 58 [Ae ]
m (^) aco maco
c) Substituindo (05) e (06) em (01), temos:
I 348 [ A]
NI 58 429718 I ,
8.5) Uma espira filamentar quadrada de corrente tem vértices nos pontos (0; 1; 0), (0; 1; 1),
(0; 2; 1) e (0; 2; 0). A corrente é de 10 [A] e flui no sentido horário quando a espira é
vista do eixo +x. Calcule o torque na espira quando esta é submetida :
a) a uma densidade de fluxo magnético B = 5 ay;
b) ao campo produzido por uma corrente filamentar de 10 [A] que flui ao longo do eixo
z no sentido + az.
Resolução:
a) dT =I dS×B⇒T=IS×B⇒T= 10 (− ax ) × 5 ay ⇒ T=− 50 az
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Cálculo de ℜ 1 e de ℜ 3 :
[ ] Wb
15915 Ae
S S
1 3
7 1 3 3
3
1
1 1 3
− μ μ π ,
Cálculo de ℜ 2 :
[ ] Wb
Ae 6366 5000 4 10 001
S
2 7 2 2
2 2 ⇒ℜ = ⋅ ⋅ ⋅
− ,
De (03), conclui-se que: ℜ 2 φ 2 =ℜ 3 φ 3 (06)
Substituindo (04) e (05) em (06), temos:
Substituindo (07) em (03), temos:
φ ` 1 = 2 , 5 φ 3 +φ 3 ⇒φ 1 = 3 , 5 φ 3 (08)
Substituindo (07) e (08) em (03), temos:
1
3 1 3 3
11 3 3 1 3 3
200 I 716175 279 10 I
N I 15915 35 6366 25 200 I 7557025 15915
− = ⇒ = ⋅
Substituindo (09) em (07) e em (08), temos:
1
3 1 9 77 10 I
−
e
1
3 2 6 98 10 I
−
Substituindo (10) em (01), temos:
L 200 977 10 L 195 [H ]
I
N 977 10 I
L 1
3 1 1
1
3 1 1 , ,
−
−
e
Substituindo (11) em (02), temos:
M 300 698 10 M 209 [ H]
I
N 698 10 I
M 12
3 12 1
1
3 2 12 , ,
−
−
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8.7) Determinar a densidade de fluxo magnético ( B ) em cada uma das três pernas do
circuito magnético da figura abaixo. Assumir que, dentro do material ferromagnético do
núcleo, B é relacionado diretamente com H , através da expressão B = 200 H.
Resolução:
Circuito elétrico análogo:
Dados:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1 mm
12 ; 10 ; 5 cm
S 6 ;S 8 ;S 10 cm
N 500 ; N 1000 espiras
I I 70 mA
1 2 3
2 1 2 3
1 2
1 2
g
Se B = μ He B= 200 H, então, μ = 200.
Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações:
g g
g
11 H 1 ^122 H 2 2 H 3 3 H^
11 1 1 2 2 2 2 3 3 3
3 1 2
N I N I
ou
N I φ N I φ φ φ
Cálculo de ℜ 1 :
[ ]
Wb
Ae 10 200 6 10
S
1 4
2
1 1
1 1 ⇒ℜ = , ⋅ ⋅
−
−
Cálculo de ℜ 2 :
[ ]
Wb
0625 Ae
200 8 10
S
2 4
2
2 2
2 2 ⇒ℜ = , ⋅ ⋅
−
−
