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Cap´ıtulo 1
Potˆencia complexa e fator de potˆencia
A potˆencia complexa ´e definida como sendo −→ S = P + jQ (1.1)
onde
S´ımbolo Grandeza Medida Potˆencia Volt-amp`ere −→ S complexa (V A) P Potˆencia ativa Watt(W ) Q Potˆencia reativa var
Observa¸c˜ao
E importante ter a distin¸^ ´ c˜ao da grandeza −→ S , que representa a potˆencia complexa, com parte real e imagin´aria ou m´odulo e ˆangulo e a grandeza S, que ´e o m´odulo da potˆencia aparente, onde S =
P 2 + Q^2
Como discutido na se¸c˜ao anterior, a corrente pode estar adiantada ou atrasada em rela¸c˜ao a tens˜ao. Contudo, devemos lembrar que a potˆencia, em circuitos de corrente cont´ınua, ´e regida pela equa¸c˜ao S = V · I ou pela equa¸c˜ao S = I^2 · Z, onde Z ´e a impedˆancia do circuito. Entretanto, em corrente cont´ınua e regime per- manente um indutor representa um curto cir- cuito e um capacitor um circuito aberto, sendo que desta forma n˜ao temos potˆencia complexa. No entanto, na corrente alternada, a cor- rente e a tens˜ao podem estar defasadas. Quando isto ocorre, o produto tens˜ao vezes corrente gera uma potˆencia aparente, que n˜ao ´e convertida, em sua totalidade, em trabalho. Logo, a unidade desta potˆencia n˜ao est´a em watts, e sim em volt x ampere (V A). A potˆencia aparente ´e a potˆencia que est´a sendo drenada da fonte, e a fra¸c˜ao conver- tida em trabalho ´e denominada potˆencia ativa,
dada em watts (W ). A outra parte, a fra¸c˜ao que n˜ao se traduz em trabalho, ´e denomi- nada potˆencia reativa (var) e tem rela¸c˜ao, por exemplo, com a magnetiza¸c˜ao de motores de indu¸c˜ao. E a partir da´´ ı que surge o tema do pr´oximo t´opico desta apostila, o fator de potˆencia.
1.1 Conceito de fator de
potˆencia
Nos circuitos de corrente alternada (CA), te- mos diversos fatores a serem analisados al´em daqueles de corrente cont´ınua (CC). Um deles ´e o denominado fator de potˆencia. De modo sucinto, podemos interpretar o fator de potˆencia como sendo a fra¸c˜ao da potˆencia aparente que ´e convertida em potˆencia ativa (que realiza trabalho). Em suma, temos a potˆencia aparente (S), a potˆencia ativa (P ) e a potˆencia reativa (Q), que podem ser representados num triˆangulo, denominado Triˆangulo das Potˆencias (figura 1.1).
Figura 1.1: Triˆangulo de Potˆencias
O ˆangulo φ do triˆangulo ´e a diferen¸ca do ˆangulo de tens˜ao para o ˆangulo da corrente, ou seja: φ = θv − θi
2 CAP´ITULO 1. POT ENCIA COMPLEXA E FATOR DE POT ˆ ENCIAˆ
Quando um circuito ´e capacitivo, a tens˜ao estar´a “atrasada” da corrente, logo o ˆangulo da corrente ´e maior que o ˆangulo da tens˜ao, o que implica no ˆangulo φ ser negativo. J´a quando o circuito ´e indutivo, a tens˜ao es- tar´a “adiantada” da corrente, ent˜ao o ˆangulo da tens˜ao ´e maior que o ˆangulo da corrente, logo φ ´e positivo. Repare que a potˆencia reativa Qr da figura 1.1 pode ser tanto capacitiva (φ ´e negativo) quanto indutiva (ˆangulo φ ´e positivo). Por meio da trigonometria, chegamos `as se- guintes rela¸c˜oes:
sen φ =
Q
S
cos φ =
P
S
tang φ =
Q
P
Al´em disso, o Teorema de Pit´agoras diz que
S^2 = P 2 + Q^2 (1.5)
Como j´a introduzido anteriormente, o fator de potˆencia ´e a fra¸c˜ao da potˆencia aparente que ´e convertida em potˆencia ativa. Numa si- tua¸c˜ao de fator de potˆencia igual a um, note que o ˆangulo φ ´e zero, e a potˆencia ativa ´e igual `a potˆencia aparente, ou seja, o circuito ´e dito puramente resistivo. Desta maneira, para formas de onda puramente senoidais, podemos definir o fator de potˆencia como sendo:
F P = cos φ (1.6) Note que cosφ representa, de fato, a fra¸c˜ao da potˆencia aparente que se traduz em potˆencia ativa. Em ind´ustrias, por exemplo, se est´a interessado em trabalho e, desta maneira, uma situa¸c˜ao ideal ´e `aquela em que o fator de potˆencia ´e unit´ario. Em outras palavras, toda a potˆencia drenada da fonte ´e convertida em trabalho.
1.1.1 Exemplo 1.
Exemplo Determine o triˆangulo de potˆencias do circuito da figura 1.2.
Figura 1.2: Circuito do exemplo
Solu¸c˜ao A forma mais f´acil de resolver este exerc´ıcio ´e pelo c´alculo da impedˆancia equivalente:
Zeq =
(5 − j3) · 4 (5 − j3) + 4
= 2, 4 − j 0 , 5333
A potˆencia aparente complexa ´e dada por −→ S =
V ·
I ∗^ (1.7)
Como (^) −→ V = Z ·
I (1.8)
e
I ·
I ∗^ = |I|^2
temos que −→ S = Z · |I|^2 = (2, 4 − j 0 , 5333) · 302 −→ S = 2160 − j480 (V A) Dessa forma, P=2160 (W) Q=480 var capacitivo (ou -j 480 var)
Convertendo para coordenadas polares, automaticamente temos mais duas in- forma¸c˜oes:
2160 − j480 = 2216, 69 ] − 12 , 53 o^ (V A)
Ou seja, o m´odulo da potˆencia complexa, denominada de potˆencia aparente, ´e de 2216, 69 (V A), com um ˆangulo de − 12 , 53 o. Repare que os valores de S pode- riam ser obtidos tamb´em pelas seguintes equa¸c˜oes:
S^2 = P 2 + Q^2
φ = tang−^1
Q
P
4 CAP´ITULO 1. POT ENCIA COMPLEXA E FATOR DE POT ˆ ENCIAˆ
Continua¸c˜ao...
- o fator de potˆencia da instala¸c˜ao ´e 0, indutivo.
A partir destes dados, calcule: a. A corrente atual drenada da fonte. b. A potˆencia do banco de capacitores para elevar o fator de potˆencia para 0,92. c. A potˆencia aparente depois da corre¸c˜ao. d. A corrente drenada da fonte depois da corre¸c˜ao. e. Analise a diferen¸ca entre a corrente anterior `a corre¸c˜ao do fator de potˆencia e a corrente posterior. Houve mudan¸ca na potˆencia ativa? O que isto significa para a ind´ustria.
Solu¸c˜ao a. Temos que
|S| = |V | · |I|
Ent˜ao
I =
= 23, 5526 (A)
Observa¸c˜ao Para o caso complexo, lembre-se que a potˆencia monof´asica complexa ´e dada por
S (^1) φ =
V ·
I ∗. Este ser´a um con- ceito importante em circuitos polif´asicos.
...continua¸c˜ao b. O desenho do nosso triˆangulo das potˆencias est´a na figura 1.3. Relem- brando as equa¸c˜oes:
sen φ =
Q
S
cos φ =
P
S
tang φ =
Q
P
S^2 = P 2 + Q^2
Figura 1.3: Triˆangulo de potˆencias do exemplo
...continua¸c˜ao Como o fator de potˆencia ´e indutivo, sa- bemos que a potˆencia reativa desta ins- tala¸c˜ao ser´a indutiva. Logo, desenhamos o cateto da potˆencia reativa “para cima” do cateto da potˆencia ativa. Esta ´e ape- nas uma referˆencia adotada (quando o circuito ´e indutivo, o ˆangulo φ ´e posi- tivo). Lembrando: φ = θtens˜ao − θcorrente
F P = cos φ = 0, 7 φ = arcos 0 , 7 = 45, 573 o Em seguida, calculamos todas as potˆencias atuais:
cos φ =
P
S
P
⇒ P = 6265 (W )
Observa¸c˜ao O valor da potˆencia ativa de uma carga n˜ao varia com a altera¸c˜ao da potˆencia reativa. Assim, corrige-se o FP sem al- terar a carga ativa.
...continua¸c˜ao Calculamos a potˆencia reativa por meio de
sen φ =
Q
S
sen 45 , 573 o^ =
Q
⇒ Q = 6391, 578 (var indutivo) Se quisermos o fator de potˆencia cos φ = 0 , 92, o ˆangulo φ deve ser igual a 23, 074 o.
1.3. EXERC´ICIOS 5
Continua¸c˜ao... Assim, precisamos alterar a potˆencia re- ativa para alterar o fator de potˆencia, sem alterar a potˆencia ativa. Assim, para φ = 23, 074 o, obtemos um novo va- lor de potˆencia reativa, denominada Q ′ .
tang 23 , 074 o^ =
Q
′
6265 ⇒ Q
′ = 2668, 8788 (var indutivo) Ou seja, com o fator de potˆencia sendo 0 , 7 indutivo, temos certa potˆencia rea- tiva indutiva, e com o fator de potˆencia sendo 0, 92 indutivo, temos outro valor menor. Dessa maneira, precisamos so- mar potˆencia reativa capacitiva. Sendo assim, temos:
Q
′ = Qatual + ∆Q − 2668 , 8788 = − 6391 , 578 + ∆Q ∆Q = 3722, 70 (var)
Observa¸c˜ao Por conven¸c˜ao adotamos, no equaciona- mento, o valor negativo para potˆencia reativa indutiva e o valor positivo para potˆencia reativa capacitiva.
...continua¸c˜ao
Logo, ∆Q = 3722, 70 (var capacitivo).
c. Com cos φ = 0, 92, calculamos a nova potˆencia aparente:
cos φ =
P
S
S
⇒ S = 6809, 7826 (V A)
d. Temos que
S = V · I
6809 , 7826 = 380 · I ⇒ I = 17, 9205 (A)
1.3 Exerc´ıcios
- Um motor de corrente alternada indutivo consome uma potˆencia de 895 W (medida com watt´ımetro), quando ligado `a plena carga em uma rede de 220 (V ) de tens˜ao, em 60 Hertz. A corrente medida no mo- tor ´e de 5, 1 (A). A partir destes dados, calcule: a. O fator de potˆencia atual da ins- tala¸c˜ao. b. O capacitor necess´ario para corrigir o fator de potˆencia para um valor o mais pr´oximo poss´ıvel ao unit´ario. c. A nova corrente drenada da fonte.
- Um transformador de 25 kVA fornece 12 kW a uma carga com FP igual a 0,6 in- dutivo. Se forem adicionados cargas com FP igual a 0,866 capacitivo, quantos kW dessas cargas ser˜ao necess´arios para ope- rar com sua capacidade de plena carga?
- Seja o sistema da figura 1.4. As cargas tˆem as seguintes configura¸c˜oes:
Carga 1 : 250 V A, F P = 0, 5 indutivo Carga 2 : 180 W, F P = 0, 8 capacitivo Carga 3 : 300 V A, 100 var indutivo
a. Determinar as potˆencias do sistema de acordo com a associa¸c˜ao proposta. b. Se a tens˜ao de alimenta¸c˜ao for 220 (V), qual ´e o m´odulo da corrente drenada total do sistema? c. O fator de potˆencia total da instala¸c˜ao.
Figura 1.4: Exerc´ıcio 3
- Tendo em vista o circuito da figura 1.5, cuja alimenta¸c˜ao ocorre a 60 Hz, res- ponda:
1.4. RESPOSTAS 7
1.4 Respostas
Exerc´ıcio 1
a)F P = 0, 798 indutivo b)C = 37, 0181 μF c)I = 4, 06818 (A)
Exerc´ıcio 2
Para operar a plena carga, ser˜ao adicionados 11 , 083 kW e 6, 9386 kvar capacitivo.
Exerc´ıcio 3
a)P = 587, 8437 (W ) Q = 181, 5063 (var indutivo) S = 615, 226 (V A) b)I = 2, 79648 (A) c)F P = 0, 955 indutivo
Exerc´ıcio 4
a) F P = 0, 3527 capacitivo. b) Ver figura 1.
Figura 1.7: Equivalente s´erie da carga do cir- cuito da figura 1.
c) Ver figura 1.
Figura 1.8: Equivalente paralelo da carga do circuito da figura 1.
Exerc´ıcio 5
a)S = 7810, 25 (V A) b)F P = 0, 64 indutivo c)I = 65, 0854 (A) d)C = 1, 1053 mF
e)I = 41, 6667 (A)
Exerc´ıcio 6
FP =0, 866 capacitivo.
S = 2, 64 (kVA) P = 2, 28631 (kW) Q = 1, 320 (kvar capacitivo)
Exerc´ıcio 7
a) F P = 0, 2564 indutivo. b)
I = 0, 5641 ] − 75 , 14 o^ (A) c)
S = 31, 8165 + j 119 , 945 (VA) d) Ver figura 1.9.
Figura 1.9: Banco capacitivo projetado (Exerc´ıcio 7.d)
e)
I = 0, 15572 ] − 23 , 09 o^ (A) f)
S = 31, 8165 + j 13 , 569 (VA) g) Ver figura 1.
Figura 1.10: Banco capacitivo projetado (Exerc´ıcio 7.g)
h)
I = 0, 15496 ] 21 , 05 o^ (A) i)
S = 31, 8165 − j 12 , 2477 (VA)
Exerc´ıcio 8
Resposta: F - V - V - V - F
